Het drielichamenprobleem
We kunnen de positie en de impuls van 3 lichamen van gelijke massa onder invloed van elkaars zwaartekracht beschijven met een stelsel differentiaalvergelijkingen
voor .
We kunnen dit schrijven als
waar de posities van alle lichamen bevat, etc. Dit geeft uiteindelijk een stelsel van 18 differentiaalvergelijkingen.
Er zijn een aantal stabiele banen bekend, één daarvan heeft beginposities
en beginimpuls
met en . De periode van de baan is .
De totale energy
is behouden.
Vragen voor het verslag
Basis
Probeer of je met Euler Forward de bovenstaande stabiele baan kunt berekenen.
Onderzoek de stabiliteit van EF en verklaar de resultaten. Hint: bereken de Jacobiaan en kijk naar de eigenwaarden op het gevonden traject.
In Matlab is ook een adaptieve methode beschikbaar (
ode23
) die zelf een geschikte tijdstap kiest om de relatieve fout binnen een bepaalde marge te houden. Probeer of het met deze methode lukt om en gesloten baan te produceren.Kijk ook eens naar het behoud van energie.
Extra
Een uitgebreid overzicht van stabiele banen is hier te vinden. Probeer of je ook andere stabiele configuraties kunt simuleren.
Populair voor dit soort systemen zijn zogenaamde symplectische methoden. De eenvoudigste is symplectische Euler: Lukt het beter om een gesloten baan de simuleren? En hoe zit het met behoud van energie?
Pas Euler Backward op de vergelijking toe, werkt deze beter dan de symplectische methode?
Code
Om je opweg te helpen kun je voortbouwen op onderstaand voorbeeld