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Escaleras flexibles con GeoGebra y Singular en Sage

1. introducir en el campo Entrada una función y=g(x),
2. construir un punto sobre la curva y=g(x)
3. con la herramienta, seleccionar la curva, el origen y el punto sobre la curva.

Puede activarse la traza de la escalera flexible para visualizar la envolvente.

Definimos R como el anillo de polinomios sobre los racionales en x,y,u,v. Hacer clic en la celdilla y evaluar.

R = singular.ring(0, '(u,v,x,y)', 'dp')

f es el polinomio que representa la recta donde reposa la escalera. Como siempre es el mismo, no hay que escribir nada, s�lo evaluar (clic en evaluate o May.+Enter).

f=singular("v*x+u*y-u*v")

g es la curva que gobierna la escalera. En la celdilla siguiente introducimos su expresi�n, donde hay que renombrar x -> u, y -> v. Ejemplo: si y=1/x entonces v*u-1; si y=x�/3 entonces 1/3*u^2-v; ...

Aunque GeoGebra no lo permite, aqu� podemos utilizar ecuaciones impl�citas. Por ejemplo si la curva que gobierna la escalera es la elipse x�/4+y�/9=1, escribimos 1/4*u^2+1/9*v^2-1 y evaluamos

g=singular("v*u-1")

�ste es el tercer polinomio necesario para la eliminaci�n.

h=singular(singular.diff(f,'u')*singular.diff(g,'v')-singular.diff(f,'v')*singular.diff(g,'u'))

Se define el ideal generado por estos tres polinomios

I=singular.ideal(f,g,h);I

-u*v+v*x+u*y, u*v-1, -v*x+u*y

y se eliminan las variables u,v

t=singular.eliminate(I,'uv')
if t.sage_polystring()=="0":
    upol=singular("u")
    vpol=singular("v")
    J=singular.ideal(upol,vpol)
    H=singular.sat(I,J)
    t=singular.eliminate(H[1],'uv')
t

4*x*y-1

siendo la �ltima expresi�n la de la envolvente buscada.

Para representarla, evaluamos la siguiente celdilla

var('x,y')
graph=implicit_plot(eval(t.sage_polystring()),(x,-5,5),(y,-5,5),plot_points=200)
graph.show(aspect_ratio=1)