As Diferentes Abordagens às Equações Diferenciais
Brevemente, veremos como classificar as equações diferenciais. Uma das formas é separá-las em
ordinárias e
parciais. Nas equações diferenciais ordinárias, a função que estamos estudando depende apenas de uma variável, ou seja, é do tipo $f(x)$. Os exemplos mais comuns são os de funções que variam com o tempo. As equações diferenciais parciais envolvem funções de várias variáveis, por exemplo, variáveis espaciais e o tempo: $f(x,y,z,t$.
A maior parte do nosso curso abordará as equações diferenciais ordinárias. Essencialmente, podem ser estudadas de três grandes pontos de vista:
- Analítico: procura obter soluções expressas em fórmulas matemáticas fechadas
- Numérico: procura obter soluções numéricas aproximadas quando não existem soluções analíticas
- Qualitativo: procura descobrir o comportamento das soluções sem resolver a equação diferencial
A ênfase deste curso é a Abordagem Analítica, ou seja, o desenvolvimento de métodos que permitam encontrar as soluções exatas das equações diferenciais ordinárias. Entretanto, trabalharemos muitos problemas também sob a ótica da Abordagem Qualitativa, o que é particularmente interessante para a Engenharia.
Detalhes da Abordagem Numérica serão estudados na disciplina de Cálculo Numérico, futuramente. Os métodos numéricos, porém, aparecerão neste curso como ferramentas do tipo caixa-preta. De vez em quando, para realizarmos uma determinada análise qualitativa, recorreremos aos métodos numéricos mas sem nos preocuparmos como esses métodos funcionam ou porque são válidos.
Na parte final do curso, veremos uma introdução às equações diferenciais parciais do ponto de vista estritamente analítico; veremos, então, que as equações diferenciais
ordinárias constituem um componente essencial para o estudo de certas técnicas de solução de equações diferenciais
parciais. A imensa maioria das equações diferenciais parciais só pode ser resolvida através de métodos numéricos que, por sinal, são muito mais complexos do que os métodos numéricos para equações ordinárias. Todavia, este é um tópico que está fora do escopo deste curso.