Introductie Sage.sagews

%md
## Introductie Sage

Ter ondersteuning van dit college gebruiken we het programma [Sage](http://www.sagemath.com). Je kunt er functies in plotten, differentiëren en integreren is gratis en draait in iedere internetbrowser, ook op je telefoon. Als het goed is heb je al een account waarin je kunt inloggen met je umail-adres. Het wachtwoord heb je via umail ontvangen. Voor vragen over je account en over sage kun je het beste XXXX doen.

Introductie Sage

Ter ondersteuning van dit college gebruiken we het programma Sage. Je kunt er functies in plotten, differentiëren en integreren is gratis en draait in iedere internetbrowser, ook op je telefoon. Als het goed is heb je al een account waarin je kunt inloggen met je umail-adres. Het wachtwoord heb je via umail ontvangen. Voor vragen over je account en over sage kun je het beste XXXX doen.

%md 
### 1. Grafieken tekenen
Om de grafiek van een functie te tekenen gebruik je het commando **`plot`** met ronde haakjes om het functievoorschrift heen. Dus als je een grafiek van de functie $f(x) = e^{x-x^2}$ wil tekenen gaat dat als volgt.
Als je klaar bent met typen druk je op de groene knop Run of de toetsencombinatie **`Shift+Enter`** om de grafiek te zien.

1. Grafieken tekenen

Om de grafiek van een functie te tekenen gebruik je het commando plot met ronde haakjes om het functievoorschrift heen. Dus als je een grafiek van de functie $f(x) = e^{x-x^2}$ wil tekenen gaat dat als volgt. Als je klaar bent met typen druk je op de groene knop Run of de toetsencombinatie Shift+Enter om de grafiek te zien.

plot(e^(x-x^2))

%md 
Probeer het functievoorschrift in het commando hierboven eens te veranderen in $e^{2x-x^2}$. Pas op dat je **`2x`** voor sage schrijft als **`2*x`**.
Schrijf je iets als **`plot(e^(2x-x^2))`** dan krijg je een foutmelding in rood. Trek je er niets van aan en verander je commando snel in het correcte **`plot(e^(2x-x^2))`** en 
run opnieuw (met **`Shift+Enter`**).

Probeer het functievoorschrift in het commando hierboven eens te veranderen in $e^{2x-x^2}$. Pas op dat je 2x voor sage schrijft als 2*x. Schrijf je iets als plot(e^(2x-x^2)) dan krijg je een foutmelding in rood. Trek je er niets van aan en verander je commando snel in het correcte plot(e^(2x-x^2)) en run opnieuw (met Shift+Enter).

%md
Je kunt twee of meer grafieken in hetzelfde figuur tekenen door de plotcommando's achter elkaar te schrijven met een **`+`** er tussen. Pas wel op dat ze op dezelfde regel staan. Dus bijvoorbeeld:

Je kunt twee of meer grafieken in hetzelfde figuur tekenen door de plotcommando's achter elkaar te schrijven met een + er tussen. Pas wel op dat ze op dezelfde regel staan. Dus bijvoorbeeld:

plot(3*x^2-1) + plot(x^3-x)

%md 
De lijnen kun je ook een ander kleurtje geven, bijvoorbeeld door **`,color='red'`** toe te voegen: 

De lijnen kun je ook een ander kleurtje geven, bijvoorbeeld door ,color='red' toe te voegen:

plot(3*x^2-1) + plot(x^3-x, color='red')

%md Het interval waarop de grafiek getekend wordt kan ook aangepast, door direct na het functievoorschrift het begin- en eindpunt aan te geven. Dus als je de sinus wil tekenen van 0 tot $4\pi$, met een groene lijn dan schrijf je: 

Het interval waarop de grafiek getekend wordt kan ook aangepast, door direct na het functievoorschrift het begin- en eindpunt aan te geven. Dus als je de sinus wil tekenen van 0 tot $4\pi$, met een groene lijn dan schrijf je:

plot(sin(x), 0,4*pi, color='green')

%md Soms is het nuttig om niet het gehele bereik maar slechts een deel van de grafiek te tekenen. Hiervoor kunnen we **`ymin`** en **`ymax`** gebruiken:

Soms is het nuttig om niet het gehele bereik maar slechts een deel van de grafiek te tekenen. Hiervoor kunnen we ymin en ymax gebruiken:

plot(1/x, ymin=-4,ymax=10)

%md 
Het is vaak handig en overzichtelijk om je functievoorschrift een naam te geven, bijvoorbeeld $f(x) = 2\sin(15x^2)$. Doe dit op een eigen regel en zet je plotcommando eronder:

Het is vaak handig en overzichtelijk om je functievoorschrift een naam te geven, bijvoorbeeld $f(x) = 2\sin(15x^2)$. Doe dit op een eigen regel en zet je plotcommando eronder:

f(x) = 2*sin(15*x^2) 
plot(f)

Tot slot een voorbeeld van alles wat we tot nu toe geleerd hebben over het tekenen van grafieken. Naast de gewone sagecode komt hier ook tekst voorafgegaan door een **`

g(x) = e^(cos(5*x)+x)                   #hier definieeren we de functie g
h(x) = log( (x+2)/(x+3) ) +10           #dit is de functie h  
                                        #de functie f is nog bekend van het commando hierboven (als dat uitgevoerd is)

plot(f,-2,1,ymin=-1,ymax=14,color='purple') + plot(g,-1.5,1.5,color='blue') + plot(h,color='red')  #plot f,g,h in een figuur.

%md 
## 2. Formules schrijven
Om je huiswerk digitaal te kunnen inleveren is het belangrijk om ook voor mensen leesbaar te kunnen schrijven. Dat doe je door je tekst te beginnen met **`%md`**. Als je dubbelklikt op dit tekstvak zul je zien dat de onderliggende code het ook met **`%md`** begint. Bovendien worden er speciale symbolen gebruikt om de tekst te structureren. Dit heet markdown (md). Je hoeft niet veel van markdown te leren behalve wat nodig is om wiskundige formules leesbaar te kunnen schrijven. Dat doe je ruwweg door je formules tussen dollartekens te plaatsen, dus bijvoorbeeld zo (dubbelklik om de code te zien): Stel $f(x) = sin(2e^x)+x$, dan volgt uit de kettingregel en de somregel dat
de afgeleide gegeven wordt door $f'(x) = 2e^x sin(2e^x)+1$.

Zoals gewoonlijk druk je op Run of **`Shift+Enter`** om de mooie tekst te zien te krijgen. Je code verdwijnt dan en is op ieder moment weer terug te halen door dubbel te klikken op de tekst. Alle tekst uit dit hele document is zo geschreven.

2. Formules schrijven

Om je huiswerk digitaal te kunnen inleveren is het belangrijk om ook voor mensen leesbaar te kunnen schrijven. Dat doe je door je tekst te beginnen met %md. Als je dubbelklikt op dit tekstvak zul je zien dat de onderliggende code het ook met %md begint. Bovendien worden er speciale symbolen gebruikt om de tekst te structureren. Dit heet markdown (md). Je hoeft niet veel van markdown te leren behalve wat nodig is om wiskundige formules leesbaar te kunnen schrijven. Dat doe je ruwweg door je formules tussen dollartekens te plaatsen, dus bijvoorbeeld zo (dubbelklik om de code te zien): Stel $f(x) = sin(2e^x)+x$, dan volgt uit de kettingregel en de somregel dat de afgeleide gegeven wordt door $f'(x) = 2e^x sin(2e^x)+1$.

Zoals gewoonlijk druk je op Run of Shift+Enter om de mooie tekst te zien te krijgen. Je code verdwijnt dan en is op ieder moment weer terug te halen door dubbel te klikken op de tekst. Alle tekst uit dit hele document is zo geschreven.

%md 
Voor formules in de exponent is het belangrijk dat je alles in superscript binnen accolades zet, bijvoorbeeld $e^{2x+3}$ dus niet met ronde haken, dat gaat mis: $e^(2x+3)$.
Subscripts gaan net zo maar dan met een underscore. Bijvoorbeeld $lim_{x \to 0} sin(x)/x = 1$. Het pijltje voor de limiet kregen we door \to te schrijven $\to$.
Mooie breuken kan je schrijven door noemer en teller in accolades te zetten en er \frac voor te schrijven $\frac{ax+b}{cx+d}$. En voor een integraalteken gebruik je \int, bijvoorbeeld $\int^4_3 sin(x)dx$ 

Al deze commando's lijken misschien veel maar meestal kan je ze gewoon overnemen van de opgaven door dubbel te klikken op de tekst en goed te kijken wat er tussen de dollartekens gebeurt.

Voor formules in de exponent is het belangrijk dat je alles in superscript binnen accolades zet, bijvoorbeeld $e^{2x+3}$ dus niet met ronde haken, dat gaat mis: $e^(2x+3)$. Subscripts gaan net zo maar dan met een underscore. Bijvoorbeeld $lim_{x \to 0} sin(x)/x = 1$. Het pijltje voor de limiet kregen we door \to te schrijven $\to$. Mooie breuken kan je schrijven door noemer en teller in accolades te zetten en er \frac voor te schrijven $\frac{ax+b}{cx+d}$. En voor een integraalteken gebruik je \int, bijvoorbeeld $\int^4_3 sin(x)dx$

Al deze commando's lijken misschien veel maar meestal kan je ze gewoon overnemen van de opgaven door dubbel te klikken op de tekst en goed te kijken wat er tussen de dollartekens gebeurt.

%md 
Hier is een typisch voorbeeld van een opgave met uitwerking erbij, geschreven met markdown

**Opgave**: Bepaal de afgeleide van de functie $f(x) = x^{\frac{x+2}{x+1} }$.  
*Uitwerking*:   
Schrijf eerst $f(x) = e^{\ln( \frac{x+2}{x+1} ) } = e^{\ln(x+2) - \ln(x+1)  } = e^{x+2}e^{-(x+1)}$   
Gebruik dan de productregel om te schrijven: $f'(x) = [e^{x+2}e^{-(x+1)}]' = [e^{x+2}]'e^{-(x+1)}+e^{x+2}[e^{-(x+1)}]'$.  
Uit de kettingregel volgt dat $[e^{x+2}]' = e^{x+2}$ en $[e^{-(x+1) }]' = -e^{-(x+1)}$ dus uiteindelijk vinden we  
$f'(x) = [e^{x+2}]'e^{-(x+1)}+e^{x+2}[e^{-(x+1)}]' = e^{x+2}e^{-(x+1)}-e^{x+2}e^{-(x+1)}$.

Hier is een typisch voorbeeld van een opgave met uitwerking erbij, geschreven met markdown

Opgave: Bepaal de afgeleide van de functie $f(x) = x^{\frac{x+2}{x+1} }$. Uitwerking: Schrijf eerst $f(x) = e^{\ln( \frac{x+2}{x+1} ) } = e^{\ln(x+2) - \ln(x+1) } = e^{x+2}e^{-(x+1)}$ Gebruik dan de productregel om te schrijven: $f'(x) = [e^{x+2}e^{-(x+1)}]' = [e^{x+2}]'e^{-(x+1)}+e^{x+2}[e^{-(x+1)}]'$. Uit de kettingregel volgt dat $[e^{x+2}]' = e^{x+2}$ en $[e^{-(x+1) }]' = -e^{-(x+1)}$ dus uiteindelijk vinden we $f'(x) = [e^{x+2}]'e^{-(x+1)}+e^{x+2}[e^{-(x+1)}]' = e^{x+2}e^{-(x+1)}-e^{x+2}e^{-(x+1)}$.

%md 
Handig is nog om te weten dat als je een nieuwe regel wil beginnen je je regel met *twee spaties* en een enter moet afsluiten. Twee enters geeft een nieuwe paragraaf.
Wiskunde op deze manier schrijven op de computer lijkt misschien onhandig maar het scheelt een hoop papier, is gemakkelijk na te kijken, te bewaren, aan te passen en te lezen. Bovendien gaat het 
vrij snel als je met copy en paste stukken eerder getypte formule herhaalt.

Handig is nog om te weten dat als je een nieuwe regel wil beginnen je je regel met twee spaties en een enter moet afsluiten. Twee enters geeft een nieuwe paragraaf. Wiskunde op deze manier schrijven op de computer lijkt misschien onhandig maar het scheelt een hoop papier, is gemakkelijk na te kijken, te bewaren, aan te passen en te lezen. Bovendien gaat het vrij snel als je met copy en paste stukken eerder getypte formule herhaalt.