Aulas do Curso de Modelagem matemática IV da FGV-EMAp
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Usando Modelos Populacionais Logísticos para Epidemias
Nesta aula vamos conhecer o modelo logístico de Richards, e estuda sua aplicabilidade no estudo de epidemias. Este notebook se baseia neste artigo
O modelo de Richards se baseia em um modelo proposto por Verhulst em 1838.
Richards generalizou este modelo em 1959, adicionando o parâmetro permitindo o desvio da dependência estrita da densidade.
O modelo de Richards admite uma solução explícita:
onde é o ponto no tempo em que a segunda derivada de se torna 0, ou seja, quando . Seja , então a equação acima se torna:
Relação com o modelo SIR
Seja o modelo SIR, ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 31: …= -\beta S I/N \̲l̲a̲b̲e̲l̲{dsdt}
Onde podemos considerar que . A partir das equações acima temos que
cuja solução é:
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 34: …{\gamma/\beta} \̲l̲a̲b̲e̲l̲{eq10}onde
combinando (\ref{dsdt}) e (\ref{eq10}) obtemos:
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \label at position 40: …-(S/L)^\alpha] \̲l̲a̲b̲e̲l̲{eq12}onde e .
Como a equação (\ref{eq12}) tem a mesma forma que a equação (\ref{dsdt}), pode ser resolvida como:
onde e o tempo finito em que a segunda derivada de é .
Como estamos interessados no numero acumulado de de casos, podemos definir:
Sendo então . Como ,
Esta última equação nos dá uma forma eficiente de mapear uma curva de casos acumulados ao modelo SIR sem utilizar equações diferenciais.
Na prática podemos igualar ao tamanho final da epidemia, e ao ponto de inflexão da curva. Temos ainda que , e a taxa de geração de infeções.
Instante do pico,
O pico da epidemia ocorre quando o que implica que
Considerando as equações (\ref{eq10}) e e , podemos obter
combinando as duas equações acima temos
com
Ajustando o modelo de Richards a Dados
Agora vamos ver como o modelo de Richards se presta para representar uma epidemia com múltiplas ondas. Vamos utilizar os dados da Epidemia da COVID-19 em 2020 e 21
total_cases | new_cases | location | total_deaths | new_deaths | total_vaccinations | new_vaccinations | stringency_index | population | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
date | |||||||||
2020-01-31 | 2 | 2 | United Kingdom | NaN | NaN | NaN | NaN | 8.33 | 68207114 |
2020-02-01 | 2 | 0 | United Kingdom | NaN | NaN | NaN | NaN | 8.33 | 68207114 |
2020-02-02 | 2 | 0 | United Kingdom | NaN | NaN | NaN | NaN | 11.11 | 68207114 |
2020-02-03 | 8 | 6 | United Kingdom | NaN | NaN | NaN | NaN | 11.11 | 68207114 |
2020-02-04 | 8 | 0 | United Kingdom | NaN | NaN | NaN | NaN | 11.11 | 68207114 |
... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
2021-08-24 | 6586181 | 30762 | United Kingdom | 132174.0 | 174.0 | 89865264.0 | 186086.0 | 43.98 | 68207114 |
2021-08-25 | 6621799 | 35618 | United Kingdom | 132323.0 | 149.0 | 90095045.0 | 229781.0 | 43.98 | 68207114 |
2021-08-26 | 6659916 | 38117 | United Kingdom | 132465.0 | 142.0 | 90295121.0 | 200076.0 | 43.98 | 68207114 |
2021-08-27 | 6697770 | 37854 | United Kingdom | 132566.0 | 101.0 | 90466529.0 | 171408.0 | 43.98 | 68207114 |
2021-08-28 | 6729912 | 32142 | United Kingdom | 132699.0 | 133.0 | NaN | NaN | NaN | 68207114 |
576 rows × 9 columns
Encontrando os Parâmetros por otimização
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Requirement already satisfied: GPy>=1.8 in /home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/lib/python3.9/site-packages (from gpyopt) (1.10.0)
Requirement already satisfied: cython>=0.29 in /home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/lib/python3.9/site-packages (from GPy>=1.8->gpyopt) (0.29.21)
Requirement already satisfied: paramz>=0.9.0 in /home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/lib/python3.9/site-packages (from GPy>=1.8->gpyopt) (0.9.5)
Requirement already satisfied: six in /home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/lib/python3.9/site-packages (from GPy>=1.8->gpyopt) (1.15.0)
Requirement already satisfied: decorator>=4.0.10 in /home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/lib/python3.9/site-packages (from paramz>=0.9.0->GPy>=1.8->gpyopt) (4.4.2)
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You should consider upgrading via the '/home/fccoelho/Downloads/SageMath/local/bin/python3 -m pip install --upgrade pip' command.