Vecteur gradient, courbes et surfaces de niveau.

Une propriété cruciale du gradient d'une fonction $\nabla f$ est que si $\mathcal{C}$ est la courbe de niveau $f(x,y)=c$ , ou si $\mathcal{S}$ est la surface de niveau $f(x,y,z)=c$ , et $P_0$ est un point sur $\mathcal{C}$ ou sur $\mathcal{S}$ , alors $\nabla f(P_0)$ est orthogonal à la courbe $\mathcal{C}$ (ou à la surface $\mathcal{S}$ pour les fonctions à trois variables, voir dernier exemple). En particulier, ceci permet d'étudier des questions d'anges ou tangence entre courbes / surfaces.

Exemple 1

On considère la fonction $f(x,y) = x^2 -2y^2 +xy-1$ . Ci-bas on trace :

quelques courbes de niveau $f(x,y) = c$ pour quelques valeurs de $c$
le champ de veteurs $\nabla f$ . En chaque point $(x,y)$ on dessine un vecteur parallèle à $\nabla f(x,y)$

var('x,y')
f(x,y)=x^2-2*y^2+x*y-1
C=contour_plot(f, (x,-1, 1), (y,-1, 1),fill=False, cmap='hot',linestyles='solid',colorbar=True)
Grad=plot_vector_field(f.gradient(),(x,-1,1),(y,-1,1),color='blue')
show(C+Grad, figsize=6)

(x, y)

Il est aussi illustratif de voir la surface d'équation $z = f(x,y)$ .

cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)]
Surff=plot3d(f,(x,-1,1),(y,-1,1),adaptive=True, color=cmsel)
show(Surff)

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## Exemple 2:
Montrer (Illustrer) que les courbes $y=cx^2$ et $y^2+\frac{1}{2}x^2= k$ sont orthogonales.
Il s'agit de voir que les gradients sont orthogonaux en chaque point d'intersection.

Exemple 2:

Montrer (Illustrer) que les courbes $y=cx^2$ et $y^2+\frac{1}{2}x^2= k$ sont orthogonales. Il s'agit de voir que les gradients sont orthogonaux en chaque point d'intersection.

var('x,y')
F1=[implicit_plot(y-c*x^2,(x,-5,5),(y,-5,5),color='blue', aspect_ratio=1) for c in sxrange(-2,2,.2)]
F2=[implicit_plot(y^2+x^2/2-k,(x,-5,5),(y,-5,5),color='red',aspect_ratio=1) for k in sxrange(-10,10,1) ]
show(sum(F1)+sum(F2),figsize=6)

(x, y)

%md
## Exemple 3
En 3 variables les choses fonctionnent de la même façon, mais les figures sont un peu plus difficiles à produire et interpréter.

Soit $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$. Les surfaces de niveau de $F$ sont des hyperboloïdes à une nappe. Le gradient est $\nabla F=(2x,2y,-2z)$. On voir aussi que $\nabla F$ est orthogonal aux surfaces de niveau.

Exemple 3

En 3 variables les choses fonctionnent de la même façon, mais les figures sont un peu plus difficiles à produire et interpréter.

Soit $F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2$ . Les surfaces de niveau de $F$ sont des hyperboloïdes à une nappe. Le gradient est $\nabla F=(2x,2y,-2z)$ . On voir aussi que $\nabla F$ est orthogonal aux surfaces de niveau.

var('x,y,z')
N=4
F(x,y,z)=x^2+y^2-z^2
F1=[implicit_plot3d(F-2*c^2,(x,-6,6),(y,0,6),(z,-2,2), color=((N-2*c)/N,0,2*c/N), opacity=(c+1)/8) for c in range(1,4)]
Champ=plot_vector_field3d(F.gradient(),(x,-6,6),(y,0,6),(z,-2,2))
show(sum(F1)+Champ)

(x, y, z)

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