1913.sagews

n=5;
variables=[]
for row in range(n):
    variables.append([]);
    for column in range(n):
        variables[row].append(var('z'+str(n-row)+str(column+1)))
variables

[[z51, z52, z53, z54, z55], [z41, z42, z43, z44, z45], [z31, z32, z33, z34, z35], [z21, z22, z23, z24, z25], [z11, z12, z13, z14, z15]]

p=[1,3,2,4,5]
for column in range (n):
    variables[p[column]-1][column]=1
    for column_prime in range (column+1,n):
        variables[p[column]-1][column_prime]=0

M = matrix(variables);M

[ 1 0 0 0 0] [z41 z42 1 0 0] [z31 1 0 0 0] [z21 z22 z23 1 0] [z11 z12 z13 z14 1]

e=[]
zero_vector=list(0 for dummy in range(n))
for i in range (n):
    zero_vector[i]=1;
    e.append(vector(zero_vector));
    zero_vector[i]=0;
e

[(1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)]

s=e[1:]
s.append(vector(zero_vector))
N=matrix(s)
N

[0 1 0 0 0] [0 0 1 0 0] [0 0 0 1 0] [0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0]

a=[];
for row in range(n):
    a.append([])
    for column in range(row+2):
        a[row].append(var('a'+str(row+1)+str(column+1)))
a

[[a11, a12], [a21, a22, a23], [a31, a32, a33, a34], [a41, a42, a43, a44, a45], [a51, a52, a53, a54, a55, a56]]

X=[];
for i in range(n-2):
    X.append([]);
    X[i]=vector(zero_vector)
    for j in range (i+2):
        X[i]=X[i]+a[i][j]*M*e[j]
X

[(a11, a11*z41 + a12*z42, a11*z31 + a12, a11*z21 + a12*z22, a11*z11 + a12*z12), (a21, a21*z41 + a22*z42 + a23, a21*z31 + a22, a21*z21 + a22*z22 + a23*z23, a21*z11 + a22*z12 + a23*z13), (a31, a31*z41 + a32*z42 + a33, a31*z31 + a32, a31*z21 + a32*z22 + a33*z23 + a34, a31*z11 + a32*z12 + a33*z13 + a34*z14)]

for j in range(n-2):
    for i in range(n):
        print(e[i]*N*M*e[j],e[i]*X[j])

(z41, a11) (z31, a11*z41 + a12*z42) (z21, a11*z31 + a12) (z11, a11*z21 + a12*z22) (0, a11*z11 + a12*z12) (z42, a21) (1, a21*z41 + a22*z42 + a23) (z22, a21*z31 + a22) (z12, a21*z21 + a22*z22 + a23*z23) (0, a21*z11 + a22*z12 + a23*z13) (1, a31) (0, a31*z41 + a32*z42 + a33) (z23, a31*z31 + a32) (z13, a31*z21 + a32*z22 + a33*z23 + a34) (0, a31*z11 + a32*z12 + a33*z13 + a34*z14)

for j in range(n-2):
    for i in range(n):
        print(e[i]*X[j],e[i]*N*M*e[j])

(a11, z41) (a11*z41 + a12*z42, z31) (a11*z31 + a12, z21) (a11*z21 + a12*z22, z11) (a11*z11 + a12*z12, 0) (a21, z42) (a21*z41 + a22*z42 + a23, 1) (a21*z31 + a22, z22) (a21*z21 + a22*z22 + a23*z23, z12) (a21*z11 + a22*z12 + a23*z13, 0) (a31, 1) (a31*z41 + a32*z42 + a33, 0) (a31*z31 + a32, z23) (a31*z21 + a32*z22 + a33*z23 + a34, z13) (a31*z11 + a32*z12 + a33*z13 + a34*z14, 0)