849.sagews

# RESUELVA LAS SIGUIENTES DESIGULADADES
#  2).
 var(x)

x

2*x+(6-3*x)/4<4

5/4*x + 3/2 < 4

#  multiplico a ambos lados por 4 para dejar todos los terminos en numeros enteros,
#  como se multiplica a ambos lados este procedimiento no afecta el resultado
 4*(5/4*x + 3/2 )<4*4

5*x + 6 < 16

#  despejo x
 5*x<16-6

5*x < 10

x<10/5

x < 2

# 5).
var(x)

x

(x+7)*(x-2)>=0

(x - 2)*(x + 7) >= 0

# lo primero que observo para resolver este ejercicio es que si lo veo como una ecucacion
# para que dicha ecuacion sea igual alguno de los dos terminos tiene que ser cero
# (x-2)=0 o (x+7)=0
x==2 ; x==-7

x == 2 x == -7

# luego se observa que el resultado de multiplicar los dos terminos siempre tiene que ser mayor que cero 
# mejor dicho un numero positivo, entonces los dos terminos tiene que ser positivos o los dos negativos.
# ahora resuelvo para cuando los dos son positivos
x-2>0,x+7>0

(x - 2 > 0, x + 7 > 0)

# todos los x>2 hacen los dos terminos positivos
# ahora resuelvo para los negativos
x-2<0,x+7<0

(x - 2 < 0, x + 7 < 0)

# todos los x<-7 hacen los dos terminos negativos
# entonces la solucion a la desigualdad son todo los numeros reales menos el conjunto de los numeros 
# entre -7 y 2
# x>=2 y x<=-7

# 8).
var('x')

x

x^2+7*x<8

x^2 + 7*x < 8

# reescribo la ecuacion
x^2+7*x-8<0

x^2 + 7*x - 8 < 0

# ahora se ve claramente que puedo factorizar
(x+8)*(x-1)<0

(x - 1)*(x + 8) < 0

# como sabemos que el resultado tiene que ser negativo, los dos terminos
# tienen que tener distinto signo
# entonces
(x-1)<0

x - 1 < 0

# con x<1
(x-1)>0

x - 1 > 0

# con x>1
(x+8)<0

x + 8 < 0

# con x<-8
(x+8)>0

x + 8 > 0

# con x>-8
# ahora tengo 1 y -8, luego reempazo numero mayores y menores que ambos en la desigualdad
# esto es como partir la recta de lo numeros reales en 3 con estos dos numeros y analizar en los tres intervalos
# la desigualdad.

# 9).
var('x')

x

x^3-x<0

x^3 - x < 0

# factorizando la x me queda
x*(x^2-1)<0

(x^2 - 1)*x < 0

# de nuevo como quiero que el resultado me de menor que cero(negativo)
# los dos terminos tiene que se de distinto signo
x^2-1<0

x^2 - 1 < 0

# reescribo
x^2<1
# y saco riaz cuadrada a ambos lados

sqrt(x^2) < 1

# lo que significa que 
(x^2 - 1)< 0
# se cumple  con x>-1 y con x<1 ya que una raiz siempre nos da la respuesta en valor absoluto  
# y ademas
(x^2 - 1) > 0

x^2 - 1 > 0

# con x<1 o x>-1
# como el otro temino es simplemente x sabemos que numeros positivos lo hacen mayor que cero y negativos lo 
# lo hacen menor. Luego tenemos tres  numeros  -1,0 y 1. ahora partimos la retca de los numeros reales de nuevo, pero # en esta ocacion en cuatro partes, y analizamos la desigualada en cada uno de los intervalos.