Vecteur gradient, courbes et surfaces de niveau.
Une propriété cruciale du gradient d'une fonction est que si est la courbe de niveau , ou si est la surface de niveau , et est un point sur ou sur , alors est orthogonal à la courbe (ou à la surface pour les fonctions à trois variables, voir dernier exemple). En particulier, ceci permet d'étudier des questions d'anges ou tangence entre courbes / surfaces.
Exemple 1
On considère la fonction . Ci-bas on trace :
quelques courbes de niveau pour quelques valeurs de
le champ de veteurs . En chaque point on dessine un vecteur parallèle à
Il est aussi illustratif de voir la surface d'équation .
Exemple 2:
Montrer (Illustrer) que les courbes et sont orthogonales. Il s'agit de voir que les gradients sont orthogonaux en chaque point d'intersection.
Exemple 3
En 3 variables les choses fonctionnent de la même façon, mais les figures sont un peu plus difficiles à produire et interpréter.
Soit . Les surfaces de niveau de sont des hyperboloïdes à une nappe. Le gradient est . On voir aussi que est orthogonal aux surfaces de niveau.