Résultante d'un déplacement en ligne brisée
Mise en situation
Un randonneur se dirige à l'aide de sa boussole. Ses déplacements successifs se résument comme suit :
200 mètres vers l'est
510 mètres vers le nord-est
350 mètres vers le nord
995 mètres vers le nord-ouest
Problème
Il a donc marché 200+510+350+995 = 2055 mètres. Mais s'il avait pu se déplacer en ligne droite, quelle distance aurait-il eu à parcourir et dans quelle direction aurait-il dû marcher?
Représentation graphique
Solution
On a représenté le déplacement de ce marcheur par les 4 vecteurs suivants :
S'il avait pu marcher en ligne droite, son déplacement aurait été donné par la somme de ces 4 vecteurs, soit :
En additionnant composante par composante, cela donne donc : où exactement, ou en arrondissant au millimètre le plus proche.
Il ne reste plus qu'à déterminer la norme du vecteur et sa direction pour résoudre le problème.
D'une part, on a D'autre part, comme est négatif et que est positif, pointe vers le deuxième quadrant, de sorte que soit
Réponse
S'il avait pu marcher en ligne droite, il aurait suffi que ce randonneur parcoure approximativement mètres en direction .
Résultante de deux vitesses
Mise en situation
Un bateau traverse une rivière. Son moteur le propulse à 12 km/h vers l'ouest, tandis que le courant l'entraîne à 3 km/h vers le nord.
Problème
À quelle vitesse le bateau se déplace-t-il réellement? Et quel est son angle de dérive?
Représentation graphique
Solution
On a représenté ci-dessus le vecteur-vitesse provenant de l'action du moteur et celui issu du courant de la rivière
La vecteur-vitesse du bateau résulte de la somme de ces deux derniers, soit
Il ne reste qu'à calculer la norme de , soit et l'angle formé par les vecteurs et , soit
Réponse
Le bateau se déplace approximativement à km/h et le courant le fait dériver de environ.
Résultante de deux forces
Mise en situation
Deux chevaux peu disciplinés sont attelés à une charrue. Le premier tire vers le sud avec une force de Newtons, le second vers le nord-est avec une force de Newtons.
Problème
Quelles sont l'intensité et la direction de la force résultant de l'action de ces deux chevaux?
Représentation graphique
Solution
On a représenté ci-dessus les forces exercées par les deux chevaux, soit
Puis on a représenté la force résultant de leurs actions conjuguées, soit où
On en déduit que la norme du vecteur vaut et que sa direction est
Réponse
L'action des deux chevaux équivaut approximativement à une force de Newtons en direction .
Système à l'équilibre
Polygone des forces ou combinaison linéaire : voir les exemples traités en classe.