Contact
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupport News AboutSign UpSign In
| Download
Views: 44

EQUAÇÕES EXATAS

A EDO dydx=yx\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\displaystyle\frac{y}{x} é de tipo separável já que podemos escrevê-la como dyy=dxx\displaystyle\frac{dy}{y}=-\displaystyle\frac{dx}{x}. Observe, porém, que também podemos escrever a equação da seguinte maneira: ydx+xdy=0ydx+xdy=0. Podemos reconhecer que o lado esquerdo é o diferencial da função f(x,y)=xyf(x,y)=xy, isto é, df=d(xy)=ydx+xdydf=d(xy)=ydx+xdy. O que vamos aprender neste tópico é que a EDO pode ser resolvida por um método alternativo sempre que for possível expressá-la na forma de um diferencial exato.
Em outras palavras, estudaremos EDOs de ordem 1 na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Veremos que existe um teste simples para determinar se M(x,y)dx+N(x,y)dyM(x,y)dx+N(x,y)dy é o diferencial de uma função f(x,y)f(x,y); se for, ff pode ser obtida por integração parcial e, assim, resolvemos a EDO.

Diferencial de uma Função de Duas Variáveis


Se z=f(x,y)z=f(x,y) é uma função de duas variáveis com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região RR do plano-xyxy, então seu diferencial é: dz=fxdx+fydydz=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}dx+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}dy No caso particular em que f(x,y)=cf(x,y)=c, cc constante, temos então: fxdx+fydy=0\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}dx+\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}dy=0 Podemos interpretar esta última expressão em termos de equações diferenciais, da seguinte maneira: dada uma família de funções de um parâmetro f(x,y)=cf(x,y)=c, uma EDO de ordem 1 é gerada simplesmente calculando o diferencial de ambos os lados da igualdade.
Observe que já encontramos algumas vezes expressões do tipo f(x,y)=cf(x,y)=c, especificamente quando a solução obtida é dada na forma implícita.
Exemplo
A família de funções f(x,y)=x25xy+y3=cf(x,y)=x^2-5xy+y^3=c conduz à EDO (2x5y)dx+(=5x+3y2)dy=0(2x-5y)dx+(=5x+3y^2)dy=0
Entretanto, nem toda EDO escrita na forma diferencial corresponde ao diferencial de alguma função f(x,y)=cf(x,y)=c. Então, a pergunta relevante é: dada uma EDO na forma diferencial, existe algum procedimento que permita reconhecer que ela é o diferencial de alguma função ? Se existir, então podemos obter a solução implícita da EDO.

Definição: Equação Exata


A expressão diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dyM(x,y)dx+N(x,y)dy é um diferencial exato em uma região RR do plano-xyxy se corresponde ao diferencial de alguma função f(x,y)f(x,y) definida em R.
Uma equação diferencial de ordem 1 e da forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 é dita uma equação exata se a expressão do lado direito for um diferencial exato.


Exemplo
A equação x2y3dx+x3y2dy=0x^2y^3dx+x^3y^2dy=0 é uma equação exata porque seu lado esquerdo é um diferencial exato d(13x3y3)=x2y3dx+x3y2dyd(\frac{1}{3}x^3y^3)=x^2y^3dx+x^3y^2dy. Observe que se denotarmos M(x,y)=x2y3M(x,y)=x^2y^3 e N(x,y)=x3y2N(x,y)=x^3y^2, então My=3x2y2\frac{\partial M}{\partial y}=3x^2y^2 e Nx=3x2y2\frac{\partial N}{\partial x}=3x^2y^2, ou seja, My=Nx\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}. O Teorema enunciado a seguir mostra que não se trata de uma coincidência.

Teorema: Critério para Diferencial Exato


Sejam M(x,y)M(x,y) e N(x,y)N(x,y) funções contínuas e com derivadas parciais primeiras também contínuas em uma região retangular RR. Então, uma condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx+N(x,y)dyM(x,y)dx+N(x,y)dy seja um diferencial exato é My=Nx\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}

Método de Solução


  1. Dada uma equação na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, determine se vale a igualdade My=Nx\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}
  2. Se vale, então existe uma função f(x,y)f(x,y) para a qual fx=M(x,y)\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=M(x,y). Dada uma equação na forma diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Integrando M(x,y)M(x,y) apenas em xx (mantendo yy constante) obtemos ff: f(x,y)=M(x,y)dx+g(y)f(x,y)=\int M(x,y)dx + g(y), onde a função arbitrária g(y)g(y) faz o papel de uma constante de integração, mas como fizemos a integração parcial em xx, esse termo pode depender de yy.
  3. Diferencie a expressão de f(x,y)f(x,y) anterior em relação a yy e assuma que f/y=N(x,y)\partial f/\partial y=N(x,y):fy=yM(x,y)dx+g(y)=N(x,y)g(y)=N(x,y)yM(x,y)dx\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx+g'(y)=N(x,y)\Rightarrow g'(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx
  4. Integre g(y)g'(y) com relação a yy (o que dá g(y)g(y)) e substitua na expressão de f(x,y)f(x,y) do Passo 2; a solução implícita da EDO é f(x,y)=cf(x,y)=c
Comentários
  1. Observe que, no Passo 3, g(y)=N(x,y)yM(x,y)dxg'(y)=N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx independe de xx; para isto, basta verificar que x[N(x,y)yM(x,y)dx]=Nxy(xM(x,y)dx)=NxMy=0\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\left[N(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}\int M(x,y)dx\right]=\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial}{\partial x}\int M(x,y)dx\right)=\displaystyle\frac{\partial N}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial M}{\partial y}=0
  2. No Passo 2, poderíamos ter assumido que fy=N(x,y)\frac{\partial f}{\partial y}=N(x,y). Integrando, agora, NN em relação a yy, obteríamos f(x,y)=N(x,y)dy+h(x)f(x,y)=\int N(x,y)dy + h(x). Diferenciando, agora, este resultado em relação a xx, teríamos obtido h(x)=M(x,y)xN(x,y)dyh'(x)=M(x,y)-\frac{\partial}{\partial x}\int N(x,y)dy. No Passo 4, integraríamos h(x)h'(x) em relação a xx e, daí, teríamos f(x,y)f(x,y). Os procedimentos são absolutamente equivalentes

Exemplo 1

Resolva a equação 2xydx+(x21)dy=02xydx+(x^2-1)dy=0.
Solução
  1. Da equação M(x,y)=2xyM(x,y)=2xy e N(x,y)=x21N(x,y)=x^2-1, de modo que verificamos que My=2x=Nx\frac{\partial M}{\partial y}=2x=\frac{\partial N}{\partial x}
  2. Como a equação é exata, então existe uma função f(x,y)f(x,y) tal que fx=2xy\frac{\partial f}{\partial x}=2xy e fy=x21\frac{\partial f}{\partial y}=x^2-1. Integrando a primeira equação em xx obtemos f(x,y)=x2y+g(y)f(x,y)=x^2y + g(y)
  3. Diferenciando f(x,y)f(x,y) em relação a yy e igualando a N(x,y)=x21N(x,y)=x^2-1 temos fy=x2+g(y)=x21\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+g'(y)=x^2-1; segue que g(y)=1g'(y)=-1
  4. Integrando g(y)g'(y) com relação a yy vem g(y)=yg(y)=-y; fazendo as substituições, f(x,y)=x2yyf(x,y)=x^2y-y.
Portanto, a solução da equação na forma implícita é x2yy=cx^2y-y=c. Neste exemplo, em particular, podemos obter a forma explícita que é: y=cx21y=\frac{c}{x^2-1} (definida em qualquer intervalo que não contenha x=±1x=\pm 1) Verifique que esta equação também pode ser resolvida por variáveis separadas ou como equação linear.

Exemplo 2

Encontre a solução da equação (e2yycosy)dx+(2xe2yxcosxy+2y)dy=0(e^{2y}-y\cos{y})dx+(2xe^{2y}-x\cos{xy}+2y)dy=0
Solução
A equação é exata uma vez que My=2e2y+xysinxycosxy=Nx\frac{\partial M}{\partial y}=2e^{2y}+xy\sin{xy}-\cos{xy}=\frac{\partial N}{\partial x}. Para variar desta vez, comecemos com f/y=N(x,y)\partial f/\partial y=N(x,y), isto é, fy=2xe2yxcosxy+2y\frac{\partial f}{\partial y}=2xe^{2y}-x\cos{xy}+2y. Integrando em yy (isto é, tratando xx como constante): f(x,y)=xe2ysinxy+y2+h(x)f(x,y)=xe^{2y}-\sin{xy}+y^2+h(x) Derivando em xx: fx=e2xycosxy+h(x)=e2yycosy (=M(x,y))\frac{\partial f}{\partial x}=e^{2x}-y\cos{xy}+h'(x)=e^{2y}-y\cos{y}\ (=M(x,y)). Consequentemente, h(x)=0h'(x)=0 e h(x)=ch(x)=c. Finalmente a família de soluções é xe2ysinxy+y2+c=0xe^{2y}-\sin{xy}+y^2+c=0
Solução Sage
Como se pode ver, a solução do Sage é exatamente igual à nossa solução manual (a menos da posição da constante c, que é irrelevante). Além disso, também observamos que o método utilizado pelo Sage é exact, ou seja, ele identifica que a equação é do tipo exato e usa o mesmo método que acabamos de aprender.
x=var('x'); y=function('y')(x) fu = desolve((2*x*exp(2*y)-x*cos(x*y)+2*y)*diff(y,x)+(exp(2*y)-y*cos(x*y)) == 0, y,show_method=True) show(fu)
[xe(2y(x))+y(x)2sin(xy(x))=C\displaystyle x e^{\left(2 \, y\left(x\right)\right)} + y\left(x\right)^{2} - \sin\left(x y\left(x\right)\right) = C, exact]

Exemplo 3: Problema a Valor Inicial

Resolva o PVI dydx=xy2cosxsinxy(1x2),y(0)=2\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{xy^2-\cos{x}\sin{x}}{y(1-x^2)},\quad y(0)=2
Solução
Para tentar resolver pelo Método da Equação Exata, precisamos reescrever a EDO como: (cosxsinxxy2)dx+y(1x2)dy=0(\cos{x}\sin{x}-xy^2)dx+y(1-x^2)dy=0. Verifica-se, então, que My=2xy=Nx\frac{\partial M}{\partial y}=-2xy=\frac{\partial N}{\partial x}. Logo fy=y(1x2)\frac{\partial f}{\partial y}=y(1-x^2), f(x,y)=y22(1x2)+h(x)f(x,y)=\frac{y^2}{2}(1-x^2)+h(x) e fx=xy2+h(x)=cosxsinxxy2\frac{\partial f}{\partial x}=-xy^2+h'(x)=\cos{x}\sin{x}-xy^2. Assim, h(x)=cosxsinxh(x)=(cosx)(sinxdx)=12cos2xh'(x)=\cos{x}\sin{x}\Rightarrow h(x)=-\displaystyle\int (\cos{x})(-\sin{x}dx)=-\frac{1}{2}\cos^2{x} Portanto, a solução geral implícita é: y22(1x2)12cos2x=c1y2(1x2)cos2x=c\frac{y^2}{2}(1-x^2)-\frac{1}{2}\cos^2{x}=c_1\Rightarrow y^2(1-x^2)-\cos^2{x}=c Impondo a condição inicial x=0, y=2x=0,\ y=2 fornece c=3c=3. A solução implícita do PVI é, então: y2(1x2)cos2x=3y^2(1-x^2)-\cos^2{x}=3
Solução Sage
Como se observa, abaixo, a solução do Sage é exatamente igual a nossa solução manual (a menos de algumas simplificações adicionais que fizemos).
x=var('x'); y=function('y')(x) edo = diff(y,x) == (x*y^2-cos(x)*sin(x))/(y*(1-x^2)) fu = desolve(edo, y,show_method=True) show(fu)
12x2y(x)212cos(x)2+12y(x)2=C\displaystyle -\frac{1}{2} \, x^{2} y\left(x\right)^{2} - \frac{1}{2} \, \cos\left(x\right)^{2} + \frac{1}{2} \, y\left(x\right)^{2} = C
Gráfico das Soluções
Neste caso, construir o gráfico de algumas soluções não é tão simples quanto em casos discutidos anteriormente. O procedimento mais simples é usar a técnica das curvas de nível (passando os valores de alguns níveis) e sobrepondo o campo de inclinações. O resultado é surpreendente: as soluções possuem comportamentos qualitativos variados.
# Define as variáveis da EDO x=var('x') y=function('y')(x) f(x,y) = (x*y^2-cos(x)*sin(x))/(y*(1-x^2)) PG = plot_slope_field(f,[x,-4,4],[y,-4,4], plot_points=40) P1=contour_plot(y^2*(1-x^2)-cos(x)^2, (x,-4,4), (y,-4,4),contours=[-50,-30,-20,-10,-0.5,-0.2,-0.1,0,0.4,2],plot_points=121,fill=False,axes=True,cmap='hsv') show(PG+P1,figsize=(6,6))

Fator Integrante para Equações Exatas


Em alguns casos, é possível transformar uma equação não exata em exata através de um procedimento semelhante ao Método do Fator Integrante, que estudamos para equações lineares. Desta maneira, pode-se resolver a EDO usando o método apresentado neste tópico. Para detalhes, consulte, por exemplo, o livro D.G. Zill, A First Course in Differential Equatons with Modeling Applications.