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Potencial Eléctrico y Dipolos

Taller de Física II

Rónald Rivas Suárez

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Ejercicios Grupales

1. (6 pts)

Una carga puntual $q=3.00\ \mu\textrm{C}$ está colocada en el origen.

a) Encuentren el potencial $V$ sobre el eje $x$, en los puntos $x_1=3.00\ \textrm{m}$ y $x_2=3,01\ \textrm{m}$.

Con los valores conocidos del ejercicio y la ecuación de Potencial de una carga puntual (discutida en clase) $V=k\frac{q}{r}$, tenemos:

q=3*10**-6
x1=3
x2=3.01
x3=3
y3=0.01
k=9*10**9

$V_1$

v1=k*q/x1; "V1 = " + str(float(v1)) + " V"

'V1 = 9000.0 V'

$V_2$

v2=k*q/x2; "V2 = " + str(float(v2)) + " V"

'V2 = 8970.09966777 V'

b) El potencial ¿crece o decrece al aumentar el valor de $x$? Calculen $-\frac{\Delta V}{\Delta x}$ donde $\Delta V$ es la variación del potencial entre $x_1$ y $x_2$ y $\Delta x=x_2-x_1$.

El potencial decrece al aumentar la distancia

dv=v2-v1; "DV = " + str(float(dv)) + " V"

'DV = -29.9003322259 V'

dx=x2-x1; "DX = " + str(float(dx)) + " m"

'DX = 0.01 m'

$-\frac{\Delta V}{\Delta x}$

dvx=-dv/dx; "-DV/DX = " + str(float(dvx)) + " V/m"

'-DV/DX = 2990.03322259 V/m'

c) Hallen $\vec E$ en el punto $x=3.00\ \textrm{m}$ y comparen su magnitud con el valor de la división $-\frac{\Delta V}{\Delta x}$ hallada en el apartado anterior.

e=k*q/x1**2; "E = " + str(float(e)) + " N/C"

'E = 3000.0 N/C'

Estos dos valores son casi iguales. De hecho, el campo eléctrico puede calcularse como $\vec E = -\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial x}\hat \imath -\frac{\partial V}{\partial y}\hat \jmath -\frac{\partial V}{\partial z}\hat k$, es decir, el campo eléctrico es menos el gradiente del potencial en el punto. Para una dimensión y distancias pequeñas, nuestra división se comporta como lo haría el gradiente.

d) Hallen el potencial en el punto $x=3.00\ \textrm{m}$, $y=0.01\ \textrm{m}$, y comparen el resultado con el potencial obtenido para un punto sobre el eje $x$ en $x=3.00\ \textrm{m}$. ¿Qué podemos decir acerca de este resultado?

$V_{(3;0.01)}$

r3=sqrt(x3**2+y3**2)
v3=k*q/r3; "V3 = " + str(float(v3)) + " V"

'V3 = 8999.95000042 V'

Prácticamente no hay diferencia entre $V_1$ y $V_{(3;0.01)}$. Este en parte se debe a que estamos estudiando dos puntos que están muy próximo sentre ellos. Es decir, a todos los usos prácticos los puntos están sobre superficies equipotenciales.

2. (2 pts)

En la realización de un electrocardiograma, se halla que la diferencia de potencial entre dos puntos del corazón es de $1.5\ \textrm{m}V$. Si estos puntos están separados una distancia de $r=3.00\ \textrm{cm}$, ¿Cuánto será el campo eléctrico entre los dos puntos en cuestión?

Suponemos el campo eléctrico entre los dos puntos constante, por lo que $E=\frac{V}{d}$, donde $E$ es el valor del campo, $V$ la diferencia de potencial entre los dos puntos y $d$ es la distancia entre los puntos. Hay que recordar colocar todas las unidades en términos de las unidades bases del SI.

V=1.5*10**(-3)
d=0.03
E=V/d; "E = " + str(float(E)) + " V/m"

'E = 0.05 V/m'

3. (4 pts)

El citoplasma en el interior de nuestras células suele tener una carga negativa con respecto al exterior de la misma. Por ello, sobre la membrana celular aparece un potencial eléctrico de alrededor de $-70\ \textrm{m}V$ (con el punto de menor potencial en el interior, por ello el signo negativo). ¿A qué aceleración estaría sujeto un ión de sodio que atravesara la membrana, si sabemos que su carga es positiva (falta un electrón), que es el número 11 de la tabla periódica, que su isótopo más estable tiene 12 neutrones y que la pared celular tiene un ancho típico de $8\ \textrm{nm}$ de espesor?

La ecuación necesaria para obtener la aceleración del ión de sodio es la segunda ley de Newton. La masa del ión de sodio podemos deducirlo de su masa atómica ($ma$, dada en la tabla periódica) y la Unidad de Masa Atómica ($uma$) o calculándola directamente con su número de protones (11, su número atómico) y neutrones (12 según dice el enunciado). La masa de los electrones es despreciable.

Masa del ión de Sodio ($M_{Na}$)

ma=22.98
uma=1.66*10**(-27)
MNa=ma*uma; "MNa = " + str(float(MNa)) + " Kg"

'MNa = 3.81468e-26 Kg'

En el caso de la fuerza, es necesario tener primero el campo, lo que a su vez se puede calcular imaginando que la pared celular es la distancia entre las dos placas con diferencia de potencial, y conociendo el valor de $V$

$E=\frac{V}{d}$

V=70*10**-3
d=8*10**-9
E=V/d; "E = " + str(float(E)) + " V/m"

'E = 8750000.0 V/m'

La carga del ión es igual a la carga de un protón (ausencia de un electrón)

$F=qE$

q=1.6*10**-19
F=q*E; "F = " + str(float(F)) + " N"

'F = 1.4e-12 N'

Y por último tenemos

$a=\frac{F}{m}$

a=F/MNa; "a = " + str(float(a)) + " m/s^2"

'a = 3.67003261086e+13 m/s^2'

4. (2 pts)

¿Cuánta energía acumula una molécula de Fenol si su momento dipolar es $\vec p= 5.2\times 10^{-30}\ \textrm{C}\cdot\textrm{m}$ dentro de un campo el\'ectrico $\vec E= 3\ \textrm{N/C}$ aplicado con un ángulo de $35°$ con respecto al eje del dipolo? ¿Cuál será su torque $\tau$?

La Energía de un Dipolo se puede calcular con la expresión

$U=-\vec p \cdot \vec E=-pE \cos{\theta}$

p=5.2*10**(-30)
E=3
U=-p*E*cos(35*pi/180); "U = " + str(float(U)) + " J"

'U = -1.27787718909e-29 J'

El torque $\tau$ se calcula con

$\tau=\vec p \times \vec E=pE \sin{\theta}$

p=5.2*10**(-30)
E=3
t=-p*E*sin(35*pi/180); "t = " + str(float(t)) + " N*m"

't = -8.94779240708e-30 N*m'