Exos1-12-17.sagews

Séance d'exercices du 1.12.2017

1. Trouvez la solution du problème à valeur initiale $$\mathbf{x}' = \begin{bmatrix}1&-5\\1&-3\end{bmatrix}\mathbf{x}$$ avec $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}$. Tracez ensuite la courbe solution.

2. Reprennez l'exercice précédent avec $A=\begin{bmatrix}1&-4\\4&-7\end{bmatrix}$ et $\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}3\\ 3\end{bmatrix}$

3. On considère le système d'équations différentielles $$\mathbf{x}' = \begin{bmatrix}1&-4\\-4&7\end{bmatrix}\mathbf{x}$$

   • Trouvez les vecteurs et valeurs propres

   • Esquissez les trajectoires du plan de phase

4. On considère le système linéaire ($A \in M_2(\mathbb{R}))$ $$\mathbf{x}'= A \mathbf{x}$$

   • Montrez que les valeurs propres de $A$ sont des complexes purs si et seulement si ${\rm tr}(A) = 0$ et ${\rm det}(A) >0$.

   • Soit $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}$. Montrez que dans la situation précédente on a une équation différentielle exacte en $\frac{dx_1}{dx_2}$.

   • Résolvez l'équation exacte trouvée dans la partie précédente et concluez que les courbes solution de l'équation originale dans le plan de phase sont des ellipses.