EQUAÇÕES EXATAS
A EDO é de tipo separável já que podemos escrevê-la como . Observe, porém, que também podemos escrever a equação da seguinte maneira: . Podemos reconhecer que o lado esquerdo é o diferencial da função , isto é, . O que vamos aprender neste tópico é que a EDO pode ser resolvida por um método alternativo sempre que for possível expressá-la na forma de um diferencial exato.
Em outras palavras, estudaremos EDOs de ordem 1 na forma diferencial . Veremos que existe um teste simples para determinar se é o diferencial de uma função ; se for, pode ser obtida por integração parcial e, assim, resolvemos a EDO.
Em outras palavras, estudaremos EDOs de ordem 1 na forma diferencial . Veremos que existe um teste simples para determinar se é o diferencial de uma função ; se for, pode ser obtida por integração parcial e, assim, resolvemos a EDO.
Diferencial de uma Função de Duas Variáveis
Se é uma função de duas variáveis com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano-, então seu diferencial é: No caso particular em que , constante, temos então: Podemos interpretar esta última expressão em termos de equações diferenciais, da seguinte maneira: dada uma família de funções de um parâmetro , uma EDO de ordem 1 é gerada simplesmente calculando o diferencial de ambos os lados da igualdade.
Observe que já encontramos algumas vezes expressões do tipo , especificamente quando a solução obtida é dada na forma implícita.
Exemplo
A família de funções conduz à EDOEntretanto, nem toda EDO escrita na forma diferencial corresponde ao diferencial de alguma função . Então, a pergunta relevante é: dada uma EDO na forma diferencial, existe algum procedimento que permita reconhecer que ela é o diferencial de alguma função ? Se existir, então podemos obter a solução implícita da EDO.
Definição: Equação Exata
A expressão diferencial é um diferencial exato em uma região do plano- se corresponde ao diferencial de alguma função definida em R.
Uma equação diferencial de ordem 1 e da forma é dita uma equação exata se a expressão do lado direito for um diferencial exato.
Exemplo
A equação é uma equação exata porque seu lado esquerdo é um diferencial exato . Observe que se denotarmos e , então e , ou seja, . O Teorema enunciado a seguir mostra que não se trata de uma coincidência.Teorema: Critério para Diferencial Exato
Sejam e funções contínuas e com derivadas parciais primeiras também contínuas em uma região retangular . Então, uma condição necessária e suficiente para que seja um diferencial exato é
Método de Solução
- Dada uma equação na forma diferencial , determine se vale a igualdade
- Se vale, então existe uma função para a qual . Dada uma equação na forma diferencial . Integrando apenas em (mantendo constante) obtemos : , onde a função arbitrária faz o papel de uma constante de integração, mas como fizemos a integração parcial em , esse termo pode depender de .
- Diferencie a expressão de anterior em relação a e assuma que :
- Integre com relação a (o que dá ) e substitua na expressão de do Passo 2; a solução implícita da EDO é
Comentários
- Observe que, no Passo 3, independe de ; para isto, basta verificar que
- No Passo 2, poderíamos ter assumido que . Integrando, agora, em relação a , obteríamos . Diferenciando, agora, este resultado em relação a , teríamos obtido . No Passo 4, integraríamos em relação a e, daí, teríamos . Os procedimentos são absolutamente equivalentes
Exemplo 1
Resolva a equação .Solução
- Da equação e , de modo que verificamos que
- Como a equação é exata, então existe uma função tal que e . Integrando a primeira equação em obtemos
- Diferenciando em relação a e igualando a temos ; segue que
- Integrando com relação a vem ; fazendo as substituições, .
Exemplo 2
Encontre a solução da equaçãoSolução
A equação é exata uma vez que . Para variar desta vez, comecemos com , isto é, . Integrando em (isto é, tratando como constante): Derivando em : . Consequentemente, e . Finalmente a família de soluções éSolução Sage
Como se pode ver, a solução do Sage é exatamente igual à nossa solução manual (a menos da posição da constante c, que é irrelevante). Além disso, também observamos que o método utilizado pelo Sage é exact, ou seja, ele identifica que a equação é do tipo exato e usa o mesmo método que acabamos de aprender.[, exact]
Exemplo 3: Problema a Valor Inicial
Resolva o PVISolução
Para tentar resolver pelo Método da Equação Exata, precisamos reescrever a EDO como: . Verifica-se, então, que . Logo , e . Assim, Portanto, a solução geral implícita é: Impondo a condição inicial fornece . A solução implícita do PVI é, então:Solução Sage
Como se observa, abaixo, a solução do Sage é exatamente igual a nossa solução manual (a menos de algumas simplificações adicionais que fizemos).Gráfico das Soluções
Neste caso, construir o gráfico de algumas soluções não é tão simples quanto em casos discutidos anteriormente. O procedimento mais simples é usar a técnica das curvas de nível (passando os valores de alguns níveis) e sobrepondo o campo de inclinações. O resultado é surpreendente: as soluções possuem comportamentos qualitativos variados.Fator Integrante para Equações Exatas
Em alguns casos, é possível transformar uma equação não exata em exata através de um procedimento semelhante ao Método do Fator Integrante, que estudamos para equações lineares. Desta maneira, pode-se resolver a EDO usando o método apresentado neste tópico. Para detalhes, consulte, por exemplo, o livro D.G. Zill, A First Course in Differential Equatons with Modeling Applications.