| Hosted by CoCalc | Download
# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Gražina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę. 
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė 
    suma ir gražina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis 
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki 
    erdvės V bazės ir gražina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)


# Pavyzdžiui,
vec = [vector([1,0,0]),vector([1,1,0])]
papildom(vec, QQ^3)
[(0, 0, 1)] 
A = matrix(QQ, 8, 8, [[-39,14,18,-6,-14,5,-2,-1],
                      [-83,31,33,-12,-25,10,-4,-1],
                      [-61,18,29,-10,-20,8,0,-3],
                      [18,-9,-8,4,6,-1,5,-2],
                      [-61,18,26,-10,-17,8,0,-3],
                      [-38,10,23,-6,-20,8,1,-5],
                      [1,0,-2,0,2,0,3,1],
                      [72,-23,-28,11,21,-9,2,5]])
show(A)
(−391418−6−145−2−1−833133−12−2510−4−1−611829−10−2080−318−9−846−15−2−611826−10−1780−3−381023−6−2081−510−20203172−23−281121−925)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} -39 & 14 & 18 & -6 & -14 & 5 & -2 & -1 \\ -83 & 31 & 33 & -12 & -25 & 10 & -4 & -1 \\ -61 & 18 & 29 & -10 & -20 & 8 & 0 & -3 \\ 18 & -9 & -8 & 4 & 6 & -1 & 5 & -2 \\ -61 & 18 & 26 & -10 & -17 & 8 & 0 & -3 \\ -38 & 10 & 23 & -6 & -20 & 8 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 72 & -23 & -28 & 11 & 21 & -9 & 2 & 5 \end{array}\right)


# 2 pavyzdys. Rasime matricos
show(A)
(−391418−6−145−2−1−833133−12−2510−4−1−611829−10−2080−318−9−846−15−2−611826−10−1780−3−381023−6−2081−510−20203172−23−281121−925)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} -39 & 14 & 18 & -6 & -14 & 5 & -2 & -1 \\ -83 & 31 & 33 & -12 & -25 & 10 & -4 & -1 \\ -61 & 18 & 29 & -10 & -20 & 8 & 0 & -3 \\ 18 & -9 & -8 & 4 & 6 & -1 & 5 & -2 \\ -61 & 18 & 26 & -10 & -17 & 8 & 0 & -3 \\ -38 & 10 & 23 & -6 & -20 & 8 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 72 & -23 & -28 & 11 & 21 & -9 & 2 & 5 \end{array}\right)
# Žodano formą ir atitinkamą bazę.

Sprendimas

# Randame matricos charakteristinį polinomą:

p = A.charpoly(var = 't')
show(p.factor())
(t−3)8\displaystyle (t - 3)^{8}
# Nagrinėjame matricą B := A-3*E ir skaičiuojame jos laipsnių branduolių dimensijas:
B = A - 3*matrix.identity(8)
show(B)
(−421418−6−145−2−1−832833−12−2510−4−1−611826−10−2080−318−9−816−15−2−611826−10−2080−3−381023−6−2051−510−20200172−23−281121−922)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} -42 & 14 & 18 & -6 & -14 & 5 & -2 & -1 \\ -83 & 28 & 33 & -12 & -25 & 10 & -4 & -1 \\ -61 & 18 & 26 & -10 & -20 & 8 & 0 & -3 \\ 18 & -9 & -8 & 1 & 6 & -1 & 5 & -2 \\ -61 & 18 & 26 & -10 & -20 & 8 & 0 & -3 \\ -38 & 10 & 23 & -6 & -20 & 5 & 1 & -5 \\ 1 & 0 & -2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 72 & -23 & -28 & 11 & 21 & -9 & 2 & 2 \end{array}\right)
# Matricos B branduolys ker B ir jo dimensija:
L1 = B.left_kernel()
L1.dimension()
3 
# Matricos B^2 branduolys ker B^2 ir jo dimensija:
L2 = (B**2).left_kernel()
L2.dimension()
6 
# Matricos B^3 branduolys ker B^3 ir jo dimensija:
L3 = (B**3).left_kernel()
L3.dimension()
7 
# Matricos B^4 branduolys ker B^4 ir jo dimensija:
L4 = (B**4).left_kernel()
L4.dimension()
8 
# Poerdvio L3 bazę pildant iki erdvės L4 bazės, reikia pridėti 1 vektorių, kurį 
# atitiks lygiai vianas 4-os eilės Žordano langelis.
# Rasime šį vektorių:

v1 = papildom(L3.basis(), L4)[0]
v1
(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 
# Suskaičiuojame dar tris vektorius:

v2 = v1*B  # priklauso L3
v3 = v2*B  # priklauso L2
v4 = v3*B  # priklauso L1
v2
v3
v4
(-42, 14, 18, -6, -14, 5, -2, -1) (-14, 3, 5, -3, -3, 2, 1, -1) (16, -6, -5, 2, 4, -2, 1, 0) 
# Vektorius v1, v2, v3 ir v4 atitinka lygiai vianas 4-os eilės Žordano langelis. 

# Poerdvio L2 bazę pildant iki erdvės L3 bazės, reikia pridėti 1 vektorių.
# Tačiau poerdvyje L3 jau turime vektorių v2, kuris nepriklauso L2. Todėl
# 3-os eilės Žordano langelių nebus.

# Poerdvio L1 bazę pildant iki erdvės L2 bazės, reikia pridėti 6-3=3 vektorius.
# Vieną vektorių jau turime: vektorius v3 priklauso L2, bet nepriklauso L1.
# Taigi vektorių šeimą {v3, L1 bazė} pildant iki L2 bazės, reikės pridėti 
# lygiai 2 vektorius. Kiekvieną iš šių vektorių atitiks 2-os eilės Žordano 
# langelis. Rasime šiuos vektorius:

vektoriai = papildom(L1.basis()+[v3], L2)
v5 = vektoriai[0]
v7 = vektoriai[1]
v5
v7
(1, 0, 0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2) (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1) 
# Suskaičiuojame dar du vektorius:

v6 = v5*B  # priklauso L1
v8 = v7*B  # priklauso L1
v6
v8
(-11/2, 5/2, 3, -1/2, -5/2, 1/2, -1, 1/2) (-11, 5, 5, -1, -4, 1, -2, 1) 
# Vektorius v5, v6 atitinka vienas 2-os eilės Žordano langelis, o 
# vektorius v7, v8 -- dar vienas 2-os eilės Žordano langelis.

# Taigi radome Žordano bazę v1,v2,...,v8. 
# Perėjimo matrica (iš standartinės bazės į Žordano bazę):

T = matrix(QQ,8,8,[v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8])
show(T)
(10000000−421418−6−145−2−1−1435−3−321−116−6−524−2101000001212−112523−12−5212−11201000001−1155−1−41−21)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -42 & 14 & 18 & -6 & -14 & 5 & -2 & -1 \\ -14 & 3 & 5 & -3 & -3 & 2 & 1 & -1 \\ 16 & -6 & -5 & 2 & 4 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{11}{2} & \frac{5}{2} & 3 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -11 & 5 & 5 & -1 & -4 & 1 & -2 & 1 \end{array}\right)
# Pradinės matricos Žordano matrica:

show(T*A*(T^(-1)))
(3100000003100000003100000003000000003100000003000000003100000003)\displaystyle \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)

[ \left(3100000003100000003100000003000000003100000003000000003100000003\begin{array}{rrrrrrrr} \color{red}{3} & \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{3} & \color{red}{1} & \color{red}{0} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{3} & \color{red}{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{3} & \color{blue}{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{0} & \color{blue}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{3} & \color{blue}{1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \color{blue}{0} & \color{blue}{3} \end{array}\right) ]



T.columns?