Modelando a Transmissão

Até agora viemos modelando a transmissão, usando a lei de ação de massas, $\beta S I$ , onde a transmissão é proporcional ao produto das densidades de Suscetíveis e Infeciosos. Entretanto existem diversas outras formulações para a transmissão, propostas na literatura. McCallun et al. discutem as principais em um artigo muito interessante.

Segundo alguns autores, $\beta S I$ , não representa uma verdadeira lei de ação de massas, e que esta deveria ser escrita como $\beta S I/N$ , onde $N$ é a o tamanho da população, $N=S+I+R$ , no caso de um modelo $SIR$ . Por que este distinção é importante?

Segundo Anderson e May, em sua obra clássica, Quando modelamos a transmissão usando a expressão $\beta S I$ , existe um limiar no número de suscetíveis, que abaixo deste valor, impede que uma doença infecciosa se estabeleça em uma população de suscetíveis. Claramente, se $R_0=\frac{\beta S_0}{\gamma}$ , Para obtermos um valor de $R_0=1$ , ponto de bifurcação transcrítica além do qual existe o equilíbrio endêmico, $S_0=\frac{\gamma}{\beta}$ . Contudo, quando formulamos a transmissão como $\beta S I/N$ , tal limiar populacional não existe, a invasibilidade depende apenas da razão entre $\gamma$ e $\beta$ , esta forma de transmissão é denominada de dependente da frequência, ou independente da densidade.

Exercício 1:

Mostre que o limiar epidêmico não depende de N quando a transmissão é modelada como $\beta S I/N$ .

In [ ]:

A lei de ação de massas, pela qual a taxa de contatos entre $S$ e $I$ depende de suas respectivas densidades, implica em uma mistura perfeitamente aeatória das populações, denominada panmixia, entretanto podemos facilmente imaginar situações em que isto não é verdadeiro. Por exemplo, a probabilidade de um médico encontrar um infeccioso é muito maior do que a dada pelo produto das densidades de médicos e infecciosos na população, pois os infecciosos ativamente procuram os médicos. Formulações alternativas

na tabela 1 do artigo de McCallum et al., são listadas pelo menos 7 formulações para a transmissão:

$\beta S I$ : dependente da densidade
$\beta S I/N$ : dependente da frequência
$\beta S^p I^q$ : relação de potência. Associada com heterogeneidades na susceptibilidade e Infecciosidade
$\beta I (N-I/q)$ quando $I<q N$ ou $0$ quando $I \geq qN$ : A constante $0<q<1$ , representa um efeito de refúgio, onde $q$ é a proporção da população potencialmente suscetível, devido a heterogeneidades espaciais.
$kS ln(1+\frac{\beta I}{k})$ : Binomial Negativa: Um $k$ pequeno corresponde a uma infecção altamente agregada. A medida em que $k \rightarrow \infty$ , a expressão se reduz à lei de ação de massas.
$\frac{N}{1-\epsilon+\epsilon N}\frac{F(S,I)}{N}$ :Função de contato assintótica, separada do termo de mistura $F(S,I)$ , pode ser qualquer um dos acima. Se $\epsilon=0$ , os contatos são proporcionais a $N$ , se $\epsilon=1$ , os contatos são independentes de $N$
$\frac{\beta S I}{c+S+I}$ : transmissão assintótica, $c$ é uma constante.

Exercício 2:

Para cada uma das formulações da transmissão acima, faça um gráfico 3D da taxa de transmissão x $S$ x $I$ .

In [4]:

var('beta S I')
beta=1
plot3d(beta*S**0.7*I**0.4, (S,0.01,1),(I,0.01,1), mesh=True, alpha=0.5)

Exercício 3:

Analise um modelo $SI$ para cada tipo de transmissão listado acima, calcule o $R_0$ , e identifique se existe um limiar epidêmico e qual a sua expressão.

In [9]:

def refuge(t,y, parms):
    I=y[0]
    N,beta,q, gammma = parms
    return [beta*I*(N-(I/q))-gamma*I]

In [12]:

T=ode_solver()
T.function = refuge
t_span = [0,1]
ic = [1]
N=100
beta=2
q=0.5
gamma = 0.1
T.ode_solve(t_span,ic,num_points=100, params=[N,beta,q,gamma])

In [13]:

T.plot_solution()

Exercício 4:

Para cada umas das funções de transmissão $f(S,I)$ , acima, crie uma função interativa onde seja possível explorar os efeitos dos parâmetros sobre a dinâmica temporal da epidemia.

In [14]:

@interact
def f3(p=(1,(0,1,.1)),q=(1,(0,1,.1))):
    P = plot3d(beta*S^p*I^q, (S,0,1),(I,0,1), mesh=True, alpha=0.5)
    show(P)

Incidência e Prevalência

Nos modelos epidemiológicos, O $I(t)$ representa o que chamamos de prevalência, ou seja, quantas pessoas estão infectadas no tempo $t$ . Contudo, normalmente, os dados de vigilância, normalmente nos entrega a incidência, ou seja, quanto novos casos foram detectados no instante no dia $t$ . Por causa desta diferença na forma de representar os casos, precisamos ser capazes de converter entre estas duas quantidades para podermos comparar corretamente a saída de nossos modelos com os dados.

Vamos mostrar como fazer isso a partir de dados simulados de um modelo discreto para facilitar a geração da série de incidência.

In [2]:

!pip3 install epimodels

Defaulting to user installation because normal site-packages is not writeable
Collecting epimodels
  Downloading epimodels-0.3.21.tar.gz (20 kB)
  Installing build dependencies ... done
  Getting requirements to build wheel ... done
  Preparing metadata (pyproject.toml) ... done
Requirement already satisfied: numpy in /usr/local/lib/python3.10/dist-packages (from epimodels) (1.22.4)
Requirement already satisfied: scipy in /usr/lib/python3/dist-packages (from epimodels) (1.8.0)
Requirement already satisfied: cython in /usr/lib/python3/dist-packages (from epimodels) (0.29.28)
Building wheels for collected packages: epimodels
  Building wheel for epimodels (pyproject.toml) ... done
  Created wheel for epimodels: filename=epimodels-0.3.21-py2.py3-none-any.whl size=11187 sha256=f541a92f99f0a373e26b3518ab26d76b6ef6d8808b2061fc4a6599ec0b823dbf
  Stored in directory: /home/fccoelho/.cache/pip/wheels/c1/dd/9b/0c17dd74b1069643d4824c007cd7ad4a6f7b66ab76dc39e690
Successfully built epimodels
Installing collected packages: epimodels
Successfully installed epimodels-0.3.21

In [1]:

import epimodels.discrete.models as DM

In [13]:

dsir = DM.SIR()
dsir([1000,1,0],(0,40),1000,{'beta':1.2, 'gamma': 0.5})

In [14]:

dsir.plot_traces()

In [ ]: