Álgebra Básica.ipynb

Kernel: SageMath (system-wide)

2 Álgebra Básica

2. Expressões algébricas e valor numérico

O Sage denomina como expressão simbolíca todas as expressões que dependem de uma variável algébrica. A variável simbólica padrão do Sage é represenada pela letra $\textbf{x}$ e não precisa ser declarada como tal previamente:

 x^2 + 2*x + 1

Definindo funções em x:

f(x) = x^2+2*x+ 1 ; f # a entrada x na fução f não é abrigatória

Calculado o valor f em um valor dado:

f(x=1)

f(x=1/2)

Uma expressão simbólica pode ser definida sobre outra variável ou várias delas, no entanto, as mesmas devem ser declaradas:

x, y , z, t = var (' x, y, z, t')

g(t) = sin(t)/t ; g

g(t=0.3)

Agora com mais de uma variável:

F(x,y,z) = x^2+ y^2 + z^2; F

F(x=1, y=sqrt(2), z=-1)

Expressões simbólicas complicadas podem ser simplificadas com o método ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '_' at position 17: …textbf{simplify_̲full()}:

f1 = (x^6+3*x^5-3*x^4-42*x^3-153*x^2+3*x+11)/(x^6-4*x^5-15*x^4+56*x^3+15*x^2-4*x-1); show(f1)
show(f1.simplify_full())

Expandindo expressões com o método $\textbf{expand()}$:

(x-1)*(x-2)*(x-3)

_.expand()

2.2 Resolvendo equações e desigualdades

Para resolver uma equação ou uma desigualdade, usamos usando o método $\textbf{solve}$:

solve(3*x-2==5, x) # equação

solve( 3*x-2>=5, x)

As equações podem ter múltiplas soluções, a Sage retorna todas as soluções encontradas como uma lista.

solve(x^2+ x == 6, x)

solve( x ^ 2 - 6 >= 3 , x )

Nem tudo são flores. O comando solve() tentará expressar a solução de uma equação usando valores numéricos. Caso não seja possível, ele retornará a solução de forma implicita:

solve( cos ( x ) - exp(x) == 0 , x )

Para encontrar uma aproximação numérica da solução, podemos usar o comando ParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '_' at position 13: \textbf{find_̲root()} . O que requer a expressão e os extremos de um intervalo fechado no qual deve-se buscar uma solução.

find_root(cos(x)-exp(x)==0,-2, 0 ) # existe outra?

find_root(cos(x)-exp(x)==0,-2, -1 ) # Outra????

f= cos(x) - exp(x); f(x=-1.2926957193735338) # conferindo

round(_, 3)      

2.3 Resolvendo sistemas de equações

Sistemas de equações lineares também podem ser resolvidos usando a $\textbf{solve()}$ , desde que todas as variáveis simbólicas tenham sido declaradas.

solve( [ 3*x - y == 2 , - 2*x - y == 1 ], x , y )

O erro acima foi devido a não declaração da varioável simbólica x.

y = var ('y')
solve( [ 3 * x - y == 2 , - 2 * x - y == 1 ], x , y )

Agora um sistema com infinitas soluções:

solve( [ 2 * x + y == - 1 , - 4 * x - 2 * y == 2 ], x , y )

2.4 Exercícios

1. Encontre todas as soluções para equação $x^3 - x = 7x^2-7$.

2. Encontre os valores de t que satisfazem a desiguadade $|t-7|\geq 3$

3. Verifique a existência de uma raiz de $f(x)=x^2-4\sin(x)$ no intervalo $[1,3]$. Existe outra?