︠76cbd488-0156-4c9e-932b-d49b07efac29i︠
%html
<p>6. domača naloga (VS)</p>
<p>21.1.2012</p>
<p>Primož Stanič</p>
<p>35090038</p>
<p>dostopno tudi na url naslovu:&nbsp;<a href="../../pub/4111/">http://www.sagenb.org/home/pub/4111/</a></p>

︡92322efd-e9d0-41fa-97aa-4f1ab4e4f8ad︡{"html": "<p>6. doma\u010da naloga (VS)</p>\n<p>21.1.2012</p>\n<p>Primo\u017e Stani\u010d</p>\n<p>35090038</p>\n<p>dostopno tudi na url naslovu:&nbsp;<a href=\"../../pub/4111/\">http://www.sagenb.org/home/pub/4111/</a></p>"}︡
︠f8dfd50f-7a0f-4ebc-bdcc-12c6a81339cf︠
var('x') 
f(x) = x^3 - x^2 - x + 1
show(f)
g(x) = derivative(f, x)
show(g)
h(x) = derivative(g, x)
show(h)
plot(f, (x, -2, 2))
︡e22517ab-2d12-4554-a44d-23727c6220a9︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ x^{3} - x^{2} - x + 1</div>"}︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ 3 \\, x^{2} - 2 \\, x - 1</div>"}︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ 6 \\, x - 2</div>"}︡{"html": "<font color='black'><img src='cell://sage0.png'></font>"}︡
︠9e0ab6cf-ab58-4050-a7be-0f7467968b22i︠
%html
<p>Ker je polinom tretje stopnje ima funkcija tri ničle: enojno pri x=-1 in dvojno pri x=1. Funkcija seka y os, ko je x enak 0: to je pri y=1. Funkcija ima ekstreme tam, kjer je prvi odvod enak 0. Ker je odvod polinom druge stopnje, lahko njegovi ničli izračunamo s pomočjo diskriminante: prvi ekstrem je tako pri x=1, drugi ekstrem pa pri x=-1/3. Da bi ugotovili, ali so ektremi lokalni minimumi ali lokalni maksimumi izračunamo drugi odvod. V kolikor je drugi odvod v točki ekstrema večji od 0, govorimo o lokalnem minimumu (v točki x=1 je rezultat drugega odvoda enak 4). V kolikor je drugi odvod v točki ekstrema manj&scaron;i od 0, govorimo o lokalnem maksimumu (v točki x=-1/3 je rezultat drugega odvoda enak -4). Funkcija je konveksna na tistem intervalu, kjer je njen drugi odvod večji od 0. V na&scaron;em primeru je funkcija konveksna na intervalu [1/3, + neskončno). Funkcija je konkavna na tistem intervalu, kjer je njen odvod manj&scaron;i od 0. V na&scaron;em primeru je funkcija konkavna na intervalu (-neskončno, 1/3]. Funkcija ima prevoj pri x=1/3.</p>

︡3440c554-5b4b-4e2e-b31b-6e0a1596cae6︡{"html": "<p>Ker je polinom tretje stopnje ima funkcija tri ni\u010dle: enojno pri x=-1 in dvojno pri x=1. Funkcija seka y os, ko je x enak 0: to je pri y=1. Funkcija ima ekstreme tam, kjer je prvi odvod enak 0. Ker je odvod polinom druge stopnje, lahko njegovi ni\u010dli izra\u010dunamo s pomo\u010djo diskriminante: prvi ekstrem je tako pri x=1, drugi ekstrem pa pri x=-1/3. Da bi ugotovili, ali so ektremi lokalni minimumi ali lokalni maksimumi izra\u010dunamo drugi odvod. V kolikor je drugi odvod v to\u010dki ekstrema ve\u010dji od 0, govorimo o lokalnem minimumu (v to\u010dki x=1 je rezultat drugega odvoda enak 4). V kolikor je drugi odvod v to\u010dki ekstrema manj&scaron;i od 0, govorimo o lokalnem maksimumu (v to\u010dki x=-1/3 je rezultat drugega odvoda enak -4). Funkcija je konveksna na tistem intervalu, kjer je njen drugi odvod ve\u010dji od 0. V na&scaron;em primeru je funkcija konveksna na intervalu [1/3, + neskon\u010dno). Funkcija je konkavna na tistem intervalu, kjer je njen odvod manj&scaron;i od 0. V na&scaron;em primeru je funkcija konkavna na intervalu (-neskon\u010dno, 1/3]. Funkcija ima prevoj pri x=1/3.</p>"}︡
︠e2e080f6-079f-488a-b587-4f61e15ba686︠
f(x) = log(x+sqrt(x^2 + 7))
show(f)
g(x) = derivative(f, x)
show(g)
h(x) = 1/4*x + 3/4
show(h)
i(x) = -4*x - 12
show(i)
p1 = plot(f, (x, -100, 100), color='blue', axes_labels=['x', 'y'])
p2 = plot(h, (x, -100, 100), color='red')
p3 = plot(i, (x, -20, 20), color='green')
show(p1+p2+p3)
︡f76ed2f8-0b5a-42f6-9715-c85f5a1cdbeb︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ \\log\\left(x + \\sqrt{x^{2} + 7}\\right)</div>"}︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ \\frac{\\frac{x}{\\sqrt{x^{2} + 7}} + 1}{x + \\sqrt{x^{2} + 7}}</div>"}︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ \\frac{1}{4} \\, x + \\frac{3}{4}</div>"}︡{"html": "<div class=\"math\">\\newcommand{\\Bold}[1]{\\mathbf{#1}}x \\ {\\mapsto}\\ -4 \\, x - 12</div>"}︡{"html": "<font color='black'><img src='cell://sage0.png'></font>"}︡
︠d02f3bce-beba-4d88-ab21-33347303b2dfi︠
%html
<p>Enačbo normale izračunamo po formuli y-y1=k(x-x1), pri čemer je k koeficient normale, ki ga izračunamo preko koeficeinta tangente v določeni točki. Koeficient tangente v točki x=-3 (y je takrat 0, kar lahko izračunamo iz podane funkcije), izračunamo tako, da izračunamo odvod funkcije v tej točki. Dobimo rezultat, da je koeficient tangente v točki x=-3 enak 1/4. To pomeni, da bo koeficient normale enak -4 (po enačbi kn=-1/kt). V prvotno enačbo vstavimo y1=0, k=-4 in x1=-3 in izračunamo enačbo normale.</p>

︡1f0eb54a-7163-4754-9869-5c353285ed35︡{"html": "<p>Ena\u010dbo normale izra\u010dunamo po formuli y-y1=k(x-x1), pri \u010demer je k koeficient normale, ki ga izra\u010dunamo preko koeficeinta tangente v dolo\u010deni to\u010dki. Koeficient tangente v to\u010dki x=-3 (y je takrat 0, kar lahko izra\u010dunamo iz podane funkcije), izra\u010dunamo tako, da izra\u010dunamo odvod funkcije v tej to\u010dki. Dobimo rezultat, da je koeficient tangente v to\u010dki x=-3 enak 1/4. To pomeni, da bo koeficient normale enak -4 (po ena\u010dbi kn=-1/kt). V prvotno ena\u010dbo vstavimo y1=0, k=-4 in x1=-3 in izra\u010dunamo ena\u010dbo normale.</p>"}︡