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Author: Juan Carlos Bustamante
Views : 58
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Séance d'exercices du 1.12.2017

  1. Trouvez la solution du problème à valeur initiale x=[1513]x\mathbf{x}' = \begin{bmatrix}1&-5\\1&-3\end{bmatrix}\mathbf{x} avec x(0)=[11]\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}. Tracez ensuite la courbe solution.

  2. Reprennez l'exercice précédent avec A=[1447]A=\begin{bmatrix}1&-4\\4&-7\end{bmatrix} et x(0)=[33]\mathbf{x}(0) = \begin{bmatrix}3\\ 3\end{bmatrix}

  3. On considère le système d'équations différentielles x=[1447]x\mathbf{x}' = \begin{bmatrix}1&-4\\-4&7\end{bmatrix}\mathbf{x}

    • Trouvez les vecteurs et valeurs propres
    • Esquissez les trajectoires du plan de phase
  4. On considère le système linéaire (AM2(R))A \in M_2(\mathbb{R})) x=Ax\mathbf{x}'= A \mathbf{x}

    • Montrez que les valeurs propres de AA sont des complexes purs si et seulement si tr(A)=0{\rm tr}(A) = 0 et det(A)>0{\rm det}(A) >0.
    • Soit x=[x1x2]\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1\\ x_2\end{bmatrix}. Montrez que dans la situation précédente on a une équation différentielle exacte en dx1dx2\frac{dx_1}{dx_2}.
    • Résolvez l'équation exacte trouvée dans la partie précédente et concluez que les courbes solution de l'équation originale dans le plan de phase sont des ellipses.