![\"\"](\"http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Phase_plane_nodes.svg/624px-Phase_plane_nodes.svg.png\")
Nos modelos que analisamos neste curso, nem sempre lineares mas autônomos e de primeira ordem, desejamos poder determinar a estabilidade local de seus Equilíbrios.
\n", "\n", "Dizer que um equilíbrio $f_e$ é localmente estável significa dizer que para uma qualquer solução f(t) com condições iniciais localizadas até uma distância $\\varepsilon>0$ do equilíbrio em questão, permanece a uma disância $\\|f(t)-f_e\\|\\leq\\varepsilon$ para todo $t\\geq t_0$.
\n", " \n", "Para estudar a estabilidade, podemos lançar mão da análise de estabilidade linear. Mesmo que o sistema em que estamos interessados não seja linear, podemos fazer uma aproximação linear na vizinhança do equilíbrio, e a partir do sistema linear resultante. estudar a estabilidade na vizinhança do(s) equilíbrio(s) do sistema.
\n", "Uma vez obtido um sistema linear, é preciso examinar a sua matriz de coeficientes, ou matriz Jacobiana, $J$. \n", " \n", " \\begin{align}\n", " \n", " \\end{align}\n", "\n", " \n", " \n", " Seja $p = Tr(J) = A+D$ o traço da matriz $J$ e $q=det(J)=AD-BC$, o determinante de $J$. A representação dos equilíbrio plano $(Det J, Tr J)$ nos ajuda a classificar os equilíbrios:
\n", "
A natureza dos autovalores (principalmente o autovalor dominante, $\\lambda_d$) da matriz jacobiana determinam o tipo do equilíbrio do sistema.
\n", "Soluções oscilatórias.
\n", "