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Problema N° 1

Valor: 20 puntos

Referencia: Adaptado de Ocón y Tojo (1965b)

En las experiencias de secado efectuadas en condiciones constantes de secado sobre un material dispuesto en planchas de dimensiones 20 cm * 30 cm * 1 cm, se han obtenido los siguientes datos:

DATOS

La masa del sólido seco es de 350 g.

  1. [8 puntos] Construya la curva de velocidad de secado en las condiciones de experimentación, si el secado se efectúa por ambas caras (no hay secado por los costados).
  2. [4 puntos] Calcule las humedades crítica y de equilibrio.
  3. [2 puntos] Estime el valor de la rapidez de secado en el periodo constante (antecrítico).
  4. [6 puntos] Estime el tiempo que se requerirá para secar 500 kg de material desde 35 % hasta 20 % de humedad si se mantiene la misma relación de superficie de secado por masa de sólido seco y se considera que la curva anterior es aplicable.
html('<h2>Solución</h2>')

########## Datos de la curva de secado
datos_t    = [  0,   5,  10,   20,  30,  40,  50,  60,  70,  80,  90, 100, 110, 120]  # min
datos_m    = [532, 523, 514,  496, 483, 470, 462, 454, 449, 443, 440, 436, 434, 431]  # g

########## Datos del enunciado
l_x         =   20      # cm
l_y         =   30      # cm
l_z         =    1      # cm
m_Ss        =  350      # g

m_S_esc     =  500      # kg
x_in        =    0.35   # kg/kg
x_fin       =    0.20   # kg/kg


##########
A_sec       =  2*l_x*l_y   # cm²
X_in        =  x_in/(1-x_in)
X_fin       =  x_fin/(1-x_fin)

datos_X     =  [(m_Sh-m_Ss)/m_Ss for m_Sh in datos_m]
datos_tX    =  zip(datos_t, datos_X)
sp_tX       =  spline(datos_tX)

%var b, m, t, X
datos_R     =  [-m_Ss/A_sec*sp_tX.derivative(t) for t in datos_t]     # g/(cm² min)
datos_XR    =  zip(datos_X, datos_R)
datos_XRinv =  [(datos_X[i],1/datos_R[i]) for i in range(len(datos_t))]

sp_XRinv    =  spline(datos_XRinv)
ABC         =  sp_XRinv.definite_integral(X_fin, min([X_in,max(datos_X)]))
t_sec       =  m_Ss/A_sec * ABC

n_C         =  3     # Dato que define último punto antes del valor crítico
R_c         =  mean([datos_R[i] for i in range(n_C)])

modelo(X)   =  m*X+b
ajuste      =  find_fit([datos_XR[i] for i in range(n_C,len(datos_t))], modelo, solution_dict= True)
R_f(X)      =  modelo(m=ajuste[m], b=ajuste[b])
X_c         =  find_root(R_f == R_c, 0, X_in)
X_eq        =  find_root(R_f == 0, 0, X_in)

graf_tX    =  scatter_plot(datos_tX, axes_labels=['$t$/min','$X$']) + plot(sp_tX, min(datos_t), max(datos_t), title='Curva de secado (humedad)')
graf_XR    =  scatter_plot(datos_XR, axes_labels=['$X$','$R/(\mathrm{g/(cm^2 min)})$'], title='Curva de rapidez de secado') + plot(R_f, xmin=max(0, X_eq*0.9), xmax=X_c, ymin=0) + line([(X_c, R_c),(X_in, R_c)])
graf_XRinv =  scatter_plot(datos_XRinv, axes_labels=['$X$','$1/R$']) + plot(sp_XRinv, min(datos_X), max(datos_X)) + plot(sp_XRinv, X_fin, min([X_in,max(datos_X)]), fill=True, title='NTU')


print "a) Curva de velocidad de secado"
graf_tX.show(figsize=(6,4))
graf_XR.show(figsize=(6,4))

print ""
print "b) Humedades crtítica y de equilibrio"
print "X_c    = %6.2f kg/kg" %X_c
print "X_eq   = %6.2f kg/kg" %X_eq

print ""
print "c) Rapidez de secado constante"
print "R_c    = %6.4f g/(cm² min) = %.2g kg/(m² s)" %(R_c, R_c/6)

print ""
print "d) Tiempo para secar lote"
print "X_in   = %6.2f kg/kg" %X_in
print "X_fin  = %6.2f kg/kg" %X_fin
graf_XRinv.show(figsize=(6,4))
print ""
print "t_sec  = %.2g min" %t_sec

# ********** Final del código

Solución

a) Curva de velocidad de secado
b) Humedades crtítica y de equilibrio X_c = 0.46 kg/kg X_eq = 0.20 kg/kg c) Rapidez de secado constante R_c = 0.0015 g/(cm² min) = 0.00025 kg/(m² s) d) Tiempo para secar lote X_in = 0.54 kg/kg X_fin = 0.25 kg/kg
t_sec = 96 min

Problema N° 2

Valor: 25 puntos

Referencia: Adaptado de Ejemplos 18.7 y 18.8 Seader, Henley & Roper (2011)

Se va a secar una torta de filtración de CaCO3\mathrm{CaCO_3} mediante aire a 1 atm y 77 °C con una humedad relativa del 10 %. El contenido de humedad de la torta es del 30 % en base seca. Para las siguientes dos condiciones estime el tiempo, en minutos, requerido para alcanzar el contenido crítico de humedad, determinado experimentalmente en 10 % en base seca, si se desprecia el periodo de precalentamiento y los efectos de la radiación y la conducción a través del sólido.

  1. Se hará el secado en una bandeja mediante circulación paralela desde la superficie. Cada bandeja es de 2,5 cm de alto, con un área de 1,5 m², y está llena con 75 kg de torta húmeda. La velocidad del aire que pasa a través del sólido húmedo es de 4 m/s.
  2. La torta será extruida en piezas cilíndricas de 6,35 mm de diámetro y 12,7 mm de largo para formar un lecho de 1,5 m² de área de sección transversal y 5 cm de profundidad, con una porosidad externa del 50 %. El aire pasará a través del lecho a una velocidad superficial de 2 m/s (velocidad intersticial promedio de 4 m/s).

Se conocen las siguientes relaciones empíricas para determinar el coeficiente de transferencia de calor (hh en W /(m² K), G′G' en kg/(h m²), dpd_p en m).
Circulación paralela sobre placas planas:

h=0.0204G′0,8h=0.0204G'^{0,8}
Circulación a través, lechos de partículas:
h=0.151G′0.59/dp0.41h=0.151G'^{0.59}/d_p^{0.41} (NRe>350)(N_{Re} > 350)
h=0.214G′0.49/dp0.51h=0.214G'^{0.49}/d_p^{0.51} (NRe<350)(N_{Re} < 350)

Donde NRe=dpG′/μN_{Re}=d_p G'/μ, dpd_p es el diámetro de una esfera con igual área superficial que la partícula.
La viscosidad del aire bajo esas condiciones es aproximadamente 0,02 cP. 


html('<h2>Solución</h2>')

########## Datos de enunciado
p_t         =   101.325    # kPa
t_G_entra   =    77        # °C
Y_R_entra   =     0.10     # Pa/Pa
X_in        =     0.30     # kg/kg
X_c         =     0.10     # kg/kg
mu_G        =     0.02*10^-3 # Pa s

########## Datos adicionales
R               =    8.314     # kJ/(kmol K)
t_0             =    0.01      # °C
N_Le            =    0.855
M_A             =   18.01      # agua
M_B             =   28.84      # aire

p_A_sat(t)      =  10^(10.79586*(1-273.16/(t+273.15)) + 5.02808*log_b(273.16/(t+273.15),10) + 1.50474*10^-4 * (1-10^(-8.29692*((t+273.15)/273.16 - 1))) + 4.2873*10^-4 * (10^(4.76955*(1-273.16/(t+273.15))) - 1) + 2.786118312) / 1000   # kPa
lambda_(t)      =  2501.6 - 2.2908456564*t - 0.0015914753*t^2    # [kJ/kg]
C_pBG(t)        =  R/M_B * (3.355 + 0.575*10^-3*(t+273.15) - 0.016*10^ 5/(t+273.15)^2) # [kJ/(kg K)]

Y_s(t, p)       =  M_A*p_A_sat(t)/(M_B*(p-p_A_sat(t)))

########## Condiciones del aire de entranda
p_A_sat_entra   =  p_A_sat(t_G_entra)           # kPa
p_A_entra       =  Y_R_entra * p_A_sat_entra    # kPa
Y_entra         =  p_A_entra/(p_t-p_A_entra) * M_A/M_B
v_H_entra       =  R*(t_G_entra+273.15)/p_t * (1/M_B+Y_entra/M_A)

########## Temperatura de bulbo húmedo
%var tw

t_w             =  find_root(t_G_entra-tw == lambda_(tw)/(C_pBG(t_G_entra)*N_Le^(2/3)) * (Y_s(tw, p_t) - Y_entra), 0, t_G_entra)

print "p_A_sat    = %6.3f kPa" %p_A_sat_entra
print "p_A_entra  = %6.3f kPa" %p_A_entra
print "Y'entra    = %6.3f kg/kg" %Y_entra
print "v_H,entra  = %6.3f m³/kg" %v_H_entra


print "\nCondición 1: Placas\n=================="
l_z         =     0.025    # m
A_sec       =     1.5      # m²
S_h         =    75        # kg
u_G         =     4        # m/s

x_in        =  X_in/(1+X_in)
S_s         =  S_h*(1-x_in)          # kg
G_s         =  u_G*3600/v_H_entra    # kg/(m² h)
G_entra     =  G_s*(1+Y_entra)       # kg/(m² h)
h           =  0.0204*G_entra^0.8        # W/(m² K)
R_c         =  h*(t_G_entra-t_w)/lambda_(t_w)/1000     # kg/(m² s)
rho_Ss      =  S_s/(A_sec*l_z)   # kg/m³

########## Periodo constante
t_sec       =  S_s/(A_sec*R_c) * (X_in-X_c)

print "S's       = %8.4g kg" %S_s
print "S's/A     = %8.4g kg/m²" %(S_s/A_sec)
print "G's       = %8.4g kg/(m² h)" %G_s
print "G'entra   = %8.4g kg/(m² h)" %G_entra
print "h         = %8.4g W/(m² K)" %h
print "t_w       = %8.4g °C" %t_w
print "lambda_w  = %8.3g kJ/kg" %lambda_(t_w)
print "R_c       = %8.3g kg/(m² s)" %R_c
print "t = %.4g s = %.3g h" %(t_sec, t_sec/3600),"<----- Respuesta"
print "rho_Ss    = %8.3g kg/m³" %rho_Ss

print "\nCondición 2: Extrusión\n====================="
d_pe        =    0.00635     # m, diámetro extrusiones
l_pe        =    0.0127      # m, largo cilindro
A_lecho     =    1.5         # m²
z_lecho     =    0.05        # m de profundidad
eps_e       =    0.50
u_s         =    2           # m/s
u_int       =    4           # m/s

V_pe        =  pi/4 * d_pe^2 * l_pe  # m³
V_lecho     =  A_lecho*z_lecho       # m³
N_piezas    =  V_lecho*(1-eps_e)/V_pe    # número de piezas
A_pe        =  2*(pi/4 * d_pe^2) + pi*d_pe*l_pe  # m²
d_p         =  sqrt(A_pe/pi)  # m
A_sec       =  N_piezas*A_pe
S_s         =  N_piezas*V_pe*rho_Ss  # kg
G_s         =  u_int/v_H_entra       # kg/(m² s)
G_entra     =  G_s*(1+Y_entra)       # kg/(m² s)
N_Re        =  d_p*G_entra/mu_G

if N_Re > 350:
    h      = 0.151*(G_s*3600)^0.59/d_p^0.41
else:
    h      = 0.214*(G_s*3600)^0.49/d_p^0.51

R_c        =  h*(t_G_entra-t_w)/lambda_(t_w)/1000   # kg/(m² s)

t_sec      =  S_s/(A_sec*R_c) * (X_in-X_c)     # s
    
print "V_pe      = %8.3g m³" %V_pe
print "V_lecho   = %8.3g m³" %V_lecho
print "N_piezas  = %8.4g" %N_piezas
print "A_pieza   = %8.3g m²" %A_pe
print "A_secado  = %8.3g m²" %A_sec
print "S's       = %8.4g kg" %S_s
print "S's/A     = %8.4g kg/m²" %(S_s/A_sec)
print "G's       = %8.4g kg/(m² s) = %8.4g kg/(m² h)" %(G_s, G_s*3600)
print "G'        = %8.4g kg/(m² s) = %8.4g kg/(m² h)" %(G_entra, G_entra*3600)
print "d_p       = %8.3g mm" %(d_p*1000)
print "N_Re      = %8.4g" %N_Re
print "h         = %8.4g W/(m² K)" %h
print "R_c       = %8.3g kg/(m² s)" %R_c
print "t = %.4g s = %.3g h" %(t_sec, t_sec/3600),"<----- Respuesta"

Solución

p_A_sat = 41.897 kPa p_A_entra = 4.190 kPa Y'entra = 0.027 kg/kg v_H,entra = 1.039 m³/kg Condición 1: Placas ================== S's = 57.69 kg S's/A = 38.46 kg/m² G's = 1.386e+04 kg/(m² h) G'entra = 1.423e+04 kg/(m² h) h = 42.87 W/(m² K) t_w = 37.34 °C lambda_w = 2.41e+03 kJ/kg R_c = 0.000704 kg/(m² s) t = 1.092e+04 s = 3.03 h <----- Respuesta rho_Ss = 1.54e+03 kg/m³ Condición 2: Extrusión ===================== V_pe = 4.02e-07 m³ V_lecho = 0.075 m³ N_piezas = 9.324e+04 A_pieza = 0.000317 m² A_secado = 29.5 m² S's = 57.69 kg S's/A = 1.954 kg/m² G's = 3.849 kg/(m² s) = 1.386e+04 kg/(m² h) G' = 3.953 kg/(m² s) = 1.423e+04 kg/(m² h) d_p = 10 mm N_Re = 1984 h = 276.6 W/(m² K) R_c = 0.00454 kg/(m² s) t = 85.99 s = 0.0239 h <----- Respuesta