Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partícula material de masa 2 kg son: $$ \left.\begin{array}{r}x=sen(2t)\\y=\cos(2t)\\z=3\end{array}\right\} $$ donde las coordenadas vienen dadas en metros y el tiempo en segundos.

Comprueba que para este movimiento el momento angular de la partícula con respecto al centro de curvatura se mantiene constante.
¿Cuánto vale el momento de la fuerza que produce el movimiento con respecto al centro de curvatura?

var('t')

# -------- DATOS (en unidades del SI) --------

# Ecuaciones paramétricas del movimiento
x(t) = sin(2*t)
y(t) = cos(2*t)
z(t) = 3

# Masa m de la partícula
m = 2

# Instante considerado
t1 = 0

# Centro de curvatura --> punto (x0, y0, z0) respecto al que se calcula el momento
x0 = 0
y0 = 0
z0 = 3

# Intervalo para la representación de la trayectoria
tmin = 0
tmax = pi


# --------- Cálculo de las magnitudes en función del tiempo ----------------

# Posición, velocidad y aceleración
r = vector((x(t), y(t), z(t)))
v = r.derivative(t)
a = r.derivative(t, 2)

# Módulo de la velocidad
modulo_v = v.norm()

# Derivada del módulo de la velocidad
derivada_modulo_v = modulo_v.derivative(t)

# Vector tangente a la trayectoria
ut = v / modulo_v

# Aceleración tangencial
at = derivada_modulo_v*ut

# Aceleración normal
an = a - at

# Módulo de la aceleración normal
modulo_an = an.norm()

# Radio de curvatura
R = modulo_v^2/modulo_an

# Momento lineal
p = m*v

# Fuerza
F = m*a

# Punto O respecto al que se calcula el momento de la fuerza: O(x0, y0, z0) --> centro de curvatura
coordPuntoO = vector((x0, y0, z0))

# Punto P de aplicación de la fuerza --> coincide con el vector de posición de la partícula
# Vector OP = P - O
OP = r - coordPuntoO

# Momento de la fuerza: M = OP x F
M = OP.cross_product(F)

# Momento angular: L = OP x p
L = OP.cross_product(p)

# Derivada del momento angular
derivadaL = L.derivative(t)


# -------- Representación gráfica -----------

# Trayectoria entre los instantes tmin y tmax
trayectoria = parametric_plot((x(t), y(t), z(t)), (t, tmin, tmax), thickness=6, color='purple')

# Origen de coordenadas
origen = point3d((0, 0, 0), size=10, color='black')

# Centro de curvatura
centro = point3d(coordPuntoO, size=10, color='red')

# Punto P que ocupa la partícula en el instante t1
coordPuntoP = r(t=t1)
puntoP = point3d(coordPuntoP, size=20, color='orange')

# Vector OP de origen (x0, y0, z0) y extremo el punto P en el instante t1
vectorOP = arrow3d(coordPuntoO, coordPuntoP)

# Momento angular en el instante t1
L1 = L(t=t1)
vectorL = arrow(coordPuntoO, coordPuntoO + L1)



# -------- SALIDA POR PANTALLA --------

# Posición
show("Posicion en funcion del tiempo (m):")
show(r)

# Velocidad
show("Velocidad en funcion del tiempo (m/s):")
show(v)
show("Modulo de la velocidad en funcion del tiempo (m/s):")
show(modulo_v.simplify_full())

# Aceleración
show("Aceleracion en funcion del tiempo (m/s^2):")
show(a)

# Aceleración tangencial
show("Aceleracion tangencial en funcion del tiempo (m/s^2):")
show(at)

# Aceleración normal
show("Aceleracion normal en funcion del tiempo (m/s^2):")
show(an)
show("Modulo de la aceleracion normal en funcion del tiempo (m/s^2):")
show(modulo_an.simplify_full())

# Fuerza
show("Fuerza en funcion del tiempo (N):")
show(F)

# Momento de la fuerza
show("Momento de la fuerza con respecto al punto (%.2f, %.2f, %.2f) (N m):" % (x0,y0,z0))
show(M)

# Momento angular
show("Momento angular con respecto al punto (%.2f, %.2f, %.2f) (N m):" % (x0, y0, z0))
show(L.simplify_full())

# Representación gráfica
show(trayectoria + origen + centro + puntoP + vectorOP + vectorL)