Scipy.ipynb

Kernel: Python 3 (Anaconda)

SciPy

Što je SciPy?

SciPy je nadgradnja NumPy paketa, i sadrži veliki broj numeričkih algoritama za cijeli niz područja. Ovdje su pobrojana neka nama zanimljivija:

• Specijalne funkcije (scipy.special)

• Integracija (scipy.integrate)

• Optimizacija (scipy.optimize)

• Interpolacija (scipy.interpolate)

• Fourierova transformacija (scipy.fftpack)

• Linearna algebra (scipy.linalg)

• Linearna algebra s rijetkim matricama (scipy.sparse)

• Statistika (scipy.stats)

• Procesiranje slika (scipy.ndimage)

Za zadnja dva područja postoje i napredniji paketi. Za slike smo već npr. koristili scikit-image), a za statistiku ćemo korititi pandas paket.

SciPy paket učitavamo pomoću scipy modula.

from scipy import *

Narvno, možemo učitati i samo podpaket koji nas zanima, u ovom slučaju za linearnu algebru.

import scipy.linalg as la

Specijalne funkcije

Kao primjer pogledajmo Besselove funkcije:

# jn, yn: Besselove funkcije prvog i drugog reda s realnim stupnjem
# jn_zeros, yn_zeros: računaju pripadne nultočke
from scipy.special import jn, yn, jn_zeros, yn_zeros

n = 0    # stupanj
x = 0.0

print ("J_{}({}) = {:f}".format(n, x, jn(n, x)))

x = 1.0
print ("Y_{}({}) = {:f}".format(n, x, yn(n, x)))

J_0(0.0) = 1.000000
Y_0(1.0) = 0.088257

from pylab import *
%matplotlib inline

x = linspace(0, 10, 100)

fig, ax = subplots()
for n in range(4):
    ax.plot(x, jn(n, x), label=r"$J_%d(x)$" % n)
ax.legend();

n = 0 # stupanj
m = 4 # broj nultočaka za izračunati
jn_zeros(n, m)

array([  2.40482556,   5.52007811,   8.65372791,  11.79153444])

Numerička integracija

from scipy.integrate import quad, dblquad, tplquad

quad funkcija se koriste za numeričku integracije (quad ... jer se na engleskom taj proces zove kvadratura). dblquad služi za dvostruke, a tplquad za trostruke integrale.

Jednostavan primjer, računamo $$\begin{equation*} \int_0^1 x\, \mathrm{d}x \end{equation*}$$

def f(x):
    return x

x_donje = 0
x_gornje = 1

rez, abserr = quad(f, x_donje, x_gornje)

print ("Rezultat = {}, apsolutna greška = {}".format(rez,abserr))

Rezultat = 0.5, apsolutna greška = 5.551115123125783e-15

Ove funkcije imaju puno opcionalnih argumenata. Ako želimo funkciji koju integriramo proslijediti dodatne parametre (vidi ovdje), možemo korisiti varijablu args.

def integrand(x, n):
    """
    Besselova funkcija prvog tipa stupnja n. 
    """
    return jn(n, x)


x_d = 0
x_g = 10

rez, abserr = quad(integrand, x_d, x_g, args=(3,))

print (rez, abserr)

0.7366751370811073 9.389126882496403e-13

Korištenje anonimnih funkcija:

rez, abserr = quad(lambda x: exp(-x ** 2), -Inf, Inf)

print ("numerički  = {}, {}".format(rez, abserr))

egzaktno = sqrt(pi)
print ("egzaktno = {}".format(egzaktno))

numerički  = 1.7724538509055159, 1.4202636780944923e-08
egzaktno = 1.7724538509055159

U više dimenzija:

$$\begin{equation*} \int_a^b \int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x \end{equation*}$$

def integrand(x, y):
    return exp(-x**2-y**2)

x_d = 0  
x_g = 10
y_d = 0
y_g = 10
# ovdje je a = x_d, b = x_g, g(x) = y_d, h(x) = y_g
# g(x) i h(x) trebaju biti funkcije!
rez, abserr = dblquad(integrand, x_d, x_g, lambda x : y_d, lambda x: y_g)

print (rez, abserr)

0.7853981633974476 1.3753098510218528e-08

Obične diferencijalne jednadžbe (ODJ)

SciPy nudi dvije mogućnosti rješavanja ODJ: Funkciju odeint i klasu ode. Mi ćemo prikazati odeint.

from scipy.integrate import odeint, ode

Sustav ODJ zapisujemo kao:

$y' = f(y, t)$

gdje je

$y = [y_1(t), y_2(t), ..., y_n(t)]$,

Još trebamo i početne uvjete $y(0)$.

Ovo je sintaksa:

y_t = odeint(f, y_0, t)

• t je niz vremena za koje želimo riješiti ODJ

• y_t je niz s jednim retkom za svaki trenutak iz t, a stupci daje rješenje y_i(t) u tom trenutku

Dvostruko njihalo

Opis problema: http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum

from IPython.display import Image
Image(url='http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Double-compound-pendulum-dimensioned.svg')

Ovo su jednadže s wiki stranice:

${\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}$

${\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.$

${\dot p_{\theta_1}} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]$

${\dot p_{\theta_2}} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ -{\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + \frac{g}{\ell} \sin \theta_2 \right]$

Definiramo:

$x = [\theta_1, \theta_2, p_{\theta_1}, p_{\theta_2}]$

g = 9.82
L = 0.5
m = 0.1

def dx(x, t):
    """
    Desna strana ODJ
    """
    x1, x2, x3, x4 = x[0], x[1], x[2], x[3]
    
    dx1 = 6.0/(m*L**2) * (2 * x3 - 3 * cos(x1-x2) * x4)/(16 - 9 * cos(x1-x2)**2)
    dx2 = 6.0/(m*L**2) * (8 * x4 - 3 * cos(x1-x2) * x3)/(16 - 9 * cos(x1-x2)**2)
    dx3 = -0.5 * m * L**2 * ( dx1 * dx2 * sin(x1-x2) + 3 * (g/L) * sin(x1))
    dx4 = -0.5 * m * L**2 * (-dx1 * dx2 * sin(x1-x2) + (g/L) * sin(x2))
    
    return [dx1, dx2, dx3, dx4]

# početni uvjet
x0 = [pi/4, pi/2, 0, 0]

# niz vremena
t = linspace(0, 10, 250)

# rješenje ODJ
x = odeint(dx, x0, t)

# nacrtajmo rješenje
# crtamo kuteve
fig, axes = subplots(1,2, figsize=(12,4))
axes[0].plot(t, x[:, 0], 'r', label="theta1")
axes[0].plot(t, x[:, 1], 'b', label="theta2")
x1 = + L * sin(x[:, 0])
y1 = - L * cos(x[:, 0])
x2 = x1 + L * sin(x[:, 1])
y2 = y1 - L * cos(x[:, 1])
axes[1].plot(x1, y1, 'r', label="njihalo1")
axes[1].plot(x2, y2, 'b', label="njihalo2")
axes[1].set_ylim([-1, 0])
axes[1].set_xlim([1, -1]);

Jednostavna animacija, kasnije ćemo vidjeti kako možemo napravit bolju animaciju.

from IPython.display import display,clear_output
import time

fig, ax = subplots(figsize=(4,4))
for t_idx, tt in enumerate(t[:200]):
    x1 = + L * sin(x[t_idx, 0])
    y1 = - L * cos(x[t_idx, 0])
    x2 = x1 + L * sin(x[t_idx, 1])
    y2 = y1 - L * cos(x[t_idx, 1])    
    ax.cla()    
    ax.plot([0, x1], [0, y1], 'r.-')
    ax.plot([x1, x2], [y1, y2], 'b.-')
    ax.set_ylim([-1.5, 0.5])
    ax.set_xlim([1, -1])
    display(fig)
    clear_output(wait=True)    
    time.sleep(0.03)

Prigušeni dinamički oscilator

Opis problema možete pročitati ovdje: http://en.wikipedia.org/wiki/Damping

Jednadžba je

$$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + 2\zeta\omega_0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega^2_0 x = 0 \end{equation}$$

• $x$ pozicija oscilatora,

• $\omega_0$ frekvencija,

• $\zeta$ koeficijent gušenja.

Definiramo $p = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$:

$$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = - 2\zeta\omega_0 p - \omega^2_0 x \end{equation}$$$$\begin{equation} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = p \end{equation}$$

def dy(y, t, zeta, w0):
    """
    Desna strana ODJ za harmonički oscilator
    """
    x, p = y[0], y[1]
    
    dx = p
    dp = -2 * zeta * w0 * p - w0**2 * x

    return [dx, dp]

# početno stanje: 
y0 = [1.0, 0.0]

# vremena, frekvencija
t = linspace(0, 10, 1000)
w0 = 2*pi*1.0

# rješavamo ODJ za tri vrste prigušenja

y1 = odeint(dy, y0, t, args=(0.0, w0)) # negušeno
y2 = odeint(dy, y0, t, args=(0.2, w0)) # podgušeno
y3 = odeint(dy, y0, t, args=(1.0, w0)) # kritičko gušenje
y4 = odeint(dy, y0, t, args=(5.0, w0)) # pregušeno

fig, ax = subplots()
ax.plot(t, y1[:,0], 'k', label="negušeno", linewidth=0.25)
ax.plot(t, y2[:,0], 'r', label="podgušeno")
ax.plot(t, y3[:,0], 'b', label="kritičko gušenje")
ax.plot(t, y4[:,0], 'g', label="pregušeno")
ax.legend();

Fourierova transformacija

Paket je fftpack:

from scipy.fftpack import *

Primjenimo Fourierovu transformaciju na prethodni primjer harmoničkog oscilatora.

N = len(t)
dt = t[1]-t[0]

# y2 je rješenje podgušenog harmoničkog oscilatora
F = fft(y2[:,0]) 

# izračunajmo frekvencije
w = fftfreq(N, dt)

fig, ax = subplots(figsize=(9,3))
ax.plot(w, abs(F));

Kako je signal realan, spektar je simetričan. Stoga nam je dosta nacrtati pozitivne frekvencije.

indeksi = where(w > 0)
w_pos = w[indeksi]
F_pos = F[indeksi]

fig, ax = subplots(figsize=(9,3))
ax.plot(w_pos, abs(F_pos))
ax.set_xlim(0, 5);

Linearna algebra

Detaljna dokumentacija: http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html

Nećemo prolaziti kroz sve funkcije.

Sustavi linearnih jednadžbi

$A x = b$

A = array([[1,2,-1], [4,5,6], [7,8,9]])
b = array([1,2,3])

x = solve(A, b)
x

array([-0.33333333,  0.66666667,  0.        ])

# provjera
dot(A, x) - b

array([  0.00000000e+00,  -2.22044605e-16,   0.00000000e+00])

$A X = B$

A = rand(3,3)
B = rand(3,3)

X = solve(A, B)
X

array([[ 0.5199847 ,  1.33508075,  0.98631147],
       [-0.85868255, -2.24599046,  0.53620857],
       [ 0.79516259,  0.18409863, -0.79258861]])

# provjera
norm(dot(A, X) - B)

4.1910000110727263e-16

Svojstveni problem

$$\begin{equation}\displaystyle A v = \lambda v\end{equation}$$

evals = eigvals(A)
evals

array([ 1.16326497+0.j        , -0.12471967+0.21365995j,
       -0.12471967-0.21365995j])

evals, evecs = eig(A)

evals

array([ 1.16326497+0.j        , -0.12471967+0.21365995j,
       -0.12471967-0.21365995j])

evecs

array([[ 0.57615104+0.j        ,  0.31100815-0.18792585j,
         0.31100815+0.18792585j],
       [ 0.55783043+0.j        , -0.76806662+0.j        , -0.76806662-0.j        ],
       [ 0.59739031+0.j        , -0.28786918+0.44177235j,
        -0.28786918-0.44177235j]])

Svojstveni vektori su stupci u evecs:

n = 1

norm(dot(A, evecs[:,n]) - evals[n] * evecs[:,n])

6.6772208449746893e-16

To nije sve, postoje i specijalizirane funkcije, kao npr. eigh za hermitske matrice

Matrične operacije

# inverz
inv(A)

array([[ 0.18224249,  2.32018496, -1.51321686],
       [-0.76564105, -4.50039798,  5.74351864],
       [ 2.03427742, -2.36102176,  1.10236963]])

# determinanta
det(A)

0.07119829516433468

# razne norme
norm(A, ord=2), norm(A, ord=Inf)

(1.4186446775313915, 1.2152976994987217)

Rijetke matrice

Više informacija na http://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_matrix

Postoji više formata rijetkih matrica, mi nećemo ulaziti u detalje.

from scipy.sparse import *

# gusta matrica
M = array([[1,0,0,0], [0,3,0,0], [0,1,1,0], [1,0,0,1]]); M

array([[1, 0, 0, 0],
       [0, 3, 0, 0],
       [0, 1, 1, 0],
       [1, 0, 0, 1]])

# pretvorimo je u rijetku matricu
A = csr_matrix(M); A

<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.int64'>'
	with 6 stored elements in Compressed Sparse Row format>

# vratimo natrag
A.todense()

matrix([[1, 0, 0, 0],
        [0, 3, 0, 0],
        [0, 1, 1, 0],
        [1, 0, 0, 1]], dtype=int64)

Pametniji način kreiranja rijetke matrice.

A = lil_matrix((4,4)) # prazna 4x4 rijetka matrica
A[0,0] = 1
A[1,1] = 3
A[2,2] = A[2,1] = 1
A[3,3] = A[3,0] = 1
A

<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
	with 6 stored elements in LInked List format>

A.todense()

matrix([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  3.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  1.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0.,  1.]])

# konvertiranje
A = csr_matrix(A); A

<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
	with 6 stored elements in Compressed Sparse Row format>

A = csc_matrix(A); A

<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
	with 6 stored elements in Compressed Sparse Column format>

A.todense()

matrix([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  3.,  0.,  0.],
        [ 0.,  1.,  1.,  0.],
        [ 1.,  0.,  0.,  1.]])

(A * A).todense()

matrix([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  9.,  0.,  0.],
        [ 0.,  4.,  1.,  0.],
        [ 2.,  0.,  0.,  1.]])

(A @ A).todense()

matrix([[ 1.,  0.,  0.,  0.],
        [ 0.,  9.,  0.,  0.],
        [ 0.,  4.,  1.,  0.],
        [ 2.,  0.,  0.,  1.]])

dot(A,A)

<4x4 sparse matrix of type '<class 'numpy.float64'>'
	with 6 stored elements in Compressed Sparse Column format>

v = array([1,2,3,4])[:,newaxis]; v

array([[1],
       [2],
       [3],
       [4]])

Vektor v smo mogli konstruirati i drugačije (vidjeli smo primjere u predavanju o NumPy-ju), no uvijek trebamo doći do dvodimenzionalnog niza. Za razliku od MATLAB-a u kojemu su svi nizovi 2D, u NumPy-ju 1D niz nije isto što i matrica $n\times 1$ ili $1\times n$. Npr. jedna mogućnost je

v = array([[1,2,3,4]]).T

# rijetka matrica puta vektor
A * v

array([[ 1.],
       [ 6.],
       [ 5.],
       [ 5.]])

A.todense() * v

matrix([[ 1.],
        [ 6.],
        [ 5.],
        [ 5.]])

Optimizacija

Više na http://scipy-lectures.github.com/advanced/mathematical_optimization/index.html

Modul je optimize:

from scipy import optimize

Nalaženje minimuma

def f(x):
    return 4*x**3 + (x-2)**2 + x**4

fig, ax  = subplots()
x = linspace(-5, 3, 100)
ax.plot(x, f(x));

x_min = optimize.fmin_bfgs(f, -2)
x_min

Optimization terminated successfully.
         Current function value: -3.506641
         Iterations: 5
         Function evaluations: 24
         Gradient evaluations: 8

array([-2.67298151])

optimize.fmin_bfgs(f, 0.5)

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 2.804988
         Iterations: 3
         Function evaluations: 15
         Gradient evaluations: 5

array([ 0.46961745])

optimize.brent(f)

0.46961743402759754

optimize.fminbound(f, -4, 2)

-2.6729822917513886

Nalaženje rješenja jednadžbi

Problem oblika $f(x) = 0$ se rješava fsolve funkcijom.

omega_c = 3.0
def f(omega):
    return tan(2*pi*omega) - omega_c/omega

import numpy as np
np.seterr(divide='ignore')
fig, ax  = subplots(figsize=(10,4))
x = linspace(0, 3, 1000)
y = f(x)
maska = where(abs(y) > 50)
x[maska] = y[maska] = NaN # da se riješimo asimptote
ax.plot(x, y)
ax.plot([0, 3], [0, 0], 'k')
ax.set_ylim(-5,5);

optimize.fsolve(f, 0.1)

array([ 0.23743014])

optimize.fsolve(f, 0.6)

array([ 0.71286972])

optimize.fsolve(f, 1.1)

array([ 1.18990285])

Interpolacija

Funkcija interp1d, za dane nizove $x$ i $y$ koordinata vraća objekt koji se ponaša kao funkcija.

from scipy.interpolate import *

n = arange(0, 10)  
x = linspace(0, 9, 100)

y_meas = sin(n) + 0.1 * randn(len(n)) # ubacujemo malo šuma
y_real = sin(x)

linear_interpolation = interp1d(n, y_meas)
y_interp1 = linear_interpolation(x)

cubic_interpolation = interp1d(n, y_meas, kind='cubic')
y_interp2 = cubic_interpolation(x)

fig, ax = subplots(figsize=(10,4))
ax.plot(n, y_meas, 'bs', label='podaci sa šumom')
ax.plot(x, y_real, 'k', lw=2, label='originalna funkcija')
ax.plot(x, y_interp1, 'r', label='linearna interpolacija')
ax.plot(x, y_interp2, 'g', label='kubična interpolacija')
ax.legend(loc=3);

Statistika

Više na http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.html.

Mi ćemo kasnije raditi s moćnijim paketom pandas.

from scipy import stats

# slučajna varijabla s Poissionovom distribucijom

X = stats.poisson(3.5)

n = arange(0,15)

fig, axes = subplots(2,1, sharex=True)

# kumulativna distribucija (CDF)
axes[0].step(n, X.cdf(n))

#  histogram 1000 slučajnih realizacija od X
axes[1].hist(X.rvs(size=1000));

# normalna distribucija
Y = stats.norm()

x = linspace(-5,5,100)
fig, axes = subplots(3,1, sharex=True)
# PDF
axes[0].plot(x, Y.pdf(x))
# CDF
axes[1].plot(x, Y.cdf(x));
# histogram
axes[2].hist(Y.rvs(size=1000), bins=50);

Osnovna statistika:

X.mean(), X.std(), X.var()

(3.5, 1.8708286933869707, 3.5)

Y.mean(), Y.std(), Y.var()

(0.0, 1.0, 1.0)

from verzije import *
from IPython.display import HTML
HTML(print_sysinfo()+info_packages('numpy,scipy,matplotlib'))

Python verzija	3.5.3
kompajler	GCC 4.8.2 20140120 (Red Hat 4.8.2-15)
sustav	Linux
broj CPU-a	8
interpreter	64bit

numpy verzija	1.11.3
scipy verzija	0.19.0
matplotlib verzija	2.0.0

Zadaci za vježbu

• Konstruirajte $1000\times 1000$ matricu tipa lil_matrix, konvertirajte je u CSR format i riješite $A x = b$ za neki $b$.

• Učitajte matricu ODEP400A te izračunajte 100 njenih svojstvenih vrijednosti.

• Zadana je funkcija $f(x,y)=\mathrm{exp}(-1/(0.1x^2 + y^2)$. Ta funkcija ima minimum u $(0,0)$. Krenuvši od početne točke $(1, 1)$, probajte doći $10^{-8}$ blizu minimuma koristeći funkcije za optimizaciju.

• Riješite Lotka-Volterrin sustav ODJ za različite parametre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$.

• Riješite sljedeći problem: $$\begin{gather} \min x_1 x_4 (x_1+x_2+x_3)+x_3 \\ x_1x_2x_3x_4 \ge 25 \\ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 +x_4^2 =40 \\ 1 \le x_1,x_2,x_3,x_4 \le 5 \end{gather}$$ Za početnu točku uzmite $x_0 =(1,5,5,1)$.

Slika moonlanding.png je puna šuma. Zadaća je očistiti sliku koristeći Fourierovu transformaciju.

• Učitajte sliku s pylab.imread().

• Nađite i iskoristite 2-D FFT funkciju iz scipy.fftpack i nacrtajte spektar slike.

• Spektar se sastoji od komponenti s viskom i niskom frekvencijom. Šum je smješten u dijelu spektra s visokom frekvencijom, pa probajte neke od tih komponenti staviti na nulu.

• Koristite inverznu Fourierovu transformaciju da pogledate da li ste napravili dobar posao.