Des requins et des sardines.

On a considéré le modèle qui décrit un système proie - prédateur. Si $x(t)$ désigne le nombre de proies, et $y(t)$ le nombre de prédateurs, le modèle de Lotka - Volterra s'écrit: $$\left\{ \begin{array}{ccc}x' &= &ax-bxy\\ y' & = & dxy-cy\end{array}\right.$$ où $a,b,c,d>0$.

Il s'agit d'un système non-linéaire, mais on peut quand même dire quelque chose au sujet de la relatin entre $x(t)$ et $y(t)$. On montre que $$\frac{y^a}{e^{by}}\frac{x^c}{e^{dx}} = K$$ où $K$ est donnée par les conditions initiales. Cette équation décrit une courbe. Ci-bas on la trace en prennant $x_0 = 2.2$ et $y(0) = 5.5$

Le plan de phase

Plutôt que dessiner les deux fonctions $x(t)$ et $y(t)$ en fonction de $t$, on peut faire une courbe paramétrique $\{(x(t),y(t))| t\in \mathbb{R}\}$. C'est le diagramme de phase.

Comme avant, on peut aussi tracer le champ de vecteurs, ça nous dit en quel sens la courbe est parcourue.

Le système est non linéaire, de sorte qu'on ne peut pas le résoudre (facilement). Par contre, on peut demander à SAGE de le faire numériquement. La commande desolve_system_rk4 fait el boulot. Ici rk4 dit que c'est la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 qui est utilisée, chose à voir dans vos cours de méthodes numériques.

Cette commande produit une liste qui, dans notre cas contient des triplets $[t,x(t),y(t)]$. En manipulant ces listes on peut produire les courbes $(t,x(t))$, $(t,y(t))$, ou encore, dans le plan de phase, la courbe $(x(t),y(t))$.