Inleveropdracht 3
In deze opdracht gaan we het randwaardeprobleem en numeriek oplossen.
We discretiseren het interval hiertoe met roosterpunten , voor en met en gaan op zoek naar een benadering van de oplossing, .
a) Laat zien dat de oplossing van het randwaardeprobleem voldoet het volgende stelsel vergelijkingen waar een vector is met elementen voor , de bijbehorende waarden van bevat, de truncatiefout is en Geef ook een uitdrukking voor de truncatiefout.
Hint: Beredeneer eerst welke benadering voor de tweede afgeleide in ieder punt gebruikt is. Denk ook aan het toepassen van de randvoorwaarden in en .
antwoord: Met behulp van een Taylor expansie van rond vinden we In de eerste term herkennen we de coefficienten in te matrix. Gebruikmakend van het feit dat vinden we dat .
1 punt
Het blijkt dat de eigenwaarden van zijn gegeven door voor . Je mag dit gebruiken bij het beantwoorden van de volgende vragen.
b) We kunnen nu de oplossing van het randvoorwaardeprobleem benaderen met die voldoet aan . Geef een bovengrens voor de discretisatiefout van de vorm en laat vervolgens zien dat de discretisatiefout van order is, dwz
Hint: Kijk naar het verschil en gebruik wat je weet over de truncatiefout en de eigenwaarden van de matrix
antwoord: We kijken naar het verschil: en vinden dat . Gebruikmakend van de eigenschappen van de norm krijgen we de volgende afschatting (1 punt)
Eerst gaan we een uitdrukking voor vinden. Als we de 2-norm gebruiken en de relatie (waarbij de spectrale radius is) krijgen we (omdat symmetrisch is). De eigenwaarden van zijn gegeven en we vinden (1/2 punt)
Om de tweede term af te schatten maken we gebruik van de ongelijkheid . Hieruit krijgen we waarbij (Als je gebruikt dat en op een factor uitkomt is dat ook goed.) (1/2 punt)
We gaan nu de orde van grootte van de fout bepalen. We gebruiken hier dat en vinden zo het gewenste antwoord. (Als je op uitkomt is dat ook goed).
(1/2 punt)
c) We gaan nu de oplossing van het stelsel vergelijkingen benaderen door het stelset iteratief op te lossen met een vastepuntiteratie Laat zien dat de iteratieconvergeert voor en geef ook een optimale waarde voor . Hint: kijk nog eens naar opgave 7.7.9
antwoord: We krijgen de volgende uitdrukking voor de fout Deze iteratie convergeert als (zie pagina 180 van het boek). De eigenwaarden van zijn . De grootste (in absolute zin) is . De grenzen zijn dus en . Invullen geeft het gewenste antwoord. (1/2 punt).
De optimale geeft een zo klein mogelijke spectrale radius. Omdat zowel positieve als negatieve eigenwaarden kan hebben verkrijgen we de kleinst mogelijke als de meest negatieve gelijk is is magnitude als de meest positieve, ofwel Hieruit volgt (1/2 punt).
d) Laat zien dat de convergentiefout na iteraties is begrensd door ervan uitgaande dat en geef een uitdrukking voor .
antwoord: Uit het antwoord in c) krijgen we direct
De spectrale radius van is (met de optimale ) (1/2 punt)
e) Geef nu een bovengrens voor de totale fout als functie van and en geef aan hoe de fout zich asymptotisch gedraagt als .
antwoord: We herschrijven de fout eerst als en gebruiken de driehoeksongelijkheid: (1/2 punt)
Van de eerste term weten we dat deze is. Van de tweede term merken we het volgende op: Als voor vaste , dan . Voor vaste hebben we dat , dus als . Als laatste merken we op dat wat we kunnen afschatten op . (1/2 punt)
Om er voor te zorgen dat de tweede term kleiner wordt als zal dus ook moeten groeien. (Ik verwacht niet dat iemand zo ver is gekomen; ik heb zelf ook nog niet uitgewerkt hoe snel moet groeien om die hele fout te laten krimpen als ....)
f) Ga nu door middel van een numeriek experiment na hoe goed de bovengrens is die je bij e) hebt afgeleid. Neem hiervoor , zodat de echte oplossing is gegeven door . Laat een grafiek zien van de discretisatiefout, convergentiefout en totale fout als een functie van voor verschillende . Bespreek wat je observeert in de grafieken.
Hieronder vind de benodigde code om je op weg te helpen.
antwoord: Hieronder een plot van de discretisatiefout als functie van . We observeren inderdaad dat de fout afneemt als . (1 punt)
antwoord: Hieronder de convergentiefout waarin we lineaire convergentie observeren, zoals verwacht. De bovengrens is wel erg pessismistisch, in praktijk neemt de fout sneller af. (1 punt)
antwoord: Hieronder een grafiek van de convergentiefout als functie van . We zien dat de fout langzamer afneemt naarmate toeneemt. Bijzonder is ook dat de fout toe begint te nemen naarmate toeneemt. Duidelijk te zien is het gedrag van de totale fout als . (1 point)
Tot slot vragen we ons af hoe snel moet groeien met als we een convergende totale fout willen. In de grafiek hieronder zien we dat volstaat om de totale fout met te laten afnemen. (1 punt)