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Author: Dominique SOUDIERE
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Préparation pour le chapitre limites

a963eef5-2168-45eb-835e-dca457e351c3i %html <h3>Un énoncé</h3> <div class="enonce"> Un livre complet sur Sage en français: <a title="Sagebook" href="http://dl.lateralis.org/public/sagebook/sagebook-web-20130530.pdf" target="_blank">Calcul mathématique avec Sage.</a> <br> Un éditeur d'écritures mathématiques: <a href='https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php'>https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php</a> </div>

Un énoncé

Un livre complet sur Sage en français: Calcul mathématique avec Sage.
Un éditeur d'écritures mathématiques: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Limite en l'infini

  1. Représentez la fonction f(x)=x2+2f(x)=x^2+2. On mettra en titre la fonction ainsi que x et y en noms des axes et un quadrillage
  2. Que vaut limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) , limxf(x)\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)?
f(x)=x^2+2 plot (f(x),x,-5,5)

La limite de f(x) lorsque x tend vers - l'infini est : +l'infini

La limite de f(x) lorsque x tend vers +l'infini est : +l'infini

a5510c75-cc20-4093-877c-e113a04c8978i %html <h3>Comprendre la définition</h3> <div class="question"> <ol> <li> Résoudre $f(x)>M$ pour $M=10$ <ol> <li>en calculant la liste des valeurs de $f$ pour les 20 premières puissances de 10. </li> <li>en écrivant une procédure qui cherche le premier entier $x_M$ permettant d'atteindre 10 (utiliser une boucke while) </li> <li>en résolvant sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md) </li> </ol> <li> Résoudre $f(x)>M$ pour $M>0$ quelconque sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md) </li> </ol> </div>

Comprendre la définition

  1. Résoudre f(x)>Mf(x)>M pour M=10M=10
    1. en calculant la liste des valeurs de ff pour les 20 premières puissances de 10.
    2. en écrivant une procédure qui cherche le premier entier xMx_M permettant d'atteindre 10 (utiliser une boucke while)
    3. en résolvant sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md)
  2. Résoudre f(x)>Mf(x)>M pour M>0M>0 quelconque sur papier (on recopiera le résultat ensuite dans une cellule précédée de %md)
# première méthode c7bfbb60-1ed7-42c3-9698-625e51ea50a6 e32ae69c-56ac-4cf9-9844-7748bed3d7ebi %md #### 1) 1.

1) 1.

A=[f(10^k) for k in [1..20]]
A
[102, 10002, 1000002, 100000002, 10000000002, 1000000000002, 100000000000002, 10000000000000002, 1000000000000000002, 100000000000000000002, 10000000000000000000002, 1000000000000000000000002, 100000000000000000000000002, 10000000000000000000000000002, 1000000000000000000000000000002, 100000000000000000000000000000002, 10000000000000000000000000000000002, 1000000000000000000000000000000000002, 100000000000000000000000000000000000002, 10000000000000000000000000000000000000002]
485bfa13-147f-4fe8-a6b8-896362b6b287i %md #### 1) 2.

1) 2.

2e3dbe18-bcfd-430d-bc70-bd114399d59c a=1 while f(a)<10: a=a+1 print a-1
1 2

1) 3.

2)

%html <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?x^{2}&plus;2>0\;&space;\:&space;\forall&space;\:&space;x\in&space;\:&space;\mathbb{R}" title="x^{2}+2>0\; \: \forall \: x\in \: \mathbb{R}" />
# deuxième méthode

résolution manuelle:

Double-cliquez ici:

On écrira la résolution en utilisant l'éditeur mathématique https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Le résultat sera copié sur Sage puis entouré de symboles dollar:

f(x)>10../f(x)> 10 \Leftrightarrow ../

f(x)>10...f(x)> 10 \Leftrightarrow ...

démonstration générale:

Double-cliquez ici:

On écrira la résolution en utilisant l'éditeur mathématique https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php. Le résultat sera copié sur Sage puis entouré de symboles dollar:

f(x)>A...f(x)> A \Leftrightarrow ...

8496ccd6-3575-44e0-92b1-fbda293c18cei %html <h3>autre exemple</h3> <div class="question"> Faire de même (à l'exception des démonstrations manuelles) avec la fonction $f(x)=x^2-x$. </div>

autre exemple

Faire de même (à l'exception des démonstrations manuelles) avec la fonction f(x)=x2xf(x)=x^2-x.

1) 1.

g(x)=(x^2)-x
B=[g(10^k) for k in [1..20]]
B
[90, 9900, 999000, 99990000, 9999900000, 999999000000, 99999990000000, 9999999900000000, 999999999000000000, 99999999990000000000, 9999999999900000000000, 999999999999000000000000, 99999999999990000000000000, 9999999999999900000000000000, 999999999999999000000000000000, 99999999999999990000000000000000, 9999999999999999900000000000000000, 999999999999999999000000000000000000, 99999999999999999990000000000000000000, 9999999999999999999900000000000000000000]

1) 2.

a=1 while g(a)<10: a=a+1 print a-1
1 2 3

1) 3.

2)

Limite finie en l'infini

Que vaut limx+f(x)\lim\limits_{x\to +\infty}f(x) avec la fonction f(x)=3x2x3f(x)=\cfrac{3x-2} {x^3} ?
1addf60a-2c00-4fb0-bf39-bae257b38f0ai %html <img src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{3x-2}{x^3}=\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}" title="\frac{3x-2}{x^3}=\frac{3-\frac{2}{x}}{x^2}" />
Utilisez la fonction n(...) pour une approximation des calculs.
Dessinnez la courbe en commençant en dehors de 0.
Attention la boucle while ne doit pas utiliser le même critère que pour une limite infinie.