Lista de Exercícios 1.ipynb

Kernel: SageMath 9.3

1ª Lista de Exercícios

Cinética Química

Neste exercícios vamos construir modelos, resolvê-los analitica e numéricamente, e discutir a estabilidade dos seus equilíbrios.

I. Considere a equação de produção e decaimento introduzida acima. Em biologia celular, é comum a produção por tempo limitado, de uma molécular como resposta a um estimulo nervoso ou hormonal.

1. Modifique o modelo de Produção e decaimento de forma que $I$ seja positivo apenas entre os tempos $t=4$ e $t=10$. Dica: Use a função de Heaviside mostrada abaixo.

2. Como você escreveria o modelo resultante em notação matemática?

3. Resolva o modelo e discuta o seu equilíbrio.

4. Verifique se o equilíbrio do modelo depende da sua condição inicial, x(0)

heaviside?

II. Uma substância com meia-vida de um dia é produzida a uma taxa constante de $10μMh^{−1}$. Suponha que a sua concentração seja denotada por $C(t)$.

1. Use uma equação diferencial para descrever a dinâmica deste processo. Usando o Sage encontre a solução deste modelo analíticamente.

2. Se um inibidor for aplicado em $t=0$, de forma que a substância não seja mais produzida. Encontre a solução $C(t)$ e a use para mostrar the $C(t)→0$ quando $t→∞$

3. Suponha agora que começando de $C(0)=C_0$, aplica-se uma droga que inibe o decaimento da substância completamente, sem afetar a sua taxa de produção. Mostre que a substância se acumulará a uma taxa linear $C(t)=C_0+kt$ e encontre o valor de $k$.

III. Imagine dois tanques de reação $T$ e $U$, que se comunicam com fluxos $k_1=k_2$ A substância $A$ é introduzida no tanque $T$ a uma taxa constante $I$ e a substância $B$ é introduzida no tanque $U$ a um taxa constante $J$. A substância $B$ decai a uma taxa $\gamma_2$ apenas no tanque $T$ enquanto que a substância $A$ decai a uma taxa $\gamma_1$, apenas no tanque $U$.

1. Escreva um sistema de equações diferenciais descrevendo a evolução temporal das duas substâncias em cada um dos Tanques

2. Resolva o sistema analíticamente, usando o Sage. e discuta os equilíbrios e sua estabilidade.

3. Apresente a evolução da solução em um campo vetorial

4. Resolva numericamente o sistema no Sage

5. Assuma que $I=sen(t)$, encontre a nova solução do sistema e seu(s) equilibrio(s)

6. Assuma que a produção $J$ de $B$ é inibida pela concentração de $A$ no tanque $U$, e vice-versa: $A$ produção $I$ de $A$ é inibida pela Concentração de $B$ no tanque $T$. Encontre a solução do sistema e analise os seus equilíbrios.

Análise Dimensional e Adimensionalização

IV. Considere o seguinte modelo de crescimento populacional: $dN/dt=rN$, onde $N(0)=N_0>0$ e $r>0$. Neste modelo $r$ é a taxa de crescimento e $N_0$ é a população inicial. Lembre-se que a solução deste modelo é $N(t)=N_0 e^{rt}$.

1. Re-escale este modelo em unidades da população inicial, ou seja, defina $y(t)=N(t)/N_0$. Qual a equação resultante e quais as condições iniciais correspondentes?

2. Quais as unidades de $r$?

3. Qual o "tempo de duplicação" desta população? isto é o tempo $τ$ para o qual $y(τ)=yN_0$.

4. Mostre que é possivel definir um tempo adimensional $s$ tal que o modelo se transforme em $dy/ds=y$, $y(0)=1$.

V - Considere a seguinte equação para o crescimento de uma única espécie de organismo:

$$\frac{dP}{dt}=\frac{v P}{K+P}-\mu P$$

1. Interprete o que estas equações estão dizendo
2. defina $x=P / Q$ e $s=t/\tau$ onde $Q$, $\tau$ são escalas a serem escolhidas. Converta a equação para uma forma adimensional em termos destas novas escalas.
3. Qual seria uma escolha razoável para $Q$? e para $\tau$?

Solução:

VI. A dinâmica da lagarta do pinheiro pode ser descrita pelo modelo proposto por Ludwig, Jones e Holling. Este inseto se reproduz e é predado por pássaros.

$$\frac{dB}{dt} = r_B B \left(1-\frac{B}{K_B}\right) - \beta \frac{B^2}{\alpha^2 + B^2}$$

1. Explique o significado dos termos desta equação
2. Re-escreva esta equação em forma adimensional. Há duas escolhas de escalas para a densidade de da lagarta e duas para o tempo.

Potencial de Ação

VII - Considere uma simplificação do modelo de Hodgkin-Huxley, na qual o valores de $n$ e $h$ são fixos em seus valores de repouso.

$$\frac{dV}{dt}=- \left(g_{Na} m^3 h(V-V_{Na})+g_K n^4 (V-V_K) + g_L(V-V_L) \right) + I,$$

$$\frac{dm}{dt} = -\alpha_{m} V m + \beta_m V (1-m)$$

1. Implemente o modelo simplificado e investigue o comportamento temporal de sua solução.
2. Represente o modelo no plano de fase $V \times m$, juntamente com as suas nuliclinas, e descreva a sua dinâmica.
3. Compare o comportamento deste modelo com o do modelo completo