4701.sagews

var('a b c d')

A = matrix([[a, b], [c, d]])
A

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array}$$\right)

det(A)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a d - b c

Определитель 2 × 2-матрица представляет собой разницу между левым и правым диагональ продукции.

Если представить матрицу в виде списка списков, $ [[а, Ь], [C, D]] $, то
определителя представляет собой разницу между внешней и внутренней продукции.

Геометрически, если мы интерпретируем 2 × 2 матриц в качестве отправной точки матрицы, то определитель (или абсолютная величина) равна площади параллелограмма определяется тем, что матрица:

@interact

def _(diags = [False, True], a = (1..10), b = (1..10), c = (1..10), d = (1..10)):
    parallelogram = polygon([(0, 0), (a, b), (a+c, b+d), (c, d)], color = 'purple')
    background = polygon([(0, 0), (a+c, 0), (a+c, b+d), (0, b+d)], color = 'black')
    coordinate_lines = line([(a, 0), (a, b+d)], color = 'green', linestyle = '--') + \
                       line([(0, b), (a+c, b)], color = 'green', linestyle = '--') + \
                       line([(c, 0), (c, b+d)], color = 'green', linestyle = '--') + \
                       line([(0, d), (a+c, d)], color = 'green', linestyle = '--')
    coordinate_labels = text((0, 0), (0, 0), color = 'orange') + \
                        text((a, b), (a, b), color = 'orange') + \
                        text((c, d), (c, d), color = 'orange') + \
                        text((a+c, b+d), (a+c, b+d), color = 'orange')
    display = background + parallelogram + coordinate_lines + coordinate_labels
    if diags:
        if b/a > d/c:
            ydiag = line([(a, b), (0, b+d)], color = 'yellow', linestyle = '--')
            xdiag = line([(c, d), (a+c, 0)], color = 'yellow', linestyle = '--')
        else:
            ydiag = line([(c, d), (0, b+d)], color = 'yellow', linestyle = '--')
            xdiag = line([(a, b), (a+c, 0)], color = 'yellow', linestyle = '--') 
        display = display + ydiag + xdiag
    show(display, aspect_ratio = 1)
    rectangle = (a+c)*(b+d)
    if b/a > d/c: darts = (a+c)*d + (b+d)*a
    else: darts = (a+c)*b + (b+d)*c
    print 'Area of Parallelogram = |',a,'*',d,' - ',b,'*',c,'| = ',abs(a*d - b*c)
    print '\nArea of Rectangle - Surrounding Area = '
    print rectangle,' - ', darts,' = ', rectangle - darts

var('a b c d')

rectangle = (a + c)*(b + d)

darts = (a+c)*b + (b+d)*c
#darts = (a+c)*d + (b+d)*c
#darts = (a+c)*b + (b+d)*a
#darts = (a+c)*d + (b+d)*a

rectangle - darts

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}{\left(b + d\right)} {\left(a + c\right)} - {\left(b + d\right)} c - {\left(a + c\right)} b

expand(rectangle - darts)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a d - b c

Абсолютная величина определителя 2 × 2 матрица точка матрицы площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторами определяется тем, что матрицыЕсли матрица $ [(а, б), (в, г)] $, то параллелограмм бы сторонам, что векторы происходящих на $ (0, 0) $, продолжая через $ (A, B) $и$ (C, D) $, и заканчивается на $ (+ C, B + D) $.

Это прекращение точки также известен как равнодействующая двух векторов.

 

Правило Крамера

$a_1x + b_1y = c_1$
$a_2x + b_2y = c_2$

var('a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y')

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}, x, y\right)

Если вы хотите, чтобы правило Крамера, используя конкретные значения, введите эти значения ниже, и оценить клетки.

Если вы хотите, чтобы чисто символическую форму, пропустите следующую клетку и оценить следующее.

a1, b1, c1 = 1, 2, 3
a2, b2, c2 = 6, 7, 8

a1*x + b1*y == c1; a2*x + b2*y == c2

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a_{1} x + b_{1} y = c_{1}

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

D = matrix([[a1, b1], [a2, b2]])
D; det(D)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rr} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

Dx = matrix([[c1, b1], [c2, b2]])
Dx; det(Dx)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rr} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-b_{1} c_{2} + b_{2} c_{1}

Dy = matrix([[a1, c1], [a2, c2]])
Dy; det(Dy)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rr} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}

x, y = det(Dx)/det(D), det(Dy)/det(D)
x, y

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(-\frac{{\left(b_{1} c_{2} - b_{2} c_{1}\right)}}{{\left(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}\right)}}, \frac{{\left(a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}\right)}}{{\left(a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}\right)}}\right)

$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

var('a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, d3, x, y, z')

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}, a_{3}, b_{3}, c_{3}, d_{3}, x, y, z\right)

Если вы хотите, чтобы правило Крамера, используя конкретные значения, введите эти значения ниже, и оценить клетки.

Если вы хотите, чтобы чисто символическую форму, пропустите следующую клетку и оценить следующее.

a1, b1, c1, d1 = 2, 1, 1, 3
a2, b2, c2, d2 = 1, -1, -1, 0
a3, b3, c3, d3 = 1, 2, 1, 0

a1*x + b1*y + c1*z == d1; a2*x + b2*y + c2*z == d2; a3*x + b3*y + c3*z == d3

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}2 \, x + y + z = 3

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x - y - z = 0

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}x + 2 \, y + z = 0

D = matrix([[a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3]])
D; det(D)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3

Dx = matrix([[d1, b1, c1], [d2, b2, c2], [d3, b3, c3]])
Dx; det(Dx)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}3

Dy = matrix([[a1, d1, c1], [a2, d2, c2], [a3, d3, c3]])
Dy; det(Dy)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rrr} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-6

Dz = matrix([[a1, b1, d1], [a2, b2, d2], [a3, b3, d3]])
Dz; det(Dz)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left($$\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}$$\right)

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}9

x, y, z = det(Dx)/det(D), det(Dy)/det(D), det(Dz)/det(D)
x, y, z

\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(1, -2, 3\right)