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第一章练习题
1.设是偏序集,,证明是上的一个偏序.
证明. 反身性。对任意的,因,且,所以有,即具有反身性。
传递性。任取,则因,根据的传递性可知。另一方面,显然有,所以有,即具有传递性。
反对称性。如果,则。由于具有反对称性,所以必须有,因此具有反对称性。
2.设是上的一个偏序,证明也是一个偏序.
证明. 任取,则由的反身性可知,再由的定义可知。
如果,则有。由的传递性可知有。再由的定义可知。
设,则。由的反对称性可知。
3.设,是两个非空偏序集,上的关系,定义如下:
证明是上的一个偏序关系.
证明. 任取,则有,于是有。
设,则由的定义可知且,于是。同理可证。再由的定义可知。
如果,,则由的定义可知且,于是由的反对称性可知。同理可证。因此有。
4.举例说明保序的双射不必是序同构.
证明. 设, , ,令为恒等映射,则是一一保序的,但却不是保序的.
5.对任意的映射可诱导一个映射 .证明集合包含偏序保序,保上确界,保上、下确界.
证明. 运用命题1.1.6。
6.偏序集的每个子集有上确界的每个有限子集和定向子集有上确界.
证明. 必要性显然,下证充分性。
设的每个有限子集和定向子集有上确界,则空集作为的有限子集有上确界.对的任意非空子集,我们要证明有上确界。因为的任何有限子集有上确界,从而的任何子集都是定向集,因此是的定向子集。下面证明.事实上,由,是的一个上界.显然的任意上界都是的上界,因此,.
7.证明Bernstein定理:如果存在从集到集的单射和从集到集的单射,则存在从到的一一映射.
证明. 设是从到内的一一映射,并且是从到内的一一映射.可以假设与互不相交.这个定理的证明是用把与分解的方法完成的,而它最容易用单性生殖的术语来描述.点(属于或者)为点的祖先当且仅当能够由依次通过与(或者与)的作用而得到.现把分成三个集:令表中有偶数个祖先的点组成之集,令表有奇数个祖先的点组成之集,并令表有无限多个祖先的点组成的集合.类似地分解,同时注意:映到上,到上,又映到上.故在上与相一致并在上与相一致的函数就是到上的一一映射.