Laboratoire3_2020.ipynb

Kernel: Python 3

Laboratoire 3 : Systèmes d'équations linéaires

27 octobre 2020, GCH217-MAT217, Prof. : V. Charette

L'objectif de ce labo est d'étudier un système d'équations linéaires à l'aide de python.

Nous avons vu comment résoudre le système suivant : $$X'= A X$$ dans le cas où $A$ est une matrice 2x2. Nous pouvons aussi faire ça avec sympy.

A. Rappels

Nous avons déjà utilisé la fonction dsolve dans sympy. Révisons avec l'exemple suivant :

$$\begin{align*} x_1' & = 3x_1-2x_2 \\ x_2' & = 4x_1-2x_2 \end{align*}$$

from sympy import *

x1=Function('x1')
x2=Function('x2')
t=Symbol('t')
C1=Symbol('C1')
C2=Symbol('C2')

sol=dsolve([x1(t).diff(t)-3*x1(t)+2*x2(t),x2(t).diff(t)-4*x1(t)-2*x2(t)],[x1(t),x2(t)])
sol[0]

sol[1]

Exercice 1. À l'aide de sympy, résolvez le système suivant :

$$\begin{align*} x_1' & = 2x_1-x_2 \\ x_2' & = 3x_1-2x_2 \\ x_1(0) & = 1 \\ x_2(0) & = 0 \\ \end{align*}$$

Regardons de quoi a l'air le graphe d'une solution particulière, avec des conditions initiales.

$$\begin{align*} x_1' & = 3x_1-2x_2 \\ x_2' & = 4x_1-2x_2 \\ x_1(0) & = 1 \\ x_2(0) & = 2 \end{align*}$$

sol=dsolve([x1(t).diff(t)-3*x1(t)+2*x2(t),x2(t).diff(t)-4*x1(t)-2*x2(t)],[x1(t),x2(t)],ics={x1(0):1,x2(0):2})
sol[0]

sol[1]

plot_parametric(sol[0].rhs, sol[1].rhs,(t, 0, 6))

Observez la syntaxe :

"plot_parametric" dessine le graphe d'une courbe paramétrée $\gamma(t)=(x_1(t),x_2(t))$. On doit donc donner les expressions pour $x_1$ (sol[0]) et $x_2$ (sol[1]), donc le côté droit de sol[0] et sol[1].

Exercice 2. À l'aide de sympy, tracez la courbe solution de :

$$\begin{align*} x_1' & = 2x_1-x_2 \\ x_2' & = 3x_1-2x_2 \\ x_1(0) & = 1 \\ x_2(0) & = 0 \\ \end{align*}$$

B. Système de trois équations

L'intérêt d'utiliser sympy, c'est surtout pour des plus gros systèmes. Considérons celui-ci.

$$\begin{align*} \frac{dx}{dt} & = -0.4 x-0.7 y+0.01 z\\ \frac{dy}{dt} & = 0.4 x\\ \frac{dz}{dt} & = 0.7y-0.01 z \end{align*}$$

On va avoir besoin d'une commande pour dessiner des courbes paramétrées dans $R^3$.

x3=Function('x3')
from sympy.plotting import plot3d_parametric_line

plot3d_parametric_line(t,t*sin(t),t**2*cos(t),(t,0,25))

Exercice 3. À l'aide de sympy :

a) trouvez la solution générale du système

b) tracez la courbe solution passant par le point (50,40,10).

C. Systèmes non-linéaires : approche numérique

On a déjà vu comment faire, au dernier labo. On rappelle comment faire ici, mais j'ai changé une chose dans les arguments de plot. Comparez le code avec ce qu'on a fait, et notez l'effet du changement.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import solve_ivp

N=100


def lotkavolterra(t, z, a, b, c, d):
    x, y = z
    return [a*x - b*x*y, -c*y + d*x*y]

sol1 = solve_ivp(lotkavolterra, [0, N], [10, 5], args=(1.5, 1, 3, 1),t_eval=np.arange(0, N, 0.01))
plt.plot(sol1.y[0],sol1.y[1])

# alternative : 
#sol1 = solve_ivp(lotkavolterra, [0, 15], [10, 5], args=(1.5, 1, 3, 1),dense_output=True)
#
#t = np.linspace(0, 5, 300)
#z = sol1.sol(t)
#plt.plot(z[0],z[1])

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Lotka-Volterra')
plt.show()

Pour une courbe en 3d, vous aurez besoin de ceci...

import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d 

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

t = np.arange(0, 40, 0.01)

ax.plot(t, t*np.cos(t), t**2*np.sin(t))


plt.show()

Exercice 4. Résolvez numériquement le système suivant :

$$\begin{align*} \frac{dx}{dt} & = -0.1 xy+0.01 z\\ \frac{dy}{dt} & = 0.1 xy-0.7y\\ \frac{dz}{dt} & = 0.7y-0.01 z \\ x(0) & = 20,\quad y(0)= 10,\quad z(0)=5 \end{align*}$$

Remarque. Il s'agit d'un modèle "Sain-Infecté-Remis", soit un modèle utilisé dans la modélisation d'épidémies.