Authors: Esteban Richmond-Salazar, Erick Solano

Description: Soluciones a Tareas Masa 2

Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Problema N° 1

Valor: 22 puntos

Referencia: Datos del problema 12.1-1 de Geankoplis (1998)

A continuación se muestran los datos de la isoterma de adsorción de glucosa (en agua) utilizando alúmina.

c / (g/cm³)	0,0040	0,0087	0,019	0,024	0,094	0,195
q / (g/g)	0,026	0,053	0,075	0,082	0,123	0,129

q = m_glucosa/m_alúmina

[4 puntos] Ajuste a el modelo de Langmuir y Freundlich y justifique cuál de los dos modelos se ajusta mejor a los datos.
[4 puntos] Suponga que va a realizar la purificación de 15 L de disolución 1,30 mol/L de glucosa utilizando una etapa con 20 kg de alúmina pura. ¿Cuál es la concentración final de la disolución?
[4 puntos] ¿Cuál es la concentración final de la disolución si utiliza 2 etapas a flujo cruzado, en ambas utilizando 20 kg de alumina pura?
[6 puntos] ¿Cuál es la cantidad de alúmina en cada etapa que minimiza la cantidad requerida para obtener igual concentración final de la configuración anterior y cuánta alúmina se ahorraría usando el mínimo?
[4 puntos] ¿Cuál sería la concentración de salida si se emplea la cantidad total de sólido obtenida en el punto anterior pero usando una sola etapa?

# ==================== Problema 1 ====================c       =  [0.004, 0.0087, 0.019, 0.024, 0.094, 0.195] # g/cm³, kg/Lq       =  [0.026, 0.053 , 0.075, 0.082, 0.123, 0.129] # g/g, kg/kghtml('<h2>Solución</h2>')datos_eq = zip(c,q)            # Combina los datos de equilibrio%var c_A, q_A_max, K_Ac, nL        =   15         # [L]c0       =    1.30      # [mol/L]     antes 1.39M        =  180.156     # [kg/kmol]S1       =   20         # [kg]q0       =    0         # [kg/kg]S2       =   20         # [kg]c0       =  c0*M/1000   # [kg/L]html('<h3>Parte a) Ajustar a el modelo de Langmuir y Freundlich</h3>')show("===== Isoterma de Langmuir =====")qA_L(c_A) =  q_A_max*K_Ac*c_A / (1+K_Ac*c_A)ajuste    =  find_fit(datos_eq, qA_L, solution_dict = True)qA_L      =  qA_L(q_A_max= numerical_approx(ajuste[q_A_max], digits = 4), K_Ac= numerical_approx(ajuste[K_Ac], digits=4))show(r"$K_{A,c} = $ ", numerical_approx(ajuste[K_Ac], digits=4), r" L/kg; $q_{A,máx} = $",  numerical_approx(ajuste[q_A_max], digits=4), " kg/kg")show("$q_{A_L} = $", qA_L)show("===== Isoterma de Freundlich =====")qA_F(c_A) =  K_Ac*c_A^(1/n)ajuste    =  find_fit(datos_eq, qA_F, solution_dict = True)qA_F      =  qA_F(n= numerical_approx(ajuste[n], digits=4), K_Ac=numerical_approx(ajuste[K_Ac], digits=4))show(r"$K_{A,c} = $ ", numerical_approx(ajuste[K_Ac], digits=4), r" L/kg; $n = $",  numerical_approx(ajuste[n], digits=4))show("$q_{A_F} = $", qA_F)# Gráficagr_datos  =  scatter_plot(datos_eq, axes_labels = ['$c_A/(\\mathrm{kg/L})$', '$q_A/(\\mathrm{kg/kg})$'])gr_Langm  =  plot(qA_L, xmin = 0, xmax = max(max(c),c0), legend_label = 'Langmuir', color = 'blue')gr_Frlch  =  plot(qA_F, xmin = 0, xmax = max(c), legend_label = 'Freundlich', color = 'green')show(gr_datos+gr_Langm+gr_Frlch)html('<h3>Parte b) Una etapa</h3>')def Calcula_etapa(W_L, W_S, c_entra, q_entra, q_isot):    R.<c_sale> = QQ[]    q_sale     = q_isot(c_sale)    f          = c_sale - (W_S/W_L * (q_entra - q_sale) + c_entra)    csale      = find_root(f, 0, c_entra)    return [csale, q_sale(c_sale=csale)]c1, q1    =  Calcula_etapa(L, S1, c0, q0, qA_L)show (r'$c_1 = %s$ kg/L; $q_1 = %s$ kg/kg' %(numerical_approx(c1, digits = 3), numerical_approx(q1, digits=3)))html('<h3>Parte c) Dos etapas a flujo cruzado, idénticas cantidades de sólido</h3>')c2, q2    =  Calcula_etapa(L, S2, c1, q0, qA_L)show (r'$c_2 = %s$ kg/L; $q_2 = %s$ kg/kg' %(numerical_approx(c2, digits = 3), numerical_approx(q2, digits=3)))gr_etapa1 =  line([(c0,q0),(c1,q1),(c1,0)], color = 'purple', legend_label = 'Etapa 1')gr_etapa2 =  line([(c1,q0),(c2,q2),(c2,0)], color = 'magenta', legend_label = 'Etapa 2')show(gr_datos+gr_Langm+gr_etapa1+gr_etapa2)html('<h3>Parte d) Dos etapas a flujo cruzado, calcular sólido mínimo</h3>')S1m       =  L*(c0-c_A)/(qA_L(c_A) + q0)    # Alúmina requerida en la etapa 1 para obtnener una concentración c_AS2m       =  L*(c_A-c2)/(qA_L(c_A=c2) + q0)     # Alúmina requerida en la etapa 2 con una concentración de entrada c_ASTm       =  S1m+S2m     # Alúmina totalS_Tm, c1  =  find_local_minimum(STm, c2, c0)show (r"$S_{T}$ /kg $=$", STm)show (r"$S_{T, mín}= %s$ kg; $c_{1}= %s$ kg/L" %(numerical_approx(S_Tm, digits=3), numerical_approx(c1, digits=3)))show (r"$Ahorro = %s $ kg" %(numerical_approx(((S1+S2)-S_Tm), digits=3)))show (r"$S_{1}= %s$ kg; $S_{2}= %s$ kg" %(numerical_approx(S1m(c1), digits=3), numerical_approx(S2m(c1), digits=3)))html('<h3>Parte e) Una etapa con total obtenido en d)</h3>')c1, q1    =  Calcula_etapa(W_L=L, W_S=S_Tm, c_entra=c0, q_entra=q0, q_isot=qA_L)show (r'$c_1 = %s$ kg/L; $q_1 = %s$ kg/kg' %(numerical_approx(c1, digits = 3), numerical_approx(q1, digits=3)))# *** Final del código ***

Solución

Parte a) Ajustar a el modelo de Langmuir y Freundlich

===== Isoterma de Langmuir =====

K_{A,c} =

\displaystyle 61.43

L/kg;

q_{A,máx} =

\displaystyle 0.1413

kg/kg

q_{A_L} =

\displaystyle \frac{8.678 \, c_{A}}{61.43 \, c_{A} + 1}

===== Isoterma de Freundlich =====

K_{A,c} =

\displaystyle 0.2282

L/kg;

n =

\displaystyle 3.312

q_{A_F} =

\displaystyle 0.2282 \, c_{A}^{0.3019}

Parte b) Una etapa

c_1 = 0.0783

kg/L;

q_1 = 0.117

kg/kg

Parte c) Dos etapas a flujo cruzado, idénticas cantidades de sólido

c_2 = 0.00939

kg/L;

q_2 = 0.0517

kg/kg

Parte d) Dos etapas a flujo cruzado, calcular sólido mínimo

S_{T}

/kg

=

\displaystyle -\frac{0.1152 \, {\left(61.43 \, c_{A} + 1\right)} {\left(15 \, c_{A} - 3.51304200000000\right)}}{c_{A}} + 290.3 \, c_{A} - 2.725

S_{T, mín}= 37.7

kg;

c_{1}= 0.0469

kg/L

Ahorro = 2.32

S_{1}= 26.8

kg;

S_{2}= 10.9

Parte e) Una etapa con total obtenido en d)

c_1 = 0.0237

kg/L;

q_1 = 0.0838

kg/kg

Problema N° 2

Valor: 15 puntos

Referencia: Adaptado de Problema 12.3-2 Geankoplis (1998)

Mediante cribas moleculares se elimina vapor de agua del nitrógeno gaseoso en un lecho relleno a 28.3 °C. La altura de la columna es de 0.268 m y la densidad del lecho es 712.8 kg/m³. La concentración inicial del agua en el sólido es $q_{0} = m_{H_{2}O}/m_{S} = 0.01 \text{ kg/kg}$ y la velocidad de masa del nitrógeno gaseoso es de 4052 kg/(m² h).
La concentración inicial de agua en el gas es $Y_0 = m_{H_{2}O}/m_{N_2} = 926*10^{-6} \text{ kg/kg}$ .
A continuación se muestran los datos experimentales

t / ( h )	0	9	9.2	9.6	10	10.4	10.8	11.25	11.5	12	12.5	12.8
Y*10⁶ /(kg/kg)	0.6	0.6	2.6	21	91	235	418	630	717	855	906	926

Se desea una concentración de salida

Y = 0.02 Y_0

en el punto de ruptura. Determine:

[5 puntos] Tiempo del punto de ruptura, fracción de la capacidad total usada hasta el punto de ruptura, la altura del lecho sin utilizar, la capacidad de carga de saturación del sólido.
[4 puntos] Si la columna se aumenta a 0.4 m, determine el nuevo tiempo de ruptura.
[6 puntos] Calcule la altura que debería tener el lecho si el tiempo de ruptura se fija en 24 h pero con un flujo de nitrógeno de 6000 kg/(m² h), manteniendo diámetro constante e iguales características del sólido.

# ==================== Problema 2 ====================html('<h2>Solución</h2>')# Datos experimentaleslista_t  = [0  , 9  , 9.2,  9.6, 10,  10.4,  10.8,  11.25,  11.5,  12,  12.5,  12.8] # [h]#lista_t  = [0  , 4  , 4.2,  4.6,  5,   5.4,   5.8,   6.25,   6.5,   7,   7.5,   7.8] # [h]lista_Y  = [0.6, 0.6, 2.6, 21  , 91, 235  , 418  , 630   , 717  , 855, 906  , 926  ] # [*10^-6 kg/kg]datos_t_Y  = zip(lista_t, lista_Y)# Datos adicionalest       =   28.3      # [°C]g/kgP       =    1        # [atm]L       =    0.268    # [m]rho_b   =  712.8      # [kg/m^3]q_0     =    0.01     # [kg/kg]G_s     = 4052        # [kg/(m^2 h)]Y_0     =  926        # [*10^-6 kg/kg]Y_rup   =    0.02*Y_0 # [*10^-6 kg/kg]L_parte_b =    0.4  # [m]t_rupt_c  =   24    # [h]G_s_c     = 6000    # [kg/(m^2 h)]# Ajuste de datoslista_Yn    = [Y/Y_0 for Y in lista_Y]datos_t_Yn  = zip(lista_t, lista_Yn)a, b, t   = var('a, b, t')modelo(t) = Y_0/2 * (1 + erf(a*t-b))ajuste    = find_fit(datos_t_Y, modelo, initial_guess=[1, max(lista_t)], solution_dict = True)Y(t)   = modelo(a=ajuste[a], b=ajuste[b])Y(t)# Cálculo de tiempost_sat   = max(lista_t)t_ideal = numerical_approx(numerical_integral(1-Y/Y_0, 0, max(lista_t))[0], digits = 4)t_rupt  = find_root(Y(t) == Y_rup, 0, t_sat)print "t_rupt  =", numerical_approx(t_rupt, digits = 3), "h"print "t_ideal =", t_ideal.numerical_approx(digits = 3), "h"print "t_agot  =", t_sat.numerical_approx(digits = 3), "h"# Cálculo de fracción sin utilizarqA_rup = G_s*Y_0*10^-6/(L*rho_b) * numerical_integral(1-Y/Y_0, 0, t_rupt)[0] #+ q_0print "qA_rupt =", qA_rup.numerical_approx(digits = 3), "kg/kg"qA_max = G_s*Y_0*10^-6/(L*rho_b) * t_ideal + q_0print "qA_max  =", qA_max.numerical_approx(digits = 3), "kg/kg"f_util = qA_rup/qA_maxf_nout = 1-f_utilprint "Fracción utilizada =", f_util.numerical_approx(digits = 3)print "Fracción no utilizada =", f_nout.numerical_approx(digits = 3)LES = L*f_utilLUB = L*f_noutprint "LUB =", LUB.numerical_approx(digits = 3), "m"scatter_plot(datos_t_Yn, axes_labels = ["$t/(\mathrm{h})$", ""]) \    + plot(Y/Y_0, xmin = 0, xmax=15, legend_label = "$Y/Y_0$", color = 'orange') \    + plot(1-Y/Y_0, xmin = 0, xmax=15, legend_label = "$1-Y/Y_0$", color = 'purple') \    + plot(unit_step(t-t_ideal), xmax = 15, legend_label = "$1-Y_{ideal}/Y_0$")print "=== Parte b ==="LES_b = L_parte_b - LUB# LES_2/t_rup2 = LES/t_rupt_rupt_b = LES_b/LES*t_ruptprint "LES =", LES_b.numerical_approx(digits = 3), "m"print "t_rupt =", t_rupt_b.numerical_approx(digits = 3), "h"print "=== Parte c ==="LUB_c = LUB * G_s_c/G_s# Despejando LES de q_max = m_sat/m_S = (G_s * Y0 * t_ideal)/(A_c * LES * rho_b)LES_c = G_s*Y_0*10^-6*t_rupt_c/(rho_b*qA_max)L_c = LES_c + LUB_cprint "Nuevo LUB =", LUB_c.numerical_approx(digits = 3), "m"print "Nuevo LES =", LES_c.numerical_approx(digits = 3), "m"print "Nueva L =", L_c.numerical_approx(digits = 3), "m"# *** Final del código ***

Solución

463*erf(0.9522085536048622*t - 10.389243416543025) + 463

t_rupt = 9.39 h

t_ideal = 10.9 h

t_agot = 12.8 h

qA_rupt = 0.184 kg/kg

qA_max = 0.224 kg/kg

Fracción utilizada = 0.821

Fracción no utilizada = 0.179

LUB = 0.0478 m

=== Parte b ===

LES = 0.352 m

t_rupt = 15.0 h

=== Parte c ===

Nuevo LUB = 0.0708 m

Nuevo LES = 0.563 m

Nueva L = 0.634 m

Problema N° 3

Valor: 24 puntos

Referencia: Esteban Richmond (2019)

Una columna de 6 cm de diámetro interno se rellena con 80 cm de alúmina activada. Al inicio se hace pasar ciclohexano puro a través de la columna por unos 5 min, luego de esto se introduce una alimentación de antraceno disuelto en ciclohexano a una concentración de 0.010 mol/L y se mantiene constante durante 10 min, luego se aumenta la concentración de la alimentación a 0.015 mol/L y se mantiene así por 15 min, finalmente se introduce ciclohexano puro por 60 min.

En todo momento el flujo alimentado se mantiene estable en 0,30 L/min.

Aplique la teoría del movimiento del soluto y elabore una gráfica con el perfil de concentración a la salida durante el tiempo de la corrida (90 min de duración).

Datos:

Isoterma de Langmuir: $q_A = \frac{20 c_A}{1+350 c_A}\text{, estando } q_A \text{ en mol/kg y } c_A\text{ en mol/L.}$

$K_{d,A} = 1.0$ ,

$\rho_b = 1200$ kg/m³ (densidad aparente del lecho en ciclohexano)

$\rho_f = 780$ kg/m³,

$\varepsilon_e = 0.4$

$\varepsilon_p = 0.1$

# ==================== Problema 3 ====================html('<h2>Solución</h2>')cA        =  var('cA')# F = Dar flujo y área transversal, con ello calcular u_SF = 0.30/1000   # m³/minDc   = 6/100    # mAc  = pi/4*Dc^2Hc        =   80      # cmt0        =    0      # minc0        =    0      # mol/Lt1        =    5      # min inicio alimentación c1c1        =    0.01     # mol/Lt2        = t1+10      # min inicio alimentación c2c2        =    0.015      # mol/Lt3        = t2+15      # min inicio alimentación c3c3        =    0      # mol/Lt4        = t3+60     # min final operaciónu_s       =   F/Ac*100    # cm/minprint("u_s = %.3g cm/min"%u_s)# Datos adicionaleseps_e     =    0.4eps_p     =    0.1Kd        =    1.0#rho_S     =    1.465 # kg/LqA(cA)    =   20*cA/(1+350*cA)rho_f     = 0.78rho_b     = 1.2rho_p = (rho_b - eps_e*rho_f)/(1-eps_e)rho_S = (rho_p - eps_p*rho_f)/(1-eps_p)print("Densidad de la partícula, rho_p = %.3g kg/L"%rho_p)print("Densidad del sólido, rho_S = %.3g kg/L"%rho_S)# Perfil alimentaciónline([(t0, c0),(t1,c0),(t1,c1),(t2,c1),(t2,c2),(t3,c2),(t3,c3),(t4,c3)], xmin = t0, axes_labels=['$t$/min','$c_F$/(g/L)'])print "Usando modelo para onda de choque"DqDc (c_antes, c_desp) = (qA(cA = c_desp)-qA(cA = c_antes))/(c_desp-c_antes)u_inter = u_s / eps_euA_sh(c_antes,c_desp) = u_inter/(1 + (1-eps_e)/eps_e * Kd + (1-eps_e)*(1-eps_p)/eps_e * rho_S * DqDc(c_antes,c_desp))u_sh1      =  uA_sh(c0, c1)u_sh2      =  uA_sh(c1, c2)t_s1       =  t1 + Hc/u_sh1t_s2       =  t2 + Hc/u_sh2t_s3       =  0print("Tiempo que tardaría en recorrer Hc onda de choque 1, Delta t_sh1 = %.3g min" %(Hc/u_sh1))print("Tiempo que tardaría en recorrer Hc onda de choque 2, Delta t_sh2 = %.3g min" %(Hc/u_sh2))print("Momento en que saldría onda de choque 1, t_sh1 = %.3g min" %(t_s1))print("Momento en que saldría onda de choque 2, t_sh2 = %.3g min" %(t_s2))#[t_s1, t_s2, t_s3]show ("$u_{sh1} = $", numerical_approx(u_sh1, digits=4), " cm/min; $u_{sh2} = $", numerical_approx(u_sh2, digits=4), " cm/min")if(t_s1 <= t_s2):    show("Las ondas de choque no coinciden")    gr_onda1 = line([(t0,0),(t1,0),(t_s1, Hc)], legend_label='Onda de choque 1')    gr_onda2 = line([(t0,0),(t2,0),(t_s2, Hc)], legend_label='Onda de choque 2', axes_labels=['$t$/min','$L$/cm'], color = 'green', xmax = t_s2+2,)    gr_perfil = line([(t0,c0),(t_s1,c0),(t_s1,c1)]) + line([(t_s1,c1),(t_s2,c1),(t_s2,c2),(t_s2+2,c2)], axes_labels=['$t$/min','$c_{sale}$/(g/L)'])    show(gr_onda1+gr_onda2)    show ("$t_{esc1} = $", numerical_approx(t_s1, digits=3), " min; $t_{esc2} = $", numerical_approx(t_s2, digits=3), " min")else:    show("Las ondas de choque coinciden y se genera una tercera")    t_inter = t1+(t2-t1)*u_sh2/(u_sh2-u_sh1)    z_inter = u_sh1*(t_inter-t1)    u_sh3 = uA_sh(c0, c2)    show ("$u_{sh3} = $", numerical_approx(u_sh3, digits=4), " cm/min; $t_{inter} = $", numerical_approx(t_inter, digits=4), " min; $z_{inter} = $", numerical_approx(z_inter, digits=4), " cm")    t_s3 = t_inter+(Hc-z_inter)/u_sh3    gr_onda1 = line([(t0,0),(t1,0),(t_inter, z_inter)], legend_label='Onda de choque 1')    gr_onda2 = line([(t0,0),(t2,0),(t_inter, z_inter)], legend_label='Onda de choque 2', color = 'green')    gr_onda3 = line([(t_inter,z_inter),(t_s3, Hc)], legend_label='Onda de choque 3', color = 'red', axes_labels=['$t$/min','$L$/cm'], xmax = t_s3+2)    gr_perfil = line([(t0,c0),(t_s3,c0),(t_s3,c2)], axes_labels=['$t$/min','$c_{sale}$/(g/L)'])    show(gr_onda1+gr_onda2+gr_onda3)print("Tiempo salida onda de choque 3 = %.3g min"%t_s3)# Onda difusaprint "Onda difusa"conc       = [c2+i*(c3-c2)/9 for i in range(10)]  # mol/m³.u_A(cA)    = u_inter/(1 + (1-eps_e)/eps_e * Kd + (1-eps_e)*(1-eps_p)/eps_e * rho_S * derivative(qA))t_esc      = [t3+numerical_approx(Hc/u_A(c), digits=4) for c in conc]print "Tiempos de salida en minutos:", t_esct_max      = t_esc[5]lista_tc  = zip(t_esc,conc)lista_tc.insert(0,(max(t_s2,t_s3),c2))#line([(t0, c0),(t1,c0),(t1,c1),(t_s1,c1),(t_max,c1)], xmax=t_max, axes_labels=['$t$/min','$c_F$/(mol/L)'])gr_perfil + line(lista_tc, xmax = t4)# ****** Fin solución problema 3 *****