Contact
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupport News AboutSign UpSign In
| Download

Jupyter notebook cloud-examples/sage/Picard.ipynb

Views: 62
Visibility: Unlisted (only visible to those who know the link)
Kernel: SageMath 9.2
def picard_iteration(f, a, c, N): ''' Computes the N-th Picard iterate for the IVP x' = f(t,x), x(a) = c. EXAMPLES: sage: var('x t s') (x, t, s) sage: a = 0; c = 2 sage: f = lambda t,x: 1-x sage: picard_iteration(f, a, c, 0) 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 1) 2 - t sage: picard_iteration(f, a, c, 2) t^2/2 - t + 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 3) -t^3/6 + t^2/2 - t + 2 sage: var('x t s') (x, t, s) sage: a = 0; c = 2 sage: f = lambda t,x: (x+t)^2 sage: picard_iteration(f, a, c, 0) 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 1) t^3/3 + 2*t^2 + 4*t + 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 2) t^7/63 + 2*t^6/9 + 22*t^5/15 + 16*t^4/3 + 11*t^3 + 10*t^2 + 4*t + 2 ''' if N == 0: return c*t**0 if N == 1: #print integral(f(s,c*s**0), s, a, t) x0 = lambda t: c + integral(f(s,c*s**0), s, a, t) return expand(x0(t)) for i in range(N): x_old = lambda s: picard_iteration(f, a, c, N-1).subs(t=s) #print x_old(s) x0 = lambda t: c + integral(f(s,x_old(s)), s, a, t) return expand(x0(t)) v=var('x t s') a = 0; c = 4; N=40; b=8; x1=-5; x2=10; f = lambda t,x: sin(t)-2*x; assume(t>0) z=[picard_iteration(f, a, c, i) for i in range(N+1)] for i in range(N+1): show(z[i]) from sage.plot.colors import rainbow c=rainbow(N+1) where = [x,-2+1.5,b] p=plot(-1/5*(cos(t)*e^(2*t) - 2*e^(2*t)*sin(t) - 21)*e^(-2*t),where,ymin=x1,ymax=x2,color='gray',gridlines=True) #SoluciĆ³n exacta. #p+=plot(z[0],where,gridlines=True) for i in range(0,N+1): p+=plot(z[i],where,ymin=x1,ymax=x2,color=c[i]) show(p)
4\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}4
āˆ’8ā€‰tāˆ’cosā”(t)+5\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-8 \, t - \cos\left(t\right) + 5
8ā€‰t2āˆ’10ā€‰tāˆ’cosā”(t)+2ā€‰sinā”(t)+5\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}8 \, t^{2} - 10 \, t - \cos\left(t\right) + 2 \, \sin\left(t\right) + 5
āˆ’163ā€‰t3+10ā€‰t2āˆ’10ā€‰t+3ā€‰cosā”(t)+2ā€‰sinā”(t)+1\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{16}{3} \, t^{3} + 10 \, t^{2} - 10 \, t + 3 \, \cos\left(t\right) + 2 \, \sin\left(t\right) + 1
83ā€‰t4āˆ’203ā€‰t3+10ā€‰t2āˆ’2ā€‰t+3ā€‰cosā”(t)āˆ’6ā€‰sinā”(t)+1\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{8}{3} \, t^{4} - \frac{20}{3} \, t^{3} + 10 \, t^{2} - 2 \, t + 3 \, \cos\left(t\right) - 6 \, \sin\left(t\right) + 1
āˆ’1615ā€‰t5+103ā€‰t4āˆ’203ā€‰t3+2ā€‰t2āˆ’2ā€‰tāˆ’13ā€‰cosā”(t)āˆ’6ā€‰sinā”(t)+17\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{16}{15} \, t^{5} + \frac{10}{3} \, t^{4} - \frac{20}{3} \, t^{3} + 2 \, t^{2} - 2 \, t - 13 \, \cos\left(t\right) - 6 \, \sin\left(t\right) + 17
1645ā€‰t6āˆ’43ā€‰t5+103ā€‰t4āˆ’43ā€‰t3+2ā€‰t2āˆ’34ā€‰tāˆ’13ā€‰cosā”(t)+26ā€‰sinā”(t)+17\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{45} \, t^{6} - \frac{4}{3} \, t^{5} + \frac{10}{3} \, t^{4} - \frac{4}{3} \, t^{3} + 2 \, t^{2} - 34 \, t - 13 \, \cos\left(t\right) + 26 \, \sin\left(t\right) + 17
āˆ’32315ā€‰t7+49ā€‰t6āˆ’43ā€‰t5+23ā€‰t4āˆ’43ā€‰t3+34ā€‰t2āˆ’34ā€‰t+51ā€‰cosā”(t)+26ā€‰sinā”(t)āˆ’47\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{315} \, t^{7} + \frac{4}{9} \, t^{6} - \frac{4}{3} \, t^{5} + \frac{2}{3} \, t^{4} - \frac{4}{3} \, t^{3} + 34 \, t^{2} - 34 \, t + 51 \, \cos\left(t\right) + 26 \, \sin\left(t\right) - 47
8315ā€‰t8āˆ’863ā€‰t7+49ā€‰t6āˆ’415ā€‰t5+23ā€‰t4āˆ’683ā€‰t3+34ā€‰t2+94ā€‰t+51ā€‰cosā”(t)āˆ’102ā€‰sinā”(t)āˆ’47\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{8}{315} \, t^{8} - \frac{8}{63} \, t^{7} + \frac{4}{9} \, t^{6} - \frac{4}{15} \, t^{5} + \frac{2}{3} \, t^{4} - \frac{68}{3} \, t^{3} + 34 \, t^{2} + 94 \, t + 51 \, \cos\left(t\right) - 102 \, \sin\left(t\right) - 47
āˆ’162835ā€‰t9+263ā€‰t8āˆ’863ā€‰t7+445ā€‰t6āˆ’415ā€‰t5+343ā€‰t4āˆ’683ā€‰t3āˆ’94ā€‰t2+94ā€‰tāˆ’205ā€‰cosā”(t)āˆ’102ā€‰sinā”(t)+209\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{16}{2835} \, t^{9} + \frac{2}{63} \, t^{8} - \frac{8}{63} \, t^{7} + \frac{4}{45} \, t^{6} - \frac{4}{15} \, t^{5} + \frac{34}{3} \, t^{4} - \frac{68}{3} \, t^{3} - 94 \, t^{2} + 94 \, t - 205 \, \cos\left(t\right) - 102 \, \sin\left(t\right) + 209
1614175ā€‰t10āˆ’4567ā€‰t9+263ā€‰t8āˆ’8315ā€‰t7+445ā€‰t6āˆ’6815ā€‰t5+343ā€‰t4+1883ā€‰t3āˆ’94ā€‰t2āˆ’418ā€‰tāˆ’205ā€‰cosā”(t)+410ā€‰sinā”(t)+209\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{14175} \, t^{10} - \frac{4}{567} \, t^{9} + \frac{2}{63} \, t^{8} - \frac{8}{315} \, t^{7} + \frac{4}{45} \, t^{6} - \frac{68}{15} \, t^{5} + \frac{34}{3} \, t^{4} + \frac{188}{3} \, t^{3} - 94 \, t^{2} - 418 \, t - 205 \, \cos\left(t\right) + 410 \, \sin\left(t\right) + 209
āˆ’32155925ā€‰t11+42835ā€‰t10āˆ’4567ā€‰t9+2315ā€‰t8āˆ’8315ā€‰t7+6845ā€‰t6āˆ’6815ā€‰t5āˆ’943ā€‰t4+1883ā€‰t3+418ā€‰t2āˆ’418ā€‰t+819ā€‰cosā”(t)+410ā€‰sinā”(t)āˆ’815\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{155925} \, t^{11} + \frac{4}{2835} \, t^{10} - \frac{4}{567} \, t^{9} + \frac{2}{315} \, t^{8} - \frac{8}{315} \, t^{7} + \frac{68}{45} \, t^{6} - \frac{68}{15} \, t^{5} - \frac{94}{3} \, t^{4} + \frac{188}{3} \, t^{3} + 418 \, t^{2} - 418 \, t + 819 \, \cos\left(t\right) + 410 \, \sin\left(t\right) - 815
16467775ā€‰t12āˆ’831185ā€‰t11+42835ā€‰t10āˆ’42835ā€‰t9+2315ā€‰t8āˆ’136315ā€‰t7+6845ā€‰t6+18815ā€‰t5āˆ’943ā€‰t4āˆ’8363ā€‰t3+418ā€‰t2+1630ā€‰t+819ā€‰cosā”(t)āˆ’1638ā€‰sinā”(t)āˆ’815\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{467775} \, t^{12} - \frac{8}{31185} \, t^{11} + \frac{4}{2835} \, t^{10} - \frac{4}{2835} \, t^{9} + \frac{2}{315} \, t^{8} - \frac{136}{315} \, t^{7} + \frac{68}{45} \, t^{6} + \frac{188}{15} \, t^{5} - \frac{94}{3} \, t^{4} - \frac{836}{3} \, t^{3} + 418 \, t^{2} + 1630 \, t + 819 \, \cos\left(t\right) - 1638 \, \sin\left(t\right) - 815
āˆ’326081075ā€‰t13+493555ā€‰t12āˆ’831185ā€‰t11+414175ā€‰t10āˆ’42835ā€‰t9+34315ā€‰t8āˆ’136315ā€‰t7āˆ’18845ā€‰t6+18815ā€‰t5+4183ā€‰t4āˆ’8363ā€‰t3āˆ’1630ā€‰t2+1630ā€‰tāˆ’3277ā€‰cosā”(t)āˆ’1638ā€‰sinā”(t)+3281\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{6081075} \, t^{13} + \frac{4}{93555} \, t^{12} - \frac{8}{31185} \, t^{11} + \frac{4}{14175} \, t^{10} - \frac{4}{2835} \, t^{9} + \frac{34}{315} \, t^{8} - \frac{136}{315} \, t^{7} - \frac{188}{45} \, t^{6} + \frac{188}{15} \, t^{5} + \frac{418}{3} \, t^{4} - \frac{836}{3} \, t^{3} - 1630 \, t^{2} + 1630 \, t - 3277 \, \cos\left(t\right) - 1638 \, \sin\left(t\right) + 3281
3242567525ā€‰t14āˆ’81216215ā€‰t13+493555ā€‰t12āˆ’8155925ā€‰t11+414175ā€‰t10āˆ’682835ā€‰t9+34315ā€‰t8+376315ā€‰t7āˆ’18845ā€‰t6āˆ’83615ā€‰t5+4183ā€‰t4+32603ā€‰t3āˆ’1630ā€‰t2āˆ’6562ā€‰tāˆ’3277ā€‰cosā”(t)+6554ā€‰sinā”(t)+3281\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{32}{42567525} \, t^{14} - \frac{8}{1216215} \, t^{13} + \frac{4}{93555} \, t^{12} - \frac{8}{155925} \, t^{11} + \frac{4}{14175} \, t^{10} - \frac{68}{2835} \, t^{9} + \frac{34}{315} \, t^{8} + \frac{376}{315} \, t^{7} - \frac{188}{45} \, t^{6} - \frac{836}{15} \, t^{5} + \frac{418}{3} \, t^{4} + \frac{3260}{3} \, t^{3} - 1630 \, t^{2} - 6562 \, t - 3277 \, \cos\left(t\right) + 6554 \, \sin\left(t\right) + 3281
āˆ’64638512875ā€‰t15+88513505ā€‰t14āˆ’81216215ā€‰t13+4467775ā€‰t12āˆ’8155925ā€‰t11+6814175ā€‰t10āˆ’682835ā€‰t9āˆ’94315ā€‰t8+376315ā€‰t7+83645ā€‰t6āˆ’83615ā€‰t5āˆ’16303ā€‰t4+32603ā€‰t3+6562ā€‰t2āˆ’6562ā€‰t+13107ā€‰cosā”(t)+6554ā€‰sinā”(t)āˆ’13103\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{64}{638512875} \, t^{15} + \frac{8}{8513505} \, t^{14} - \frac{8}{1216215} \, t^{13} + \frac{4}{467775} \, t^{12} - \frac{8}{155925} \, t^{11} + \frac{68}{14175} \, t^{10} - \frac{68}{2835} \, t^{9} - \frac{94}{315} \, t^{8} + \frac{376}{315} \, t^{7} + \frac{836}{45} \, t^{6} - \frac{836}{15} \, t^{5} - \frac{1630}{3} \, t^{4} + \frac{3260}{3} \, t^{3} + 6562 \, t^{2} - 6562 \, t + 13107 \, \cos\left(t\right) + 6554 \, \sin\left(t\right) - 13103
8638512875ā€‰t16āˆ’16127702575ā€‰t15+88513505ā€‰t14āˆ’86081075ā€‰t13+4467775ā€‰t12āˆ’136155925ā€‰t11+6814175ā€‰t10+1882835ā€‰t9āˆ’94315ā€‰t8āˆ’1672315ā€‰t7+83645ā€‰t6+6523ā€‰t5āˆ’16303ā€‰t4āˆ’131243ā€‰t3+6562ā€‰t2+26206ā€‰t+13107ā€‰cosā”(t)āˆ’26214ā€‰sinā”(t)āˆ’13103\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{8}{638512875} \, t^{16} - \frac{16}{127702575} \, t^{15} + \frac{8}{8513505} \, t^{14} - \frac{8}{6081075} \, t^{13} + \frac{4}{467775} \, t^{12} - \frac{136}{155925} \, t^{11} + \frac{68}{14175} \, t^{10} + \frac{188}{2835} \, t^{9} - \frac{94}{315} \, t^{8} - \frac{1672}{315} \, t^{7} + \frac{836}{45} \, t^{6} + \frac{652}{3} \, t^{5} - \frac{1630}{3} \, t^{4} - \frac{13124}{3} \, t^{3} + 6562 \, t^{2} + 26206 \, t + 13107 \, \cos\left(t\right) - 26214 \, \sin\left(t\right) - 13103
āˆ’1610854718875ā€‰t17+2127702575ā€‰t16āˆ’16127702575ā€‰t15+842567525ā€‰t14āˆ’86081075ā€‰t13+68467775ā€‰t12āˆ’136155925ā€‰t11āˆ’18814175ā€‰t10+1882835ā€‰t9+418315ā€‰t8āˆ’1672315ā€‰t7āˆ’6529ā€‰t6+6523ā€‰t5+65623ā€‰t4āˆ’131243ā€‰t3āˆ’26206ā€‰t2+26206ā€‰tāˆ’52429ā€‰cosā”(t)āˆ’26214ā€‰sinā”(t)+52433\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{16}{10854718875} \, t^{17} + \frac{2}{127702575} \, t^{16} - \frac{16}{127702575} \, t^{15} + \frac{8}{42567525} \, t^{14} - \frac{8}{6081075} \, t^{13} + \frac{68}{467775} \, t^{12} - \frac{136}{155925} \, t^{11} - \frac{188}{14175} \, t^{10} + \frac{188}{2835} \, t^{9} + \frac{418}{315} \, t^{8} - \frac{1672}{315} \, t^{7} - \frac{652}{9} \, t^{6} + \frac{652}{3} \, t^{5} + \frac{6562}{3} \, t^{4} - \frac{13124}{3} \, t^{3} - 26206 \, t^{2} + 26206 \, t - 52429 \, \cos\left(t\right) - 26214 \, \sin\left(t\right) + 52433
1697692469875ā€‰t18āˆ’42170943775ā€‰t17+2127702575ā€‰t16āˆ’16638512875ā€‰t15+842567525ā€‰t14āˆ’1366081075ā€‰t13+68467775ā€‰t12+376155925ā€‰t11āˆ’18814175ā€‰t10āˆ’8362835ā€‰t9+418315ā€‰t8+130463ā€‰t7āˆ’6529ā€‰t6āˆ’1312415ā€‰t5+65623ā€‰t4+524123ā€‰t3āˆ’26206ā€‰t2āˆ’104866ā€‰tāˆ’52429ā€‰cosā”(t)+104858ā€‰sinā”(t)+52433\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{97692469875} \, t^{18} - \frac{4}{2170943775} \, t^{17} + \frac{2}{127702575} \, t^{16} - \frac{16}{638512875} \, t^{15} + \frac{8}{42567525} \, t^{14} - \frac{136}{6081075} \, t^{13} + \frac{68}{467775} \, t^{12} + \frac{376}{155925} \, t^{11} - \frac{188}{14175} \, t^{10} - \frac{836}{2835} \, t^{9} + \frac{418}{315} \, t^{8} + \frac{1304}{63} \, t^{7} - \frac{652}{9} \, t^{6} - \frac{13124}{15} \, t^{5} + \frac{6562}{3} \, t^{4} + \frac{52412}{3} \, t^{3} - 26206 \, t^{2} - 104866 \, t - 52429 \, \cos\left(t\right) + 104858 \, \sin\left(t\right) + 52433
āˆ’321856156927625ā€‰t19+419538493975ā€‰t18āˆ’42170943775ā€‰t17+2638512875ā€‰t16āˆ’16638512875ā€‰t15+13642567525ā€‰t14āˆ’1366081075ā€‰t13āˆ’188467775ā€‰t12+376155925ā€‰t11+83614175ā€‰t10āˆ’8362835ā€‰t9āˆ’32663ā€‰t8+130463ā€‰t7+1312445ā€‰t6āˆ’1312415ā€‰t5āˆ’262063ā€‰t4+524123ā€‰t3+104866ā€‰t2āˆ’104866ā€‰t+209715ā€‰cosā”(t)+104858ā€‰sinā”(t)āˆ’209711\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{4}{19538493975} \, t^{18} - \frac{4}{2170943775} \, t^{17} + \frac{2}{638512875} \, t^{16} - \frac{16}{638512875} \, t^{15} + \frac{136}{42567525} \, t^{14} - \frac{136}{6081075} \, t^{13} - \frac{188}{467775} \, t^{12} + \frac{376}{155925} \, t^{11} + \frac{836}{14175} \, t^{10} - \frac{836}{2835} \, t^{9} - \frac{326}{63} \, t^{8} + \frac{1304}{63} \, t^{7} + \frac{13124}{45} \, t^{6} - \frac{13124}{15} \, t^{5} - \frac{26206}{3} \, t^{4} + \frac{52412}{3} \, t^{3} + 104866 \, t^{2} - 104866 \, t + 209715 \, \cos\left(t\right) + 104858 \, \sin\left(t\right) - 209711
169280784638125ā€‰t20āˆ’8371231385525ā€‰t19+419538493975ā€‰t18āˆ’410854718875ā€‰t17+2638512875ā€‰t16āˆ’272638512875ā€‰t15+13642567525ā€‰t14+3766081075ā€‰t13āˆ’188467775ā€‰t12āˆ’15214175ā€‰t11+83614175ā€‰t10+652567ā€‰t9āˆ’32663ā€‰t8āˆ’26248315ā€‰t7+1312445ā€‰t6+5241215ā€‰t5āˆ’262063ā€‰t4āˆ’2097323ā€‰t3+104866ā€‰t2+419422ā€‰t+209715ā€‰cosā”(t)āˆ’419430ā€‰sinā”(t)āˆ’209711\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{8}{371231385525} \, t^{19} + \frac{4}{19538493975} \, t^{18} - \frac{4}{10854718875} \, t^{17} + \frac{2}{638512875} \, t^{16} - \frac{272}{638512875} \, t^{15} + \frac{136}{42567525} \, t^{14} + \frac{376}{6081075} \, t^{13} - \frac{188}{467775} \, t^{12} - \frac{152}{14175} \, t^{11} + \frac{836}{14175} \, t^{10} + \frac{652}{567} \, t^{9} - \frac{326}{63} \, t^{8} - \frac{26248}{315} \, t^{7} + \frac{13124}{45} \, t^{6} + \frac{52412}{15} \, t^{5} - \frac{26206}{3} \, t^{4} - \frac{209732}{3} \, t^{3} + 104866 \, t^{2} + 419422 \, t + 209715 \, \cos\left(t\right) - 419430 \, \sin\left(t\right) - 209711
āˆ’32194896477400625ā€‰t21+41856156927625ā€‰t20āˆ’8371231385525ā€‰t19+497692469875ā€‰t18āˆ’410854718875ā€‰t17+34638512875ā€‰t16āˆ’272638512875ā€‰t15āˆ’37642567525ā€‰t14+3766081075ā€‰t13+7642525ā€‰t12āˆ’15214175ā€‰t11āˆ’6522835ā€‰t10+652567ā€‰t9+6562315ā€‰t8āˆ’26248315ā€‰t7āˆ’5241245ā€‰t6+5241215ā€‰t5+1048663ā€‰t4āˆ’2097323ā€‰t3āˆ’419422ā€‰t2+419422ā€‰tāˆ’838861ā€‰cosā”(t)āˆ’419430ā€‰sinā”(t)+838865\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{4}{1856156927625} \, t^{20} - \frac{8}{371231385525} \, t^{19} + \frac{4}{97692469875} \, t^{18} - \frac{4}{10854718875} \, t^{17} + \frac{34}{638512875} \, t^{16} - \frac{272}{638512875} \, t^{15} - \frac{376}{42567525} \, t^{14} + \frac{376}{6081075} \, t^{13} + \frac{76}{42525} \, t^{12} - \frac{152}{14175} \, t^{11} - \frac{652}{2835} \, t^{10} + \frac{652}{567} \, t^{9} + \frac{6562}{315} \, t^{8} - \frac{26248}{315} \, t^{7} - \frac{52412}{45} \, t^{6} + \frac{52412}{15} \, t^{5} + \frac{104866}{3} \, t^{4} - \frac{209732}{3} \, t^{3} - 419422 \, t^{2} + 419422 \, t - 838861 \, \cos\left(t\right) - 419430 \, \sin\left(t\right) + 838865
322143861251406875ā€‰t22āˆ’838979295480125ā€‰t21+41856156927625ā€‰t20āˆ’81856156927625ā€‰t19+497692469875ā€‰t18āˆ’4638512875ā€‰t17+34638512875ā€‰t16+752638512875ā€‰t15āˆ’37642567525ā€‰t14āˆ’152552825ā€‰t13+7642525ā€‰t12+130431185ā€‰t11āˆ’6522835ā€‰t10āˆ’131242835ā€‰t9+6562315ā€‰t8+104824315ā€‰t7āˆ’5241245ā€‰t6āˆ’20973215ā€‰t5+1048663ā€‰t4+8388443ā€‰t3āˆ’419422ā€‰t2āˆ’1677730ā€‰tāˆ’838861ā€‰cosā”(t)+1677722ā€‰sinā”(t)+838865\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{32}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{8}{38979295480125} \, t^{21} + \frac{4}{1856156927625} \, t^{20} - \frac{8}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{4}{97692469875} \, t^{18} - \frac{4}{638512875} \, t^{17} + \frac{34}{638512875} \, t^{16} + \frac{752}{638512875} \, t^{15} - \frac{376}{42567525} \, t^{14} - \frac{152}{552825} \, t^{13} + \frac{76}{42525} \, t^{12} + \frac{1304}{31185} \, t^{11} - \frac{652}{2835} \, t^{10} - \frac{13124}{2835} \, t^{9} + \frac{6562}{315} \, t^{8} + \frac{104824}{315} \, t^{7} - \frac{52412}{45} \, t^{6} - \frac{209732}{15} \, t^{5} + \frac{104866}{3} \, t^{4} + \frac{838844}{3} \, t^{3} - 419422 \, t^{2} - 1677730 \, t - 838861 \, \cos\left(t\right) + 1677722 \, \sin\left(t\right) + 838865
āˆ’6449308808782358125ā€‰t23+8428772250281375ā€‰t22āˆ’838979295480125ā€‰t21+49280784638125ā€‰t20āˆ’81856156927625ā€‰t19+45746615875ā€‰t18āˆ’4638512875ā€‰t17āˆ’94638512875ā€‰t16+752638512875ā€‰t15+1523869775ā€‰t14āˆ’152552825ā€‰t13āˆ’65293555ā€‰t12+130431185ā€‰t11+1312414175ā€‰t10āˆ’131242835ā€‰t9āˆ’26206315ā€‰t8+104824315ā€‰t7+20973245ā€‰t6āˆ’20973215ā€‰t5āˆ’4194223ā€‰t4+8388443ā€‰t3+1677730ā€‰t2āˆ’1677730ā€‰t+3355443ā€‰cosā”(t)+1677722ā€‰sinā”(t)āˆ’3355439\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{64}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{8}{428772250281375} \, t^{22} - \frac{8}{38979295480125} \, t^{21} + \frac{4}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{8}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{4}{5746615875} \, t^{18} - \frac{4}{638512875} \, t^{17} - \frac{94}{638512875} \, t^{16} + \frac{752}{638512875} \, t^{15} + \frac{152}{3869775} \, t^{14} - \frac{152}{552825} \, t^{13} - \frac{652}{93555} \, t^{12} + \frac{1304}{31185} \, t^{11} + \frac{13124}{14175} \, t^{10} - \frac{13124}{2835} \, t^{9} - \frac{26206}{315} \, t^{8} + \frac{104824}{315} \, t^{7} + \frac{209732}{45} \, t^{6} - \frac{209732}{15} \, t^{5} - \frac{419422}{3} \, t^{4} + \frac{838844}{3} \, t^{3} + 1677730 \, t^{2} - 1677730 \, t + 3355443 \, \cos\left(t\right) + 1677722 \, \sin\left(t\right) - 3355439
16147926426347074375ā€‰t24āˆ’169861761756471625ā€‰t23+8428772250281375ā€‰t22āˆ’8194896477400625ā€‰t21+49280784638125ā€‰t20āˆ’8109185701625ā€‰t19+45746615875ā€‰t18+18810854718875ā€‰t17āˆ’94638512875ā€‰t16āˆ’30458046625ā€‰t15+1523869775ā€‰t14+13041216215ā€‰t13āˆ’65293555ā€‰t12āˆ’26248155925ā€‰t11+1312414175ā€‰t10+524122835ā€‰t9āˆ’26206315ā€‰t8āˆ’419464315ā€‰t7+20973245ā€‰t6+83884415ā€‰t5āˆ’4194223ā€‰t4āˆ’33554603ā€‰t3+1677730ā€‰t2+6710878ā€‰t+3355443ā€‰cosā”(t)āˆ’6710886ā€‰sinā”(t)āˆ’3355439\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{147926426347074375} \, t^{24} - \frac{16}{9861761756471625} \, t^{23} + \frac{8}{428772250281375} \, t^{22} - \frac{8}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{4}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{8}{109185701625} \, t^{19} + \frac{4}{5746615875} \, t^{18} + \frac{188}{10854718875} \, t^{17} - \frac{94}{638512875} \, t^{16} - \frac{304}{58046625} \, t^{15} + \frac{152}{3869775} \, t^{14} + \frac{1304}{1216215} \, t^{13} - \frac{652}{93555} \, t^{12} - \frac{26248}{155925} \, t^{11} + \frac{13124}{14175} \, t^{10} + \frac{52412}{2835} \, t^{9} - \frac{26206}{315} \, t^{8} - \frac{419464}{315} \, t^{7} + \frac{209732}{45} \, t^{6} + \frac{838844}{15} \, t^{5} - \frac{419422}{3} \, t^{4} - \frac{3355460}{3} \, t^{3} + 1677730 \, t^{2} + 6710878 \, t + 3355443 \, \cos\left(t\right) - 6710886 \, \sin\left(t\right) - 3355439
āˆ’323698160658676859375ā€‰t25+429585285269414875ā€‰t24āˆ’169861761756471625ā€‰t23+82143861251406875ā€‰t22āˆ’8194896477400625ā€‰t21+4545928508125ā€‰t20āˆ’8109185701625ā€‰t19āˆ’18897692469875ā€‰t18+18810854718875ā€‰t17+3858046625ā€‰t16āˆ’30458046625ā€‰t15āˆ’13048513505ā€‰t14+13041216215ā€‰t13+13124467775ā€‰t12āˆ’26248155925ā€‰t11āˆ’5241214175ā€‰t10+524122835ā€‰t9+104866315ā€‰t8āˆ’419464315ā€‰t7āˆ’83884445ā€‰t6+83884415ā€‰t5+16777303ā€‰t4āˆ’33554603ā€‰t3āˆ’6710878ā€‰t2+6710878ā€‰tāˆ’13421773ā€‰cosā”(t)āˆ’6710886ā€‰sinā”(t)+13421777\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{3698160658676859375} \, t^{25} + \frac{4}{29585285269414875} \, t^{24} - \frac{16}{9861761756471625} \, t^{23} + \frac{8}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{8}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{4}{545928508125} \, t^{20} - \frac{8}{109185701625} \, t^{19} - \frac{188}{97692469875} \, t^{18} + \frac{188}{10854718875} \, t^{17} + \frac{38}{58046625} \, t^{16} - \frac{304}{58046625} \, t^{15} - \frac{1304}{8513505} \, t^{14} + \frac{1304}{1216215} \, t^{13} + \frac{13124}{467775} \, t^{12} - \frac{26248}{155925} \, t^{11} - \frac{52412}{14175} \, t^{10} + \frac{52412}{2835} \, t^{9} + \frac{104866}{315} \, t^{8} - \frac{419464}{315} \, t^{7} - \frac{838844}{45} \, t^{6} + \frac{838844}{15} \, t^{5} + \frac{1677730}{3} \, t^{4} - \frac{3355460}{3} \, t^{3} - 6710878 \, t^{2} + 6710878 \, t - 13421773 \, \cos\left(t\right) - 6710886 \, \sin\left(t\right) + 13421777
3248076088562799171875ā€‰t26āˆ’8739632131735371875ā€‰t25+429585285269414875ā€‰t24āˆ’1649308808782358125ā€‰t23+82143861251406875ā€‰t22āˆ’811464498670625ā€‰t21+4545928508125ā€‰t20+3761856156927625ā€‰t19āˆ’18897692469875ā€‰t18āˆ’76986792625ā€‰t17+3858046625ā€‰t16+2608127702575ā€‰t15āˆ’13048513505ā€‰t14āˆ’262486081075ā€‰t13+13124467775ā€‰t12+104824155925ā€‰t11āˆ’5241214175ā€‰t10āˆ’2097322835ā€‰t9+104866315ā€‰t8+1677688315ā€‰t7āˆ’83884445ā€‰t6āˆ’6710923ā€‰t5+16777303ā€‰t4+134217563ā€‰t3āˆ’6710878ā€‰t2āˆ’26843554ā€‰tāˆ’13421773ā€‰cosā”(t)+26843546ā€‰sinā”(t)+13421777\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{32}{48076088562799171875} \, t^{26} - \frac{8}{739632131735371875} \, t^{25} + \frac{4}{29585285269414875} \, t^{24} - \frac{16}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{8}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{8}{11464498670625} \, t^{21} + \frac{4}{545928508125} \, t^{20} + \frac{376}{1856156927625} \, t^{19} - \frac{188}{97692469875} \, t^{18} - \frac{76}{986792625} \, t^{17} + \frac{38}{58046625} \, t^{16} + \frac{2608}{127702575} \, t^{15} - \frac{1304}{8513505} \, t^{14} - \frac{26248}{6081075} \, t^{13} + \frac{13124}{467775} \, t^{12} + \frac{104824}{155925} \, t^{11} - \frac{52412}{14175} \, t^{10} - \frac{209732}{2835} \, t^{9} + \frac{104866}{315} \, t^{8} + \frac{1677688}{315} \, t^{7} - \frac{838844}{45} \, t^{6} - \frac{671092}{3} \, t^{5} + \frac{1677730}{3} \, t^{4} + \frac{13421756}{3} \, t^{3} - 6710878 \, t^{2} - 26843554 \, t - 13421773 \, \cos\left(t\right) + 26843546 \, \sin\left(t\right) + 13421777
āˆ’641298054391195577640625ā€‰t27+89615217712559834375ā€‰t26āˆ’8739632131735371875ā€‰t25+4147926426347074375ā€‰t24āˆ’1649308808782358125ā€‰t23+8126109485376875ā€‰t22āˆ’811464498670625ā€‰t21āˆ’1889280784638125ā€‰t20+3761856156927625ā€‰t19+768881133625ā€‰t18āˆ’76986792625ā€‰t17āˆ’326127702575ā€‰t16+2608127702575ā€‰t15+2624842567525ā€‰t14āˆ’262486081075ā€‰t13āˆ’52412467775ā€‰t12+104824155925ā€‰t11+20973214175ā€‰t10āˆ’2097322835ā€‰t9āˆ’419422315ā€‰t8+1677688315ā€‰t7+6710929ā€‰t6āˆ’6710923ā€‰t5āˆ’67108783ā€‰t4+134217563ā€‰t3+26843554ā€‰t2āˆ’26843554ā€‰t+53687091ā€‰cosā”(t)+26843546ā€‰sinā”(t)āˆ’53687087\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{64}{1298054391195577640625} \, t^{27} + \frac{8}{9615217712559834375} \, t^{26} - \frac{8}{739632131735371875} \, t^{25} + \frac{4}{147926426347074375} \, t^{24} - \frac{16}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{8}{126109485376875} \, t^{22} - \frac{8}{11464498670625} \, t^{21} - \frac{188}{9280784638125} \, t^{20} + \frac{376}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{76}{8881133625} \, t^{18} - \frac{76}{986792625} \, t^{17} - \frac{326}{127702575} \, t^{16} + \frac{2608}{127702575} \, t^{15} + \frac{26248}{42567525} \, t^{14} - \frac{26248}{6081075} \, t^{13} - \frac{52412}{467775} \, t^{12} + \frac{104824}{155925} \, t^{11} + \frac{209732}{14175} \, t^{10} - \frac{209732}{2835} \, t^{9} - \frac{419422}{315} \, t^{8} + \frac{1677688}{315} \, t^{7} + \frac{671092}{9} \, t^{6} - \frac{671092}{3} \, t^{5} - \frac{6710878}{3} \, t^{4} + \frac{13421756}{3} \, t^{3} + 26843554 \, t^{2} - 26843554 \, t + 53687091 \, \cos\left(t\right) + 26843546 \, \sin\left(t\right) - 53687087
329086380738369043484375ā€‰t28āˆ’16259610878239115528125ā€‰t27+89615217712559834375ā€‰t26āˆ’83698160658676859375ā€‰t25+4147926426347074375ā€‰t24āˆ’162900518163668125ā€‰t23+8126109485376875ā€‰t22+376194896477400625ā€‰t21āˆ’1889280784638125ā€‰t20āˆ’88881133625ā€‰t19+768881133625ā€‰t18+6522170943775ā€‰t17āˆ’326127702575ā€‰t16āˆ’52496638512875ā€‰t15+2624842567525ā€‰t14+1048246081075ā€‰t13āˆ’52412467775ā€‰t12āˆ’419464155925ā€‰t11+20973214175ā€‰t10+8388442835ā€‰t9āˆ’419422315ā€‰t8āˆ’134218463ā€‰t7+6710929ā€‰t6+1342175615ā€‰t5āˆ’67108783ā€‰t4āˆ’536871083ā€‰t3+26843554ā€‰t2+107374174ā€‰t+53687091ā€‰cosā”(t)āˆ’107374182ā€‰sinā”(t)āˆ’53687087\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{32}{9086380738369043484375} \, t^{28} - \frac{16}{259610878239115528125} \, t^{27} + \frac{8}{9615217712559834375} \, t^{26} - \frac{8}{3698160658676859375} \, t^{25} + \frac{4}{147926426347074375} \, t^{24} - \frac{16}{2900518163668125} \, t^{23} + \frac{8}{126109485376875} \, t^{22} + \frac{376}{194896477400625} \, t^{21} - \frac{188}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{8}{8881133625} \, t^{19} + \frac{76}{8881133625} \, t^{18} + \frac{652}{2170943775} \, t^{17} - \frac{326}{127702575} \, t^{16} - \frac{52496}{638512875} \, t^{15} + \frac{26248}{42567525} \, t^{14} + \frac{104824}{6081075} \, t^{13} - \frac{52412}{467775} \, t^{12} - \frac{419464}{155925} \, t^{11} + \frac{209732}{14175} \, t^{10} + \frac{838844}{2835} \, t^{9} - \frac{419422}{315} \, t^{8} - \frac{1342184}{63} \, t^{7} + \frac{671092}{9} \, t^{6} + \frac{13421756}{15} \, t^{5} - \frac{6710878}{3} \, t^{4} - \frac{53687108}{3} \, t^{3} + 26843554 \, t^{2} + 107374174 \, t + 53687091 \, \cos\left(t\right) - 107374182 \, \sin\left(t\right) - 53687087
āˆ’64263505041412702261046875ā€‰t29+81817276147673808696875ā€‰t28āˆ’16259610878239115528125ā€‰t27+848076088562799171875ā€‰t26āˆ’83698160658676859375ā€‰t25+48701554491004375ā€‰t24āˆ’162900518163668125ā€‰t23āˆ’3762143861251406875ā€‰t22+376194896477400625ā€‰t21+444405668125ā€‰t20āˆ’88881133625ā€‰t19āˆ’65219538493975ā€‰t18+6522170943775ā€‰t17+6562638512875ā€‰t16āˆ’52496638512875ā€‰t15āˆ’10482442567525ā€‰t14+1048246081075ā€‰t13+209732467775ā€‰t12āˆ’419464155925ā€‰t11āˆ’83884414175ā€‰t10+8388442835ā€‰t9+33554663ā€‰t8āˆ’134218463ā€‰t7āˆ’1342175645ā€‰t6+1342175615ā€‰t5+268435543ā€‰t4āˆ’536871083ā€‰t3āˆ’107374174ā€‰t2+107374174ā€‰tāˆ’214748365ā€‰cosā”(t)āˆ’107374182ā€‰sinā”(t)+214748369\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{64}{263505041412702261046875} \, t^{29} + \frac{8}{1817276147673808696875} \, t^{28} - \frac{16}{259610878239115528125} \, t^{27} + \frac{8}{48076088562799171875} \, t^{26} - \frac{8}{3698160658676859375} \, t^{25} + \frac{4}{8701554491004375} \, t^{24} - \frac{16}{2900518163668125} \, t^{23} - \frac{376}{2143861251406875} \, t^{22} + \frac{376}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{4}{44405668125} \, t^{20} - \frac{8}{8881133625} \, t^{19} - \frac{652}{19538493975} \, t^{18} + \frac{652}{2170943775} \, t^{17} + \frac{6562}{638512875} \, t^{16} - \frac{52496}{638512875} \, t^{15} - \frac{104824}{42567525} \, t^{14} + \frac{104824}{6081075} \, t^{13} + \frac{209732}{467775} \, t^{12} - \frac{419464}{155925} \, t^{11} - \frac{838844}{14175} \, t^{10} + \frac{838844}{2835} \, t^{9} + \frac{335546}{63} \, t^{8} - \frac{1342184}{63} \, t^{7} - \frac{13421756}{45} \, t^{6} + \frac{13421756}{15} \, t^{5} + \frac{26843554}{3} \, t^{4} - \frac{53687108}{3} \, t^{3} - 107374174 \, t^{2} + 107374174 \, t - 214748365 \, \cos\left(t\right) - 107374182 \, \sin\left(t\right) + 214748369
643952575621190533915703125ā€‰t30āˆ’1652701008282540452209375ā€‰t29+81817276147673808696875ā€‰t28āˆ’161298054391195577640625ā€‰t27+848076088562799171875ā€‰t26āˆ’8217538862275109375ā€‰t25+48701554491004375ā€‰t24+75249308808782358125ā€‰t23āˆ’3762143861251406875ā€‰t22āˆ’8932519030625ā€‰t21+444405668125ā€‰t20+1304371231385525ā€‰t19āˆ’65219538493975ā€‰t18āˆ’772638512875ā€‰t17+6562638512875ā€‰t16+209648638512875ā€‰t15āˆ’10482442567525ā€‰t14āˆ’4194646081075ā€‰t13+209732467775ā€‰t12+1677688155925ā€‰t11āˆ’83884414175ā€‰t10āˆ’671092567ā€‰t9+33554663ā€‰t8+26843512315ā€‰t7āˆ’1342175645ā€‰t6āˆ’5368710815ā€‰t5+268435543ā€‰t4+2147483483ā€‰t3āˆ’107374174ā€‰t2āˆ’429496738ā€‰tāˆ’214748365ā€‰cosā”(t)+429496730ā€‰sinā”(t)+214748369\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{64}{3952575621190533915703125} \, t^{30} - \frac{16}{52701008282540452209375} \, t^{29} + \frac{8}{1817276147673808696875} \, t^{28} - \frac{16}{1298054391195577640625} \, t^{27} + \frac{8}{48076088562799171875} \, t^{26} - \frac{8}{217538862275109375} \, t^{25} + \frac{4}{8701554491004375} \, t^{24} + \frac{752}{49308808782358125} \, t^{23} - \frac{376}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{8}{932519030625} \, t^{21} + \frac{4}{44405668125} \, t^{20} + \frac{1304}{371231385525} \, t^{19} - \frac{652}{19538493975} \, t^{18} - \frac{772}{638512875} \, t^{17} + \frac{6562}{638512875} \, t^{16} + \frac{209648}{638512875} \, t^{15} - \frac{104824}{42567525} \, t^{14} - \frac{419464}{6081075} \, t^{13} + \frac{209732}{467775} \, t^{12} + \frac{1677688}{155925} \, t^{11} - \frac{838844}{14175} \, t^{10} - \frac{671092}{567} \, t^{9} + \frac{335546}{63} \, t^{8} + \frac{26843512}{315} \, t^{7} - \frac{13421756}{45} \, t^{6} - \frac{53687108}{15} \, t^{5} + \frac{26843554}{3} \, t^{4} + \frac{214748348}{3} \, t^{3} - 107374174 \, t^{2} - 429496738 \, t - 214748365 \, \cos\left(t\right) + 429496730 \, \sin\left(t\right) + 214748369
āˆ’128122529844256906551386796875ā€‰t31+16790515124238106783140625ā€‰t30āˆ’1652701008282540452209375ā€‰t29+89086380738369043484375ā€‰t28āˆ’161298054391195577640625ā€‰t27+82828005209576421875ā€‰t26āˆ’8217538862275109375ā€‰t25āˆ’188147926426347074375ā€‰t24+75249308808782358125ā€‰t23+810257709336875ā€‰t22āˆ’8932519030625ā€‰t21āˆ’6521856156927625ā€‰t20+1304371231385525ā€‰t19+7725746615875ā€‰t18āˆ’772638512875ā€‰t17āˆ’26206638512875ā€‰t16+209648638512875ā€‰t15+41946442567525ā€‰t14āˆ’4194646081075ā€‰t13āˆ’838844467775ā€‰t12+1677688155925ā€‰t11+6710922835ā€‰t10āˆ’671092567ā€‰t9āˆ’6710878315ā€‰t8+26843512315ā€‰t7+5368710845ā€‰t6āˆ’5368710815ā€‰t5āˆ’1073741743ā€‰t4+2147483483ā€‰t3+429496738ā€‰t2āˆ’429496738ā€‰t+858993459ā€‰cosā”(t)+429496730ā€‰sinā”(t)āˆ’858993455\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{128}{122529844256906551386796875} \, t^{31} + \frac{16}{790515124238106783140625} \, t^{30} - \frac{16}{52701008282540452209375} \, t^{29} + \frac{8}{9086380738369043484375} \, t^{28} - \frac{16}{1298054391195577640625} \, t^{27} + \frac{8}{2828005209576421875} \, t^{26} - \frac{8}{217538862275109375} \, t^{25} - \frac{188}{147926426347074375} \, t^{24} + \frac{752}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{8}{10257709336875} \, t^{22} - \frac{8}{932519030625} \, t^{21} - \frac{652}{1856156927625} \, t^{20} + \frac{1304}{371231385525} \, t^{19} + \frac{772}{5746615875} \, t^{18} - \frac{772}{638512875} \, t^{17} - \frac{26206}{638512875} \, t^{16} + \frac{209648}{638512875} \, t^{15} + \frac{419464}{42567525} \, t^{14} - \frac{419464}{6081075} \, t^{13} - \frac{838844}{467775} \, t^{12} + \frac{1677688}{155925} \, t^{11} + \frac{671092}{2835} \, t^{10} - \frac{671092}{567} \, t^{9} - \frac{6710878}{315} \, t^{8} + \frac{26843512}{315} \, t^{7} + \frac{53687108}{45} \, t^{6} - \frac{53687108}{15} \, t^{5} - \frac{107374174}{3} \, t^{4} + \frac{214748348}{3} \, t^{3} + 429496738 \, t^{2} - 429496738 \, t + 858993459 \, \cos\left(t\right) + 429496730 \, \sin\left(t\right) - 858993455
8122529844256906551386796875ā€‰t32āˆ’3224505968851381310277359375ā€‰t31+16790515124238106783140625ā€‰t30āˆ’16263505041412702261046875ā€‰t29+89086380738369043484375ā€‰t28āˆ’1676356140658563390625ā€‰t27+82828005209576421875ā€‰t26+3763698160658676859375ā€‰t25āˆ’188147926426347074375ā€‰t24āˆ’16235927314748125ā€‰t23+810257709336875ā€‰t22+130438979295480125ā€‰t21āˆ’6521856156927625ā€‰t20āˆ’1544109185701625ā€‰t19+7725746615875ā€‰t18+5241210854718875ā€‰t17āˆ’26206638512875ā€‰t16āˆ’838928638512875ā€‰t15+41946442567525ā€‰t14+16776886081075ā€‰t13āˆ’838844467775ā€‰t12āˆ’134218431185ā€‰t11+6710922835ā€‰t10+134217562835ā€‰t9āˆ’6710878315ā€‰t8āˆ’107374216315ā€‰t7+5368710845ā€‰t6+21474834815ā€‰t5āˆ’1073741743ā€‰t4āˆ’8589934763ā€‰t3+429496738ā€‰t2+1717986910ā€‰t+858993459ā€‰cosā”(t)āˆ’1717986918ā€‰sinā”(t)āˆ’858993455\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{8}{122529844256906551386796875} \, t^{32} - \frac{32}{24505968851381310277359375} \, t^{31} + \frac{16}{790515124238106783140625} \, t^{30} - \frac{16}{263505041412702261046875} \, t^{29} + \frac{8}{9086380738369043484375} \, t^{28} - \frac{16}{76356140658563390625} \, t^{27} + \frac{8}{2828005209576421875} \, t^{26} + \frac{376}{3698160658676859375} \, t^{25} - \frac{188}{147926426347074375} \, t^{24} - \frac{16}{235927314748125} \, t^{23} + \frac{8}{10257709336875} \, t^{22} + \frac{1304}{38979295480125} \, t^{21} - \frac{652}{1856156927625} \, t^{20} - \frac{1544}{109185701625} \, t^{19} + \frac{772}{5746615875} \, t^{18} + \frac{52412}{10854718875} \, t^{17} - \frac{26206}{638512875} \, t^{16} - \frac{838928}{638512875} \, t^{15} + \frac{419464}{42567525} \, t^{14} + \frac{1677688}{6081075} \, t^{13} - \frac{838844}{467775} \, t^{12} - \frac{1342184}{31185} \, t^{11} + \frac{671092}{2835} \, t^{10} + \frac{13421756}{2835} \, t^{9} - \frac{6710878}{315} \, t^{8} - \frac{107374216}{315} \, t^{7} + \frac{53687108}{45} \, t^{6} + \frac{214748348}{15} \, t^{5} - \frac{107374174}{3} \, t^{4} - \frac{858993476}{3} \, t^{3} + 429496738 \, t^{2} + 1717986910 \, t + 858993459 \, \cos\left(t\right) - 1717986918 \, \sin\left(t\right) - 858993455
āˆ’164043484860477916195764296875ā€‰t33+224505968851381310277359375ā€‰t32āˆ’3224505968851381310277359375ā€‰t31+163952575621190533915703125ā€‰t30āˆ’16263505041412702261046875ā€‰t29+8534492984609943734375ā€‰t28āˆ’1676356140658563390625ā€‰t27āˆ’37648076088562799171875ā€‰t26+3763698160658676859375ā€‰t25+4707781944244375ā€‰t24āˆ’16235927314748125ā€‰t23āˆ’1304428772250281375ā€‰t22+130438979295480125ā€‰t21+772545928508125ā€‰t20āˆ’1544109185701625ā€‰t19āˆ’5241297692469875ā€‰t18+5241210854718875ā€‰t17+104866638512875ā€‰t16āˆ’838928638512875ā€‰t15āˆ’167768842567525ā€‰t14+16776886081075ā€‰t13+67109293555ā€‰t12āˆ’134218431185ā€‰t11āˆ’1342175614175ā€‰t10+134217562835ā€‰t9+26843554315ā€‰t8āˆ’107374216315ā€‰t7āˆ’21474834845ā€‰t6+21474834815ā€‰t5+4294967383ā€‰t4āˆ’8589934763ā€‰t3āˆ’1717986910ā€‰t2+1717986910ā€‰tāˆ’3435973837ā€‰cosā”(t)āˆ’1717986918ā€‰sinā”(t)+3435973841\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{16}{4043484860477916195764296875} \, t^{33} + \frac{2}{24505968851381310277359375} \, t^{32} - \frac{32}{24505968851381310277359375} \, t^{31} + \frac{16}{3952575621190533915703125} \, t^{30} - \frac{16}{263505041412702261046875} \, t^{29} + \frac{8}{534492984609943734375} \, t^{28} - \frac{16}{76356140658563390625} \, t^{27} - \frac{376}{48076088562799171875} \, t^{26} + \frac{376}{3698160658676859375} \, t^{25} + \frac{4}{707781944244375} \, t^{24} - \frac{16}{235927314748125} \, t^{23} - \frac{1304}{428772250281375} \, t^{22} + \frac{1304}{38979295480125} \, t^{21} + \frac{772}{545928508125} \, t^{20} - \frac{1544}{109185701625} \, t^{19} - \frac{52412}{97692469875} \, t^{18} + \frac{52412}{10854718875} \, t^{17} + \frac{104866}{638512875} \, t^{16} - \frac{838928}{638512875} \, t^{15} - \frac{1677688}{42567525} \, t^{14} + \frac{1677688}{6081075} \, t^{13} + \frac{671092}{93555} \, t^{12} - \frac{1342184}{31185} \, t^{11} - \frac{13421756}{14175} \, t^{10} + \frac{13421756}{2835} \, t^{9} + \frac{26843554}{315} \, t^{8} - \frac{107374216}{315} \, t^{7} - \frac{214748348}{45} \, t^{6} + \frac{214748348}{15} \, t^{5} + \frac{429496738}{3} \, t^{4} - \frac{858993476}{3} \, t^{3} - 1717986910 \, t^{2} + 1717986910 \, t - 3435973837 \, \cos\left(t\right) - 1717986918 \, \sin\left(t\right) + 3435973841
1668739242628124575327993046875ā€‰t34āˆ’4808696972095583239152859375ā€‰t33+224505968851381310277359375ā€‰t32āˆ’32122529844256906551386796875ā€‰t31+163952575621190533915703125ā€‰t30āˆ’1615500296553688368296875ā€‰t29+8534492984609943734375ā€‰t28+7521298054391195577640625ā€‰t27āˆ’37648076088562799171875ā€‰t26āˆ’817694548606109375ā€‰t25+4707781944244375ā€‰t24+26089861761756471625ā€‰t23āˆ’1304428772250281375ā€‰t22āˆ’154411464498670625ā€‰t21+772545928508125ā€‰t20+1048241856156927625ā€‰t19āˆ’5241297692469875ā€‰t18āˆ’20973210854718875ā€‰t17+104866638512875ā€‰t16+3355376638512875ā€‰t15āˆ’167768842567525ā€‰t14āˆ’13421841216215ā€‰t13+67109293555ā€‰t12+26843512155925ā€‰t11āˆ’1342175614175ā€‰t10āˆ’536871082835ā€‰t9+26843554315ā€‰t8+429496696315ā€‰t7āˆ’21474834845ā€‰t6āˆ’85899347615ā€‰t5+4294967383ā€‰t4+34359738203ā€‰t3āˆ’1717986910ā€‰t2āˆ’6871947682ā€‰tāˆ’3435973837ā€‰cosā”(t)+6871947674ā€‰sinā”(t)+3435973841\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{68739242628124575327993046875} \, t^{34} - \frac{4}{808696972095583239152859375} \, t^{33} + \frac{2}{24505968851381310277359375} \, t^{32} - \frac{32}{122529844256906551386796875} \, t^{31} + \frac{16}{3952575621190533915703125} \, t^{30} - \frac{16}{15500296553688368296875} \, t^{29} + \frac{8}{534492984609943734375} \, t^{28} + \frac{752}{1298054391195577640625} \, t^{27} - \frac{376}{48076088562799171875} \, t^{26} - \frac{8}{17694548606109375} \, t^{25} + \frac{4}{707781944244375} \, t^{24} + \frac{2608}{9861761756471625} \, t^{23} - \frac{1304}{428772250281375} \, t^{22} - \frac{1544}{11464498670625} \, t^{21} + \frac{772}{545928508125} \, t^{20} + \frac{104824}{1856156927625} \, t^{19} - \frac{52412}{97692469875} \, t^{18} - \frac{209732}{10854718875} \, t^{17} + \frac{104866}{638512875} \, t^{16} + \frac{3355376}{638512875} \, t^{15} - \frac{1677688}{42567525} \, t^{14} - \frac{1342184}{1216215} \, t^{13} + \frac{671092}{93555} \, t^{12} + \frac{26843512}{155925} \, t^{11} - \frac{13421756}{14175} \, t^{10} - \frac{53687108}{2835} \, t^{9} + \frac{26843554}{315} \, t^{8} + \frac{429496696}{315} \, t^{7} - \frac{214748348}{45} \, t^{6} - \frac{858993476}{15} \, t^{5} + \frac{429496738}{3} \, t^{4} + \frac{3435973820}{3} \, t^{3} - 1717986910 \, t^{2} - 6871947682 \, t - 3435973837 \, \cos\left(t\right) + 6871947674 \, \sin\left(t\right) + 3435973841
āˆ’322405873491984360136479756640625ā€‰t35+413747848525624915065598609375ā€‰t34āˆ’4808696972095583239152859375ā€‰t33+2122529844256906551386796875ā€‰t32āˆ’32122529844256906551386796875ā€‰t31+16232504448305325524453125ā€‰t30āˆ’1615500296553688368296875ā€‰t29āˆ’3769086380738369043484375ā€‰t28+7521298054391195577640625ā€‰t27+8230029131879421875ā€‰t26āˆ’817694548606109375ā€‰t25āˆ’65229585285269414875ā€‰t24+26089861761756471625ā€‰t23+1544126109485376875ā€‰t22āˆ’154411464498670625ā€‰t21āˆ’524129280784638125ā€‰t20+1048241856156927625ā€‰t19+20973297692469875ā€‰t18āˆ’20973210854718875ā€‰t17āˆ’419422638512875ā€‰t16+3355376638512875ā€‰t15+13421848513505ā€‰t14āˆ’13421841216215ā€‰t13āˆ’13421756467775ā€‰t12+26843512155925ā€‰t11+5368710814175ā€‰t10āˆ’536871082835ā€‰t9āˆ’107374174315ā€‰t8+429496696315ā€‰t7+85899347645ā€‰t6āˆ’85899347615ā€‰t5āˆ’17179869103ā€‰t4+34359738203ā€‰t3+6871947682ā€‰t2āˆ’6871947682ā€‰t+13743895347ā€‰cosā”(t)+6871947674ā€‰sinā”(t)āˆ’13743895343\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{2405873491984360136479756640625} \, t^{35} + \frac{4}{13747848525624915065598609375} \, t^{34} - \frac{4}{808696972095583239152859375} \, t^{33} + \frac{2}{122529844256906551386796875} \, t^{32} - \frac{32}{122529844256906551386796875} \, t^{31} + \frac{16}{232504448305325524453125} \, t^{30} - \frac{16}{15500296553688368296875} \, t^{29} - \frac{376}{9086380738369043484375} \, t^{28} + \frac{752}{1298054391195577640625} \, t^{27} + \frac{8}{230029131879421875} \, t^{26} - \frac{8}{17694548606109375} \, t^{25} - \frac{652}{29585285269414875} \, t^{24} + \frac{2608}{9861761756471625} \, t^{23} + \frac{1544}{126109485376875} \, t^{22} - \frac{1544}{11464498670625} \, t^{21} - \frac{52412}{9280784638125} \, t^{20} + \frac{104824}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{209732}{97692469875} \, t^{18} - \frac{209732}{10854718875} \, t^{17} - \frac{419422}{638512875} \, t^{16} + \frac{3355376}{638512875} \, t^{15} + \frac{1342184}{8513505} \, t^{14} - \frac{1342184}{1216215} \, t^{13} - \frac{13421756}{467775} \, t^{12} + \frac{26843512}{155925} \, t^{11} + \frac{53687108}{14175} \, t^{10} - \frac{53687108}{2835} \, t^{9} - \frac{107374174}{315} \, t^{8} + \frac{429496696}{315} \, t^{7} + \frac{858993476}{45} \, t^{6} - \frac{858993476}{15} \, t^{5} - \frac{1717986910}{3} \, t^{4} + \frac{3435973820}{3} \, t^{3} + 6871947682 \, t^{2} - 6871947682 \, t + 13743895347 \, \cos\left(t\right) + 6871947674 \, \sin\left(t\right) - 13743895343
1621652861427859241228317809765625ā€‰t36āˆ’8481174698396872027295951328125ā€‰t35+413747848525624915065598609375ā€‰t34āˆ’44043484860477916195764296875ā€‰t33+2122529844256906551386796875ā€‰t32āˆ’327207637897465091258046875ā€‰t31+16232504448305325524453125ā€‰t30+752263505041412702261046875ā€‰t29āˆ’3769086380738369043484375ā€‰t28āˆ’166210786560744390625ā€‰t27+8230029131879421875ā€‰t26+1304739632131735371875ā€‰t25āˆ’65229585285269414875ā€‰t24āˆ’30882900518163668125ā€‰t23+1544126109485376875ā€‰t22+104824194896477400625ā€‰t21āˆ’524129280784638125ā€‰t20āˆ’4194641856156927625ā€‰t19+20973297692469875ā€‰t18+83884410854718875ā€‰t17āˆ’419422638512875ā€‰t16āˆ’2684368127702575ā€‰t15+13421848513505ā€‰t14+268435126081075ā€‰t13āˆ’13421756467775ā€‰t12āˆ’107374216155925ā€‰t11+5368710814175ā€‰t10+2147483482835ā€‰t9āˆ’107374174315ā€‰t8āˆ’1717986952315ā€‰t7+85899347645ā€‰t6+6871947643ā€‰t5āˆ’17179869103ā€‰t4āˆ’137438953643ā€‰t3+6871947682ā€‰t2+27487790686ā€‰t+13743895347ā€‰cosā”(t)āˆ’27487790694ā€‰sinā”(t)āˆ’13743895343\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{21652861427859241228317809765625} \, t^{36} - \frac{8}{481174698396872027295951328125} \, t^{35} + \frac{4}{13747848525624915065598609375} \, t^{34} - \frac{4}{4043484860477916195764296875} \, t^{33} + \frac{2}{122529844256906551386796875} \, t^{32} - \frac{32}{7207637897465091258046875} \, t^{31} + \frac{16}{232504448305325524453125} \, t^{30} + \frac{752}{263505041412702261046875} \, t^{29} - \frac{376}{9086380738369043484375} \, t^{28} - \frac{16}{6210786560744390625} \, t^{27} + \frac{8}{230029131879421875} \, t^{26} + \frac{1304}{739632131735371875} \, t^{25} - \frac{652}{29585285269414875} \, t^{24} - \frac{3088}{2900518163668125} \, t^{23} + \frac{1544}{126109485376875} \, t^{22} + \frac{104824}{194896477400625} \, t^{21} - \frac{52412}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{419464}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{209732}{97692469875} \, t^{18} + \frac{838844}{10854718875} \, t^{17} - \frac{419422}{638512875} \, t^{16} - \frac{2684368}{127702575} \, t^{15} + \frac{1342184}{8513505} \, t^{14} + \frac{26843512}{6081075} \, t^{13} - \frac{13421756}{467775} \, t^{12} - \frac{107374216}{155925} \, t^{11} + \frac{53687108}{14175} \, t^{10} + \frac{214748348}{2835} \, t^{9} - \frac{107374174}{315} \, t^{8} - \frac{1717986952}{315} \, t^{7} + \frac{858993476}{45} \, t^{6} + \frac{687194764}{3} \, t^{5} - \frac{1717986910}{3} \, t^{4} - \frac{13743895364}{3} \, t^{3} + 6871947682 \, t^{2} + 27487790686 \, t + 13743895347 \, \cos\left(t\right) - 27487790694 \, \sin\left(t\right) - 13743895343
āˆ’32801155872830791925447758961328125ā€‰t37+44330572285571848245663561953125ā€‰t36āˆ’8481174698396872027295951328125ā€‰t35+468739242628124575327993046875ā€‰t34āˆ’44043484860477916195764296875ā€‰t33+27207637897465091258046875ā€‰t32āˆ’327207637897465091258046875ā€‰t31āˆ’7523952575621190533915703125ā€‰t30+752263505041412702261046875ā€‰t29+843475505925210734375ā€‰t28āˆ’166210786560744390625ā€‰t27āˆ’13049615217712559834375ā€‰t26+1304739632131735371875ā€‰t25+7728701554491004375ā€‰t24āˆ’30882900518163668125ā€‰t23āˆ’1048242143861251406875ā€‰t22+104824194896477400625ā€‰t21+2097329280784638125ā€‰t20āˆ’4194641856156927625ā€‰t19āˆ’83884497692469875ā€‰t18+83884410854718875ā€‰t17+335546127702575ā€‰t16āˆ’2684368127702575ā€‰t15āˆ’2684351242567525ā€‰t14+268435126081075ā€‰t13+53687108467775ā€‰t12āˆ’107374216155925ā€‰t11āˆ’21474834814175ā€‰t10+2147483482835ā€‰t9+429496738315ā€‰t8āˆ’1717986952315ā€‰t7āˆ’6871947649ā€‰t6+6871947643ā€‰t5+68719476823ā€‰t4āˆ’137438953643ā€‰t3āˆ’27487790686ā€‰t2+27487790686ā€‰tāˆ’54975581389ā€‰cosā”(t)āˆ’27487790694ā€‰sinā”(t)+54975581393\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{32}{801155872830791925447758961328125} \, t^{37} + \frac{4}{4330572285571848245663561953125} \, t^{36} - \frac{8}{481174698396872027295951328125} \, t^{35} + \frac{4}{68739242628124575327993046875} \, t^{34} - \frac{4}{4043484860477916195764296875} \, t^{33} + \frac{2}{7207637897465091258046875} \, t^{32} - \frac{32}{7207637897465091258046875} \, t^{31} - \frac{752}{3952575621190533915703125} \, t^{30} + \frac{752}{263505041412702261046875} \, t^{29} + \frac{8}{43475505925210734375} \, t^{28} - \frac{16}{6210786560744390625} \, t^{27} - \frac{1304}{9615217712559834375} \, t^{26} + \frac{1304}{739632131735371875} \, t^{25} + \frac{772}{8701554491004375} \, t^{24} - \frac{3088}{2900518163668125} \, t^{23} - \frac{104824}{2143861251406875} \, t^{22} + \frac{104824}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{209732}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{419464}{1856156927625} \, t^{19} - \frac{838844}{97692469875} \, t^{18} + \frac{838844}{10854718875} \, t^{17} + \frac{335546}{127702575} \, t^{16} - \frac{2684368}{127702575} \, t^{15} - \frac{26843512}{42567525} \, t^{14} + \frac{26843512}{6081075} \, t^{13} + \frac{53687108}{467775} \, t^{12} - \frac{107374216}{155925} \, t^{11} - \frac{214748348}{14175} \, t^{10} + \frac{214748348}{2835} \, t^{9} + \frac{429496738}{315} \, t^{8} - \frac{1717986952}{315} \, t^{7} - \frac{687194764}{9} \, t^{6} + \frac{687194764}{3} \, t^{5} + \frac{6871947682}{3} \, t^{4} - \frac{13743895364}{3} \, t^{3} - 27487790686 \, t^{2} + 27487790686 \, t - 54975581389 \, \cos\left(t\right) - 27487790694 \, \sin\left(t\right) + 54975581393
3215221961583785046583507420265234375ā€‰t38āˆ’8160231174566158385089551792265625ā€‰t37+44330572285571848245663561953125ā€‰t36āˆ’82405873491984360136479756640625ā€‰t35+468739242628124575327993046875ā€‰t34āˆ’4237852050616348011515546875ā€‰t33+27207637897465091258046875ā€‰t32+1504122529844256906551386796875ā€‰t31āˆ’7523952575621190533915703125ā€‰t30āˆ’161260789671831111296875ā€‰t29+843475505925210734375ā€‰t28+2608259610878239115528125ā€‰t27āˆ’13049615217712559834375ā€‰t26āˆ’1544217538862275109375ā€‰t25+7728701554491004375ā€‰t24+20964849308808782358125ā€‰t23āˆ’1048242143861251406875ā€‰t22āˆ’419464194896477400625ā€‰t21+2097329280784638125ā€‰t20+16776881856156927625ā€‰t19āˆ’83884497692469875ā€‰t18āˆ’39476127702575ā€‰t17+335546127702575ā€‰t16+53687024638512875ā€‰t15āˆ’2684351242567525ā€‰t14āˆ’1073742166081075ā€‰t13+53687108467775ā€‰t12+429496696155925ā€‰t11āˆ’21474834814175ā€‰t10āˆ’8589934762835ā€‰t9+429496738315ā€‰t8+137438952863ā€‰t7āˆ’6871947649ā€‰t6āˆ’1374389536415ā€‰t5+68719476823ā€‰t4+549755813723ā€‰t3āˆ’27487790686ā€‰t2āˆ’109951162786ā€‰tāˆ’54975581389ā€‰cosā”(t)+109951162778ā€‰sinā”(t)+54975581393\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{32}{15221961583785046583507420265234375} \, t^{38} - \frac{8}{160231174566158385089551792265625} \, t^{37} + \frac{4}{4330572285571848245663561953125} \, t^{36} - \frac{8}{2405873491984360136479756640625} \, t^{35} + \frac{4}{68739242628124575327993046875} \, t^{34} - \frac{4}{237852050616348011515546875} \, t^{33} + \frac{2}{7207637897465091258046875} \, t^{32} + \frac{1504}{122529844256906551386796875} \, t^{31} - \frac{752}{3952575621190533915703125} \, t^{30} - \frac{16}{1260789671831111296875} \, t^{29} + \frac{8}{43475505925210734375} \, t^{28} + \frac{2608}{259610878239115528125} \, t^{27} - \frac{1304}{9615217712559834375} \, t^{26} - \frac{1544}{217538862275109375} \, t^{25} + \frac{772}{8701554491004375} \, t^{24} + \frac{209648}{49308808782358125} \, t^{23} - \frac{104824}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{419464}{194896477400625} \, t^{21} + \frac{209732}{9280784638125} \, t^{20} + \frac{1677688}{1856156927625} \, t^{19} - \frac{838844}{97692469875} \, t^{18} - \frac{39476}{127702575} \, t^{17} + \frac{335546}{127702575} \, t^{16} + \frac{53687024}{638512875} \, t^{15} - \frac{26843512}{42567525} \, t^{14} - \frac{107374216}{6081075} \, t^{13} + \frac{53687108}{467775} \, t^{12} + \frac{429496696}{155925} \, t^{11} - \frac{214748348}{14175} \, t^{10} - \frac{858993476}{2835} \, t^{9} + \frac{429496738}{315} \, t^{8} + \frac{1374389528}{63} \, t^{7} - \frac{687194764}{9} \, t^{6} - \frac{13743895364}{15} \, t^{5} + \frac{6871947682}{3} \, t^{4} + \frac{54975581372}{3} \, t^{3} - 27487790686 \, t^{2} - 109951162786 \, t - 54975581389 \, \cos\left(t\right) + 109951162778 \, \sin\left(t\right) + 54975581393
āˆ’64593656501767616816756789390344140625ā€‰t39+83044392316757009316701484053046875ā€‰t38āˆ’8160231174566158385089551792265625ā€‰t37+421652861427859241228317809765625ā€‰t36āˆ’82405873491984360136479756640625ā€‰t35+44043484860477916195764296875ā€‰t34āˆ’4237852050616348011515546875ā€‰t33āˆ’94122529844256906551386796875ā€‰t32+1504122529844256906551386796875ā€‰t31+1618911845077466669453125ā€‰t30āˆ’161260789671831111296875ā€‰t29āˆ’13041817276147673808696875ā€‰t28+2608259610878239115528125ā€‰t27+15442828005209576421875ā€‰t26āˆ’1544217538862275109375ā€‰t25āˆ’52412147926426347074375ā€‰t24+20964849308808782358125ā€‰t23+4194642143861251406875ā€‰t22āˆ’419464194896477400625ā€‰t21āˆ’8388449280784638125ā€‰t20+16776881856156927625ā€‰t19+394761149323175ā€‰t18āˆ’39476127702575ā€‰t17āˆ’6710878638512875ā€‰t16+53687024638512875ā€‰t15+10737421642567525ā€‰t14āˆ’1073742166081075ā€‰t13āˆ’214748348467775ā€‰t12+429496696155925ā€‰t11+85899347614175ā€‰t10āˆ’8589934762835ā€‰t9āˆ’34359738263ā€‰t8+137438952863ā€‰t7+1374389536445ā€‰t6āˆ’1374389536415ā€‰t5āˆ’274877906863ā€‰t4+549755813723ā€‰t3+109951162786ā€‰t2āˆ’109951162786ā€‰t+219902325555ā€‰cosā”(t)+109951162778ā€‰sinā”(t)āˆ’219902325551\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{64}{593656501767616816756789390344140625} \, t^{39} + \frac{8}{3044392316757009316701484053046875} \, t^{38} - \frac{8}{160231174566158385089551792265625} \, t^{37} + \frac{4}{21652861427859241228317809765625} \, t^{36} - \frac{8}{2405873491984360136479756640625} \, t^{35} + \frac{4}{4043484860477916195764296875} \, t^{34} - \frac{4}{237852050616348011515546875} \, t^{33} - \frac{94}{122529844256906551386796875} \, t^{32} + \frac{1504}{122529844256906551386796875} \, t^{31} + \frac{16}{18911845077466669453125} \, t^{30} - \frac{16}{1260789671831111296875} \, t^{29} - \frac{1304}{1817276147673808696875} \, t^{28} + \frac{2608}{259610878239115528125} \, t^{27} + \frac{1544}{2828005209576421875} \, t^{26} - \frac{1544}{217538862275109375} \, t^{25} - \frac{52412}{147926426347074375} \, t^{24} + \frac{209648}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{419464}{2143861251406875} \, t^{22} - \frac{419464}{194896477400625} \, t^{21} - \frac{838844}{9280784638125} \, t^{20} + \frac{1677688}{1856156927625} \, t^{19} + \frac{39476}{1149323175} \, t^{18} - \frac{39476}{127702575} \, t^{17} - \frac{6710878}{638512875} \, t^{16} + \frac{53687024}{638512875} \, t^{15} + \frac{107374216}{42567525} \, t^{14} - \frac{107374216}{6081075} \, t^{13} - \frac{214748348}{467775} \, t^{12} + \frac{429496696}{155925} \, t^{11} + \frac{858993476}{14175} \, t^{10} - \frac{858993476}{2835} \, t^{9} - \frac{343597382}{63} \, t^{8} + \frac{1374389528}{63} \, t^{7} + \frac{13743895364}{45} \, t^{6} - \frac{13743895364}{15} \, t^{5} - \frac{27487790686}{3} \, t^{4} + \frac{54975581372}{3} \, t^{3} + 109951162786 \, t^{2} - 109951162786 \, t + 219902325555 \, \cos\left(t\right) + 109951162778 \, \sin\left(t\right) - 219902325551
162968282508838084083783946951720703125ā€‰t40āˆ’16118731300353523363351357878068828125ā€‰t39+83044392316757009316701484053046875ā€‰t38āˆ’8801155872830791925447758961328125ā€‰t37+421652861427859241228317809765625ā€‰t36āˆ’8141521970116727066851750390625ā€‰t35+44043484860477916195764296875ā€‰t34+1884043484860477916195764296875ā€‰t33āˆ’94122529844256906551386796875ā€‰t32āˆ’32586267197401466753046875ā€‰t31+1618911845077466669453125ā€‰t30+260852701008282540452209375ā€‰t29āˆ’13041817276147673808696875ā€‰t28āˆ’308876356140658563390625ā€‰t27+15442828005209576421875ā€‰t26+1048243698160658676859375ā€‰t25āˆ’52412147926426347074375ā€‰t24āˆ’83892849308808782358125ā€‰t23+4194642143861251406875ā€‰t22+1677688194896477400625ā€‰t21āˆ’8388449280784638125ā€‰t20āˆ’7895221837140325ā€‰t19+394761149323175ā€‰t18+1342175610854718875ā€‰t17āˆ’6710878638512875ā€‰t16āˆ’214748432638512875ā€‰t15+10737421642567525ā€‰t14+4294966966081075ā€‰t13āˆ’214748348467775ā€‰t12āˆ’15618063214175ā€‰t11+85899347614175ā€‰t10+687194764567ā€‰t9āˆ’34359738263ā€‰t8āˆ’27487790728315ā€‰t7+1374389536445ā€‰t6+5497558137215ā€‰t5āˆ’274877906863ā€‰t4āˆ’2199023255723ā€‰t3+109951162786ā€‰t2+439804651102ā€‰t+219902325555ā€‰cosā”(t)āˆ’439804651110ā€‰sinā”(t)āˆ’219902325551\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\frac{16}{2968282508838084083783946951720703125} \, t^{40} - \frac{16}{118731300353523363351357878068828125} \, t^{39} + \frac{8}{3044392316757009316701484053046875} \, t^{38} - \frac{8}{801155872830791925447758961328125} \, t^{37} + \frac{4}{21652861427859241228317809765625} \, t^{36} - \frac{8}{141521970116727066851750390625} \, t^{35} + \frac{4}{4043484860477916195764296875} \, t^{34} + \frac{188}{4043484860477916195764296875} \, t^{33} - \frac{94}{122529844256906551386796875} \, t^{32} - \frac{32}{586267197401466753046875} \, t^{31} + \frac{16}{18911845077466669453125} \, t^{30} + \frac{2608}{52701008282540452209375} \, t^{29} - \frac{1304}{1817276147673808696875} \, t^{28} - \frac{3088}{76356140658563390625} \, t^{27} + \frac{1544}{2828005209576421875} \, t^{26} + \frac{104824}{3698160658676859375} \, t^{25} - \frac{52412}{147926426347074375} \, t^{24} - \frac{838928}{49308808782358125} \, t^{23} + \frac{419464}{2143861251406875} \, t^{22} + \frac{1677688}{194896477400625} \, t^{21} - \frac{838844}{9280784638125} \, t^{20} - \frac{78952}{21837140325} \, t^{19} + \frac{39476}{1149323175} \, t^{18} + \frac{13421756}{10854718875} \, t^{17} - \frac{6710878}{638512875} \, t^{16} - \frac{214748432}{638512875} \, t^{15} + \frac{107374216}{42567525} \, t^{14} + \frac{429496696}{6081075} \, t^{13} - \frac{214748348}{467775} \, t^{12} - \frac{156180632}{14175} \, t^{11} + \frac{858993476}{14175} \, t^{10} + \frac{687194764}{567} \, t^{9} - \frac{343597382}{63} \, t^{8} - \frac{27487790728}{315} \, t^{7} + \frac{13743895364}{45} \, t^{6} + \frac{54975581372}{15} \, t^{5} - \frac{27487790686}{3} \, t^{4} - \frac{219902325572}{3} \, t^{3} + 109951162786 \, t^{2} + 439804651102 \, t + 219902325555 \, \cos\left(t\right) - 439804651110 \, \sin\left(t\right) - 219902325551
Image in a Jupyter notebook
N=50;b=1 from sage.plot.colors import rainbow c=rainbow(N+1) where = [x,0,b] p=plot(x^0,where,color='gray',gridlines=True) for i in range(1,N+1): p+=plot(x^i,where,color=c[i]) show(p)
Image in a Jupyter notebook
x = var('x') y = function('y')(x) show(desolve(diff(y,x) - exp(x+y), y))
āˆ’(e(x+y(x))+1)e(āˆ’y(x))=C\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(e^{\left(x + y\left(x\right)\right)} + 1\right)} e^{\left(-y\left(x\right)\right)} = C
x = var('x') y = function('y')(x) f = desolve(diff(y,x) -exp(x+y), y, ics=[0,1]); show(f)
āˆ’(e(x+y(x))+1)e(āˆ’y(x))=āˆ’(e+1)e(āˆ’1)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-{\left(e^{\left(x + y\left(x\right)\right)} + 1\right)} e^{\left(-y\left(x\right)\right)} = -{\left(e + 1\right)} e^{\left(-1\right)}
t = var('t') x = function('x')(t) f = desolve(diff(x,t) -sin(t) + 2*x, x, ics=[0,4]); f
-1/5*(cos(t)*e^(2*t) - 2*e^(2*t)*sin(t) - 21)*e^(-2*t)
t = var('t') x = function('x')(t) f = desolve(diff(x,t) -sin(t) + 2*x, x, ics=[0,4]); show(f)
āˆ’15ā€‰(cosā”(t)e(2ā€‰t)āˆ’2ā€‰e(2ā€‰t)sinā”(t)āˆ’21)e(āˆ’2ā€‰t)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-\frac{1}{5} \, {\left(\cos\left(t\right) e^{\left(2 \, t\right)} - 2 \, e^{\left(2 \, t\right)} \sin\left(t\right) - 21\right)} e^{\left(-2 \, t\right)}
def picard_iteration(f, a, c, N): ''' Computes the N-th Picard iterate for the IVP x' = f(t,x), x(a) = c. EXAMPLES: sage: var('x t s') (x, t, s) sage: a = 0; c = 2 sage: f = lambda t,x: 1-x sage: picard_iteration(f, a, c, 0) 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 1) 2 - t sage: picard_iteration(f, a, c, 2) t^2/2 - t + 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 3) -t^3/6 + t^2/2 - t + 2 sage: var('x t s') (x, t, s) sage: a = 0; c = 2 sage: f = lambda t,x: (x+t)^2 sage: picard_iteration(f, a, c, 0) 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 1) t^3/3 + 2*t^2 + 4*t + 2 sage: picard_iteration(f, a, c, 2) t^7/63 + 2*t^6/9 + 22*t^5/15 + 16*t^4/3 + 11*t^3 + 10*t^2 + 4*t + 2 ''' if N == 0: return c*t**0 if N == 1: #print integral(f(s,c*s**0), s, a, t) assume(s>0) x0 = lambda t: c + integral(f(s,c*s**0), s, a, t) return expand(x0(t)) for i in range(N): x_old = lambda s: picard_iteration(f, a, c, N-1).subs(t=s) #print x_old(s) x0 = lambda t: c + integral(f(s,x_old(s)), s, a, t) return expand(x0(t)) v=var('x t s') a = 0; c = 1; N=2; b=.5; f = lambda t,x: exp(x+t); assume(t>0) z=[picard_iteration(f, a, c, i) for i in range(N+1)] for i in range(N+1): show(z[i]) from sage.plot.colors import rainbow c=rainbow(N+1) where = [x,-b,b] p=plot(-log(abs(-1-exp(-1)+exp(t))),where,color='gray',gridlines=True) #SoluciĆ³n exacta. #p+=plot(z[0],where,gridlines=True) for i in range(N+1): p+=plot(z[i],where,color=c[i]) show(p)
1\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}1
āˆ’e+e(t+1)+1\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}-e + e^{\left(t + 1\right)} + 1
e(āˆ’e+e(t+1))\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}e^{\left(-e + e^{\left(t + 1\right)}\right)}
Image in a Jupyter notebook