Sympy.ipynb

Kernel: Python 3 (Anaconda)

Sympy

Sympy je Python biblioteka za simboličku matematiku. Prednost Sympy-ja je što je potpuno napisan u Pythonu (što je katkad i mana). Mi ćemo u nastavku kolegiju obraditi i puno moćniji Sage, koji je CAS u klasi Mathematice i Maplea. No Sage nije biblioteka u Pythonu, već CAS koji koristi Python kao programski jezik.

Korištenje Sympy-ja počinje kao i kod ostalih biblioteka, s importiranjem.

from sympy import *

Da bi dobili lijepi $\LaTeX$ izlaz:

from sympy import init_printing
init_printing()

Koristit ćemo i interaktivne widgete, pa ih ovdje učitavamo

from IPython.display import display
from ipywidgets import interact, fixed, interact_manual
import ipywidgets as widgets

Simboličke varijable

Kako je Sympy samo Python paket, trebamo deklarirati koje simbole ćemo koristiti kao simboličke vatrijable. To možemo napraviti na više načina:

x = Symbol('x')
# ili x,y,z = symbols('x,y,z')
# ili from sympy.abc import x,y,z
# ili var(x:z)

(pi + x)**2

$$\left(x + \pi\right)^{2}$$

a, b, c = symbols("stranica_a, stranica_b, stranica_c")

type(a)

sympy.core.symbol.Symbol

a

$$stranica_{a}$$

a, b, c = symbols("alpha, beta, gamma")
a**2+b**2+c**2

$$\alpha^{2} + \beta^{2} + \gamma^{2}$$

symbols("x:5")

$$\left ( x_{0}, \quad x_{1}, \quad x_{2}, \quad x_{3}, \quad x_{4}\right )$$

Možemo navoditi i dodatne pretpostavke:

x = Symbol('x', real=True)

x.is_imaginary

False

x = Symbol('x', positive=True)

x > 0

$$\mathrm{True}$$

Možemo kreirati i apstraktne funkcije:

f = Function('f')
f(0)

$$f{\left (0 \right )}$$

g = Function('g')(x)
g.diff(x), g.diff(a)

$$\left ( \frac{d}{d x} g{\left (x \right )}, \quad 0\right )$$

Kompleksni brojevi

Imaginarna jedinica se označava s I.

1+1*I

$$1 + i$$

I**2

$$-1$$

(x * I + 1)**2

$$\left(i x + 1\right)^{2}$$

Razlomci

Postoje tri numerička tipa: Real, Rational, Integer:

r1 = Rational(4,5)
r2 = Rational(5,4)

r1

$$\frac{4}{5}$$

r1+r2

$$\frac{41}{20}$$

r1/r2

$$\frac{16}{25}$$

denom(r1)

$$5$$

Numerička evaluacija

SymPy može računati u proizvoljnoj točnosti te ima predefinirane matematičke konstante kao: pi, e te oo za beskonačnost.

Funkcija evalf ili metoda N s ulaznom varijablom n računaju izraz na n decimala.

pi.evalf(n=50)

$$3.1415926535897932384626433832795028841971693993751$$

y = (x + pi)**2

N(y, 5)

$$\left(x + 3.1416\right)^{2}$$

Ukoliko želimo zamijeniti varijablu s konkretnim brojem, to možemo učiniti koristeći funkciju subs:

y.subs(x, 1.5)

$$\left(1.5 + \pi\right)^{2}$$

N(y.subs(x, 1.5))

$$21.5443823618587$$

No subs možemo korisiti i općenitije:

y.subs(x, a+pi)

$$\left(\alpha + 2 \pi\right)^{2}$$

Sympy i Numpy se mogu simultano koristiti:

import numpy

x_vec = numpy.arange(0, 10, 0.1)

y_vec = numpy.array([N(((x + pi)**2).subs(x, xx)) for xx in x_vec])

from matplotlib.pyplot import subplots
%matplotlib inline
fig, ax = subplots()
ax.plot(x_vec, y_vec);

Efikasniji kod se postiže funkcijom lambdify koja kompajlira Sympy izraz u funkciju:

# prvi argument je lista varijabli funkcije f, u ovom slučaju funckcija je x -> f(x)
f = lambdify([x], (x + pi)**2, 'numpy')

y_vec = f(x_vec)

Razlika u brzini izvođenja:

%%timeit

y_vec = numpy.array([N(((x + pi)**2).subs(x, xx)) for xx in x_vec])

10 loops, best of 3: 22.6 ms per loop

%%timeit

y_vec = f(x_vec)

The slowest run took 19.02 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 1.73 µs per loop

Ovdje smo mogli koristiti i theano ili uFuncify.

Pretvaranje stringa u Sympy izraz:

string = '1/(x-1) + 1/(x+1) + x + 1'
izraz = sympify(string)
izraz

$$x + 1 + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$$

Jedan interaktivan primjer:

x = Symbol('x')
def factorit(n):
    return display(Eq(x ** n - 1, factor(x ** n - 1)))

Eq kreira matematičke jednakosti, tj. jednadžbe.

factorit(18)

$$x^{18} - 1 = \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) \left(x^{2} - x + 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right) \left(x^{6} - x^{3} + 1\right) \left(x^{6} + x^{3} + 1\right)$$

interact(factorit,n=(2,20));

$$x^{17} - 1 = \left(x - 1\right) \left(x^{16} + x^{15} + x^{14} + x^{13} + x^{12} + x^{11} + x^{10} + x^{9} + x^{8} + x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$$

interact(factorit,n=(1,20,2));

$$x^{11} - 1 = \left(x - 1\right) \left(x^{10} + x^{9} + x^{8} + x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1\right)$$

interact(factorit,n=widgets.widget_int.IntSlider(min=2,max=20,step=1,value=2));

$$x^{9} - 1 = \left(x - 1\right) \left(x^{2} + x + 1\right) \left(x^{6} + x^{3} + 1\right)$$

Algebarske manipulacije

together(izraz)

$$\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} \left(x \left(x - 1\right) \left(x + 1\right) + 2 x + \left(x - 1\right) \left(x + 1\right)\right)$$

cancel(together(izraz))

$$\frac{1}{x^{2} - 1} \left(x^{3} + x^{2} + x - 1\right)$$

(x+1)*(x+2)*(x+3)

$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)$$

expand((x+1)*(x+2)*(x+3))

$$x^{3} + 6 x^{2} + 11 x + 6$$

expand prima dodatne argumente. Npr. trig=True:

sin(a+b)

$$\sin{\left (\alpha + \beta \right )}$$

expand(sin(a+b), trig=True)

$$\sin{\left (\alpha \right )} \cos{\left (\beta \right )} + \sin{\left (\beta \right )} \cos{\left (\alpha \right )}$$

simplify(sin(a)**2 + cos(a)**2)

$$1$$

simplify(cos(x)/sin(x))

$$\frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$$

f1 = 1/((a+1)*(a+2))

apart(f1)

$$- \frac{1}{\alpha + 2} + \frac{1}{\alpha + 1}$$

f2 = 1/(a+2) + 1/(a+3)

together(f2)

$$\frac{2 \alpha + 5}{\left(\alpha + 2\right) \left(\alpha + 3\right)}$$

Analiza

Deriviranje

y

$$\left(x + \pi\right)^{2}$$

diff(y**2, x)

$$4 \left(x + \pi\right)^{3}$$

Više derivacije:

diff(y**2, x, x)

$$12 \left(x + \pi\right)^{2}$$

diff(y**2, x, 2)

$$12 \left(x + \pi\right)^{2}$$

from sympy.abc import x,y,z
# ili npr. symbols ('x:z')

f = sin(x*y) + cos(y*z)

Želimo izračunati $$\frac{\partial^3f}{\partial x \partial y^2}$$

diff(f, x, 1, y, 2)

$$- x \left(x y \cos{\left (x y \right )} + 2 \sin{\left (x y \right )}\right)$$

def deriv(f):
    display(diff(f,x))
interact_manual(deriv, f='x');

$$- \sin{\left (x \right )}$$

Integracija

f

$$\sin{\left (x y \right )} + \cos{\left (y z \right )}$$

integrate(f, x)

$$x \cos{\left (y z \right )} + \begin{cases} 0 & \text{for}\: y = 0 \\- \frac{1}{y} \cos{\left (x y \right )} & \text{otherwise} \end{cases}$$

Definitni integrali:

integrate(f, (x, -1, 1))

$$2 \cos{\left (y z \right )}$$

Nepravi integrali:

integrate(exp(-x**2), (x, -oo, oo))

$$\sqrt{\pi}$$

Sume i produkti

n = Symbol("n")

Sum(1/n**2, (n, 1, 10))

$$\sum_{n=1}^{10} \frac{1}{n^{2}}$$

Sum(1/n**2, (n,1, 10)).evalf()

$$1.54976773116654$$

Sum(1/n**2, (n, 1, oo)).evalf()

$$1.64493406684823$$

Product(n, (n, 1, 10))

$$\prod_{n=1}^{10} n$$

Limesi

limit(sin(x)/x, x, 0)

$$1$$

f

$$\sin{\left (x y \right )} + \cos{\left (y z \right )}$$

diff(f, x)

$$y \cos{\left (x y \right )}$$

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

h = Symbol("h")

limit((f.subs(x, x+h) - f)/h, h, 0)

$$y \cos{\left (x y \right )}$$

limit(1/x, x, 0, dir="+")

$$\infty$$

limit(1/x, x, 0, dir="-")

$$-\infty$$

(Taylorovi) redovi

series(exp(x), x)

$$1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24} + \frac{x^{5}}{120} + \mathcal{O}\left(x^{6}\right)$$

Rastav oko $x=1$:

series(exp(x), x, 1)

$$e + e \left(x - 1\right) + \frac{e}{2} \left(x - 1\right)^{2} + \frac{e}{6} \left(x - 1\right)^{3} + \frac{e}{24} \left(x - 1\right)^{4} + \frac{e}{120} \left(x - 1\right)^{5} + \mathcal{O}\left(\left(x - 1\right)^{6}; x\rightarrow1\right)$$

series(exp(x), x, 1, 10)

$$e + e \left(x - 1\right) + \frac{e}{2} \left(x - 1\right)^{2} + \frac{e}{6} \left(x - 1\right)^{3} + \frac{e}{24} \left(x - 1\right)^{4} + \frac{e}{120} \left(x - 1\right)^{5} + \frac{e}{720} \left(x - 1\right)^{6} + \frac{e}{5040} \left(x - 1\right)^{7} + \frac{e}{40320} \left(x - 1\right)^{8} + \frac{e}{362880} \left(x - 1\right)^{9} + \mathcal{O}\left(\left(x - 1\right)^{10}; x\rightarrow1\right)$$

tan(x).series(x,pi/2)

$$- \frac{1}{x - \frac{\pi}{2}} - \frac{\pi}{6} + \frac{1}{45} \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{3} + \frac{2}{945} \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{5} + \frac{x}{3} + \mathcal{O}\left(\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^{6}; x\rightarrow\frac{\pi}{2}\right)$$

s1 = cos(x).series(x, 0, 5)
s1

$$1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + \mathcal{O}\left(x^{5}\right)$$

s2 = sin(x).series(x, 0, 2)
s2

$$x + \mathcal{O}\left(x^{2}\right)$$

expand(s1 * s2)

$$x + \mathcal{O}\left(x^{2}\right)$$

S metodom removeO se možemo riješiti $\mathcal{O}$ dijela:

expand(s1.removeO() * s2.removeO())

$$\frac{x^{5}}{24} - \frac{x^{3}}{2} + x$$

Ali oprezno s time:

(cos(x)*sin(x)).series(x, 0, 6)

$$x - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} + \mathcal{O}\left(x^{6}\right)$$

Reziduumi:

residue(2/sin(x), x, 0)

$$2$$

Linearna algebra

Matrice

m11, m12, m21, m22 = symbols("m11, m12, m21, m22")
b1, b2 = symbols("b1, b2")

A = Matrix([[m11, m12],[m21, m22]])
A

$$\left[\begin{matrix}m_{11} & m_{12}\\m_{21} & m_{22}\end{matrix}\right]$$

b = Matrix([[b1], [b2]])
b

$$\left[\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}\right]$$

A**2

$$\left[\begin{matrix}m_{11}^{2} + m_{12} m_{21} & m_{11} m_{12} + m_{12} m_{22}\\m_{11} m_{21} + m_{21} m_{22} & m_{12} m_{21} + m_{22}^{2}\end{matrix}\right]$$

A * b

$$\left[\begin{matrix}b_{1} m_{11} + b_{2} m_{12}\\b_{1} m_{21} + b_{2} m_{22}\end{matrix}\right]$$

def funkcija(A,f):
    return display(getattr(A,f)())
interact(funkcija,A = fixed(A), f=['det','inv','adjoint','charpoly']);

$$m_{11} m_{22} - m_{12} m_{21}$$

Rješavanje jednadžbi

solve(x**2 - 1, x)

$$\left [ -1, \quad 1\right ]$$

solve(x**4 - x**2 - 1, x)

$$\left [ - i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}, \quad i \sqrt{- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}, \quad - \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}, \quad \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}\right ]$$

eq = Eq(x**3 + 2*x**2 + 4*x + 8, 0)
eq

$$x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8 = 0$$

solve(eq, x)

$$\left [ -2, \quad - 2 i, \quad 2 i\right ]$$

Sustavi jednadžbi:

solve([x + y - 1, x - y - 1], [x,y])

$$\left \{ x : 1, \quad y : 0\right \}$$

solve([x + y - a, x - y - c], [x,y])

$$\left \{ x : \frac{\alpha}{2} + \frac{\gamma}{2}, \quad y : \frac{\alpha}{2} - \frac{\gamma}{2}\right \}$$

Više o interaktivnim widgetima možete naučiti preko primjera koji se nalaze ovdje.

from verzije import *
from IPython.display import HTML
HTML(print_sysinfo()+info_packages('sympy,matplotlib,IPython,numpy, ipywidgets'))

Python verzija	3.5.3
kompajler	GCC 4.8.2 20140120 (Red Hat 4.8.2-15)
sustav	Linux
broj CPU-a	8
interpreter	64bit

sympy verzija	1.0
matplotlib verzija	2.0.0
IPython verzija	5.3.0
numpy verzija	1.11.3
ipywidgets verzija	6.0.0

Zadaci za vježbanje

1. Napišite funkciju koja prima listu izraza, varijablu i točku, a ispisuje vrijednost svakog izraza s liste u toj točki. Funkcija treba izgledati ovako

def evaluiraj(izrazi, x, x0):
"""
Za svaki izraz iz izrazi funkcija ispisuje vrijednost izraza za x = x0
"""

2. Izračunajte $\frac{d}{dx}\sin(x)e^x,\, \frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)e^x,\, \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}\sin(xy)e^x.$

3. Izraz (x**2 + 3*x + 1)/(x**3 + 2*x**2 + x) pojednostavite do izraza 1/(x**2 + 2*x + 1) + 1/x

4. Izraz (a**b)**c) pojednostavite do izraza a**(b*c)

5. Napišite funkciju koja rješava (egzaktno) kvadratnu jednadžbu.

6. Napišite funkciju koja za ulazne parametre prima funkciju (danu simboličkim izrazom) te točku (tj. broj) a crta danu funkciju i njenu tangentu u danoj točki. Učinite funkciju interaktivnom na način da se može birati funkcija (upisivanjem u polje) te točka (klizačem).

7. Izračunajte vektorski produkt vektora $(a,b,b)$ i $(b,a,a)$

8. Riješite Cauchyjev problem $$\begin{align} u'(t)&=-au(t)+b,\\ u(0)&=I \end{align}$$ i pojednostavite dobijeno rješenje. Ovdje su $a$, $b$ i $I$ nepoznate konstante.

9. Riješite diferencijalnu jednadžbu $$y(t) + \frac{d^2}{dt^2}y(t) = 0$$ i nacrtajte partikularna rješenja koristeći sympy modul za crtanje.