18.783 Lecture 1.sagews

@interact
def f(header=text_control("Elliptic curves in short Weierstrass form:  y^2 = x^3 + Ax + B"),A=(-4,(-6,-5,..,6)),B=(6,(-6,-5,..,6)),k=selector((RR,QQ,GF(197)),buttons=true)):
    if 4*A^3+27*B^2 != 0:
        E=EllipticCurve([k(A),k(B)])
        print "Elliptic curve y^2=x^3%+dx%+d over"%(A,B), k
        if k == QQ:
            if E.rank() > 0:
                G = E.plot(xmin=-5, xmax=5)
            else:
                G = points([(p[0],p[1]) for p in E.torsion_points() if p[2] != 0], pointsize=20)
            show(G, xmin=-5,xmax=5,ymin=-10,ymax=10,aspect_ratio=0.5,figsize=6)
        elif k == RR:
            G = E.plot(xmin=-5, xmax=5)
            show(G, xmin=-5,xmax=5,ymin=-10,ymax=10,aspect_ratio=0.5,figsize=8)
        else:
            show(E.plot(),figsize=6)
    else:
        R.<x,y>=PolynomialRing(QQ)
        C=Curve(y^2-x^3-A*x-B)
        print "singular curve y^2 = x^3 %+dx %+d"%(A,B)
        show(C.plot())

Interact: please open in CoCalc

@interact
def f(c=(3,(1,..,5)),d=(-1,(-5,-4,..,5))):
    var('x,y')
    show(x^2+y^2==c^2*(1+d*x^2*y^2))
    implicit_plot(x^2+y^2==c^2*(1+d*x^2*y^2), (x,-4,4), (y,-4,4),axes=true,aspect_ratio=1).show(figsize=8)

Interact: please open in CoCalc

@interact
def f(t=(1/4,(-15/8,-14/8,..,15/8))):
    t0 = t
    x,y,t=var('x,y,t')
    show([x==(1-t^2)/(1+t^2), y==2*t/(1+t^2)])
    t = t0
    (x,y) = ((1-t^2)/(1+t^2), 2*t/(1+t^2))
    a = 1/3
    G = circle((0,0), 1, color='blue', thickness=2)
    G += arrow((-1-a,-t*a), (x+1*a,y+1*t*a), head=2, color='red')
    G += point((0,t), pointsize=100, color='black', zorder=100)
    G += point((-1,0), pointsize=100, color='black', zorder=100)
    G += point((x,y), pointsize=100, color='lightgreen', zorder=100)
    G += text("$(0, %s)$"%t, (-.3, t+.2), fontsize=14, color='black', zorder=200)
    G += text(r"$(%s,\,%s)$"%(x,y), (x+.35, y+.25), fontsize=14, color='black', zorder=200)
    G.show(aspect_ratio=1, ymin=-2, ymax=2, xmax=2, xmin=-1.5, fontsize=0, figsize=8)

Interact: please open in CoCalc

R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,2)
@interact
def newton_genus(f=x^2+y^2-1+x^2*y^2):
    C=Curve(f)
    if len(C.irreducible_components()) > 1:
        print "Curve is not irreducible"
        return
    G = sum([point([i,j],pointsize=5,color='black') for i in range(0,7) for j in range(0,5)])
    G += sum([point(v,pointsize=20,color='blue') for v in f.newton_polytope().vertices()])
    G += f.newton_polytope().show(alpha=0.3)
    G.show(aspect_ratio=1, ymin=0, ymax=4, xmin=0, xmax=4, figsize=4)
    print "The curve " + str(f) + " = 0  has genus " + str(abs(Curve(f).genus()))

Interact: please open in CoCalc

@interact
def plot_multiples(A=(-4,(-6,-5,..,6)),B=(4,(-6,-5,..,6)),n=(1,(1,..,100))):
    if 4*A^3+27*B^2 == 0:
        print "singular curve"; return
    E = EllipticCurve([A,B])
    if E.rank() == 0:
        print E,"\nhas rank 0"; return
    P = E.gens()[0]
    print E
    G = E.plot(xmin=-5,xmax=5)
    G += point((P[0],P[1]), color='black', pointsize=20) + text("P",(P[0],P[1]+0.5),color='black')
    Q = P
    for i in range(2,n+1):
        Q = Q+P
        if abs(Q[0]) < 5 and abs(Q[1]) < 10:
            G += point((Q[0],Q[1]), color='black', pointsize=20) + text("%dP"%i,(Q[0],Q[1]+0.5),color='black')
    show(G, gridlines=True, frame=True, xmin=-5,xmax=5,ymin=-10,ymax=10,aspect_ratio=0.5,figsize=6)
    print "%dP = "%n, Q

Interact: please open in CoCalc

E = EllipticCurve([-4,4])
P=E.gens()[0]
for n in range(0,100):
    print n*P

(0 : 1 : 0) (2 : -2 : 1) (0 : -2 : 1) (-2 : 2 : 1) (1 : 1 : 1) (6 : 14 : 1) (8 : -22 : 1) (10/9 : -26/27 : 1) (-7/4 : -19/8 : 1) (-6/25 : 278/125 : 1) (88/49 : 554/343 : 1) (310 : 5458 : 1) (273/121 : -3383/1331 : 1) (206/961 : -52894/29791 : 1) (-3344/1521 : 87326/59319 : 1) (9362/10609 : 1175566/1092727 : 1) (27105/5776 : 4131247/438976 : 1) (256882/22801 : -128313838/3442951 : 1) (589456/483025 : -324783646/335702375 : 1) (-2280402/1555009 : -5023772066/1939096223 : 1) (-1896655/3759721 : 17691806567/7290099019 : 1) (92869078/57017601 : 578576841362/430539905151 : 1) (577248056/7447441 : 13864396131434/20324066489 : 1) (3585622554/1386594169 : -170843334241718/51632607071053 : 1) (2237389753/5539229476 : -645323489165837/412262692980776 : 1) (-131331547670/56371580329 : 10986125818040506/13384135202773483 : 1) (506947340328/672165500449 : 654881490861845206/551079590701615793 : 1) (11803943999846/3109773537025 : 36171335038055042894/5483945692734421375 : 1) (49635494724193/2899721962449 : -347439493543546259441/4937811841810016793 : 1) (823470117008030/617922600086401 : -15635284326351103114178/15360350271155160291649 : 1) (-4277233106588832/3665291263639201 : -590389814613616226511742/221902777166010969582449 : 1) (-43040684062606046/54513859733813089 : 32861865872233575309612002/12728006797327518861729937 : 1) (586509016323934081/394320629809807936 : 286744414433978270106575681/247613459678861700138781184 : 1) (25832508585674687202/749487267627872929 : 131080704976479414136843740194/648853107798547317264688783 : 1) (283487361942056819360/93851429937309963361 : -4012625531294605694197810734722/909204006866847729983941358609 : 1) (1747128840626174763358/3060315776058696084609 : -233511926786205079245867569192894/169297038714563445568750420974273 : 1) (-30344978322226171937119/12737902595222619490225 : 138973450763337310704044941752721/1437629200426069427547813058971625 : 1) (622280516364083676426918/1018182468732522423452929 : 1372110319670751107413276637077721294/1027397305753134280950122012602460033 : 1) (30973404211801533631358440/9811440379666626897688801 : 146853049988006230585801866823345828438/30732589406461131173756694157883291951 : 1) (922886550471115569280084522/31633421955646872121544809 : -27972721295362392257225642920197449929594/177917743397324929938292736410541762123 : 1) (6842296746792370323149869881/4707170986824452430287314276 : -362077523342554990622151678980410735228339/322953474560414360335499847218317184607976 : 1) (-181226218994295581157409868326/209127443065468492080485963449 : -249670492375287945529792531595246833484748682/95634929326401914649422056773813468051478957 : 1) (-5191758432139311846885037505672/4771677038183888252043271697361 : 27703527401258203994124138608364510403133776618/10423331794453242183709970829283813385582972391 : 1) (353818844563843943149783577676950/259558881244474384485358215632641 : 4346528780120110367648430267360924321365780162578/4181709316467852010585014391653101034140547842689 : 1) (6948294997210645726565625299186673/357889532974475202276808860106249 : 576262823498148971319921640703326991723433135260039/6770542918928801721358424899115480947224013539557 : 1) (540010397195140205573809426552361326/149654886194566585068771005775330625 : -350003677368595628875024428499655769109952559575844574/57894372555727593275843009376621118393808106127609375 : 1) (7268865574659688053097277561205947728/10117785210928172098165427753087055889 : -39378059079807686699909830475316251248479910746603202274/32183122875693806571667509890206235155807233897293297287 : 1) (-660435253483753120504728352145432105550/280871942890859037273156136716124793809 : -2995021050811855771727915754261675020999976812939214715346/4707198771005401248742634413131073921247979998123600091623 : 1) (4148464763590445295302580144044184271073/9227080194156067062600938735132226927376 : 1341993748150243482550963709908699635166801356225554744466223/886332027435477048199551900934889471225439246069399553538624 : 1) (1958382893930428445910174795299489743790674/728634285079535759103738919761901614377649 : 2213454638587240076116768743966100931392649250834014648020231118/621962791288608952189396092444781828796927068019747211972876393 : 1) (103148512233261603233983973473786310678970416/1700941415139288454146387903474285880758961 : -1047037002333287242161256385262076197210018159598073763750828061726/2218370255397087822786607968340109688241293159483902355421776791 : 1) (5426948326644205085258505975025349177781537678/3413711885713005303490716870928816040734568641 : -256882839880955892987344131497646181416315178377745160908667653545442/199452872969627456112547979849922133964591364721980029995244046041311 : 1) (-41595236913733535096232573791096645354473365935/72067865403090046383017837600756355310846228441 : -47847641086762150014367698952195034775680174300966021701613960047573993/19346949059100229780431770244287398270987990308753314672573682022535011 : 1) (-14037314538352038666888071601708835681804825305482/10105127065511150729931341516655729633623437628929 : 84232335504740783755563532065162478820089665057691127317384396493179185106/32122746340921949618411469693142374477400847162740452435827763135874006783 : 1) (1270627289792366077087069835422815211078028763067416/1017180085398731654793322925234262086688487416778225 : 31662245133521284865942918820648577194194454376452531727154957205907678220714/32441189759208391275090387907842265572341797270917381996275449938194138391625 : 1) (179815561449855474894755993632404582273731592148163642/14430494286388307240277445201204650906732306421146841 : 75341438417080835975410524620053474237236316149707831910637399942491735481155158/1733491876467271374618116452201505392077083177248953304511089849476183128624611 : 1) (6197859854575520701120251233242288997658452926743012985/1400150487092015496361704009224311008619398248402823876 : -14158359912468778725525336618480391303536011379625883137299284531303194517801001133/1656769434537947869241169769166353467172844955295686848773702597745216617543287624 : 1) (680069755574926819314969200265515616438793374569594233802/799931458800790650433290970691294258457367659862831769929 : -24926334636194970266517415384995920147333938769154546682873864735617233775055161879206/22624509103451204453513141246332243378313198196739941993385743670944985310869412801467 : 1) (-84588330967211237186245120522587132507784137697896915411384/37764666580058856161526730117615485671900151252506724928321 : -9630134962840186481027215556334136997527743905425253708151490914939064124492838085819754/7338857957402902428432593336580846343895779283934391219759095987665847643343101686662881 : 1) (2132877629560458770075991000602887521780574371383526726082246/8012457218530503339648162306038971882654536362683809914626561 : 38981616259373750110344993294049541644106401722625457284640178557130013754058378892847222414/22680289069278653812440235012310136088244235699811301768819762664470108572634620275351080191 : 1) (745518657384980727231940600586280700052642061820935595096638913/319393602767261017584828263127926793194572070705585279054295841 : 15507349462882314759139253010979867020188020705082579792966555398116201697153965131696893098337/5708070388145136191646023041523174630216336045440164749163905388758969777084906131333270450639 : 1) (277088516484555255906852285417093265149766716119138573820134234430/1421736491492433726612518553248886768126718572718224419798572801 : -145849532040696371758355238423626354402848909350836574993504286247474692115658649857565215590933378/53607884076764000507224024349587972894795086988529780110951901302530934672889296776724863299201 : 1) (25743809316016622238649942567345481278755607997528047801267426835648/14717409654096781075884529921647912943758076725459399574330449281089 : -86649757908337609454940870897171052470004688606394616966911132720826624713546735047218386826919390206/56460805239335519017962624306873071887655397833267385132206905731470230733546550306802348954039395937 : 1) (-735017359039245715050703581979082427701457431292088145106381473818046/2395583647861674900579328152745599021751869771063676321380663473580225 : -267332642730289846873807837032463253362111604179301729442464965301479709603441467076695001862270674743358/117251122719184168561134993161480008849765470432220911358689393639555116380442287114311074864427616334625 : 1) (-217674016909905786564333323186713551469667649850414971958908796112265727/129687889871098770030615010649175325740007801848897911691470110434429184 : 114259455059408628375357016270103704310843616340253180653533199594339239759972260569988608739414139867639041/46703468575973097560544539934769634495898229436711034340553505304901628624108380725623378683143586853834752 : 1) (108263116425890048307426037480373413253097891510641952692219295824775521730/94998356116243531545057218683316295630370196509826325809250472824041963329 : 888875775247104211387322601546751770740750902052574173865856438927021257084734213532025593915431943721215856706/925921428965471134802004355373303375103320876024415472128981075990718856506673201122197945551114136562919508767 : 1) (27998114596973863967034293930164079699671230822461837872529174621973491276608/3219450891924080187939115452201841780682698900146997288187688887094859008961 : 4573866625574610978555544339371222161793642338486550984970635637863178581755471836339037955757995128027664445741058/182672304403243984754052710386262277087187730611115622042417270260037786629722126099541956919173310508129601316959 : 1) (6857690682786330620160898691283428662401631777286860082618007233564186670675646/1223178158348596365642157520097858046018720797390169389828278027501242708558081 : -16993595903475925886430649795505413982333279461842581713456661611353397587638151888953470655899463000324108242366690174/1352803057834707561114575427925612477366055003600511493530451152175380495529480991361758968751376857700223832886747521 : 1) (366482376254062979078718952752534221168244670238963230337235932836721701548883521/377779308154957853412213908444112048516143173342427745478351628858078630091782881 : -7461304805262546011821168341528343090924364965933372573613561162258504867652276965790980926097096133592683226733284111199/7342724781703043816870935017910971393743948633716924012621900514624406586435997283211530792236240345318965144042736728529 : 1) (-254639359381518488432504280542307184639543254701490153905562657078482260144101224122/123759829704919658780875948393699397690031054420655136356077012110754818100467904001 : -81681548393505465359372387505283287630945590473459167916694074999464812754362809770727479070799462930784816533294627662171762/43538108231683239328265619768974227356142155528373368088333293347330192350284110022217117532769982216516582921134754157856001 : 1) (2438876862518456494103160585588641064079975371833085972356318074000408540014075173320/41718086907843977088669810945700553864797014537187359905822136021287366258841883455681 : 522934472908272683633711075239608128791134758685914029102802900027963418295672532004164014347421173559996805580725063934512361878/269455204737637914495436283400751839466853265801505644989628221396329874128638176453090021203094217856755341032567325753014010079 : 1) (27315678917608835881365618589929469791934867491922098080383810374679380948884889290800202/13252608155170901047734207160533953169738574383750779940625848863699686274363770405834441 : 3240650149899739858282032572532309596795782649648501311292672382468506716903117537057252411734025316118985839466206436394231926291162/1525639891371038227409163103629979754598889979864024123386932415835125590164957078344739189092414726975526654481385529740348347280261 : 1) (4471302317703691823399095834275584180212378427022288448476310315333463846779699227837420921/984060042154304681858239204690553919134317841540296457574176059485234797862049657816900 : -9454770905190885877475390557157096246973073604580146125806623809337787336102025458383002357350882670799810342722959473979328033945579219/30869699110468014800640687648175949567061163938363468915782913801285922765338012458768353622641657373684199181255101302926383053000 : 1) (2927628575970368023683223172514293265821109961565516141898659251957876299258521097737002468282/1507246568836057610778121370581347243958402407595043842228592600441745738633066434994498106201 : -110387861358593542517907588813737549531712468321252507621328588678643625245422831049655284929667297469022142666789504522264422593695327595562/58516245843357457944473893142470198714451821185810644038411636185242510335626732570611457060609965022266710022224330545802259795144318574301 : 1) (-28859589531125202783833122026673259012301387462900006160743761444427987148461536505435142454120/479229655484114249076539682715973531088411940130274462353618339502789337572094362796800903515761 : -683175839268652228197159522597557210677735789141514380938413052143615302990702776643080572317074230113093620491443151300067818327960475694637398/331753510838458268607274119480370613410456489022604609907726951216959852871324633486476954302851750741927171915844081533019721157945936122560759 : 1) (-313499937255386295551701281852283866337902416594563025343523120188216201654059817353880585086692362/161685325984192206886546907160646299087741464662308827427484918143054400374213537680355651921123841 : 4344879820205663114325118802148749599937758204997722801957897568775292109815055815625347365085997542968849085786310520929433235854579636430765630162/2055918572760187880427232842866751230396320401808831252965010363177432459865575346201110108528961618222430833296582710496696016065712863487394031361 : 1) (54456490870625317240249503910058366790374015307149957256992008802631869044192755554850811648692103121/52897935099677651142495264412919539209084647859896796267445163177465657000875119115083156358466516761 : 12001945058111550413574972088551974286041085323241589964748019601639338944389547980755924647618461838381578770434813584950083771472236298958728387223639/12166287616340704449509655808676129348015772045516680123757553899473873242008004511842278228010286731576338128886783327909804235541871816272684100320509 : 1) (104972993938358217822010487432545526420457207558705447357105370190615917205237900870761982787280267822606/16301614594987551565123458292744881418954533211324256383098340245615498767002474645354187818062832506561 : 1030765220134671704483788163208500482655239762576111660493716028989991170138598372072977004889059598135082503962404036747348699537015050092124664743999236894/65818189527737519355839487932008905797550984450045267753372932338946720784407134012977667640084161287501186520895238958085226583224883625345290727899281441 : 1) (45707861191525848994216903503165539552351967581430910207238671788981892784762888494402512930226742539959728/6188075725294510184453583073120008239095854536576707686450694897485629424244026616432127931106028350924081 : -9457274691125816981545131877095963261746902388847774489942873351361463001509680693295360378770187335257797435938658835528881662934743244634129887932489306346978/486780788084695396096751531138379369467158535192084245033592622548295668007329797416441337230828778688636366579006292599615294557773788686353886482208854443479 : 1) (18443214557762834748689723610897305053158136416218523265937851272215405021324930640423990250229973963856750290/17038233663610169907213774083374427790509499381068503151146197529916807897057945754749109564200985401663385649 : -68132427012450763269066884151401204192012875205818357852117339039853965982258260900963494385076307780958519796611528076277584460896687760095993728481886573288080306/70329390689136294503737240353800676441980899432118146811152779346871334056868258192803526376776865963626719562015527405775073426320891878667786268619245163129739607 : 1) (-4490767238260440266487202581936676717439663607523592379399239217341640671771750845937089023327140878329911470367/2468442968008837740625147353409320536202290505989323141580588312726729692827020825761668840682368121444596384784 : -281159165347214839268084293614011687341554630386617291192647911290924620683394102726513819591153770426487793109896184027065413130881267031202470140442011859085731414481/122640707235500935401292192194994489069987874294480993539603498050979476417916030577532525221918931110258511237393137647600653235509350266488471003974871530461880149952 : 1) (-912173383624289092125784740794683079581970073085614243165990179956584833058928905042822740549420386682567191795406/5216540994170380017136706998148159954723357119972622679979080978952597886515941824851247505731864520467051082387025 : 25813691569253779360931927800474089505963447331585185507179637413971113911919732077096231488755143159552571635636709726695802916459743946748821300826319945706108552862748078/11914448296199305144390157389927311675320089013842040343835852341657841502307508488498298408314760497167245519392167617067490007040301226419521166475175327068110881587953625 : 1) (6013289810111028471970076378773234152058658431059643150836614185402394421057677853850438509187210473979503473791850448/3259008338537016000970635284863816693620061443304485664671219931968892514242250133400322252647620790181650563405345169 : 316897610859774152157276903229744006361354762025207255018697764215083166014956583268017693896819865394419736572078507210846150237686792758686978652463540846856371257809123407646/186049371599344598409200791335006319074101828325054469820698175791093591433845848197512971686092887385285001013691891367101844991190927369600741458946828624898081120898251104697 : 1) (6933864960080008009263244015166772070204691599937234661863287416274895912469669771931180058759266003726613344567588644590/12208722720619770837391104796709462703095089947366852516018575131557394630458087175736815059970901917812546723256645441 : 18258301777794838958224083873011087028063933543022993210907390827440608052560670739868291049613472254924608410156166075867287615609495929499463965748291727622674129281191716994282018/1348979486358895347061716401047593165550014457563107304139246542067372972092954405958234945979976078817947143480540289910513165990470039484387676646679026285558451685921531201761 : 1) (1998817976149388030729103850964611868502187010474796643545734589091848729148550769368406832764879017840519428761043694743153/915548151431294958947691962748859037157234367160188739538434200823565345639608305961895145889301961985628912024805346749641 : -65982678721319593147480776143973396137827515986720124655200574874233191689362321606422682630572271577978658254319984235261687861120481926911393303874699371429223044894422501659580793017/27702679982287414935657509587035155592335927947098064494627837457338408796675979965838804614054964079404647901228434609388475398833707113876625164557681303331566320066733261970856450939 : 1) (370563681363346251557327349103413169632142249432607334162051491153094659781974147371002063477857499182676915114014375742064406/2304136176556183697984284017838699227906224744307802362284376731600757103455138614740040040431233640919836586425133087766291201 : -6411908215337057539582296771969779265258340619598765605843237578243263246042260339646644177010933370326571239376298025878471429875428654928829738832281022909092301583772473566713361820504814/3497536166733382183316445844964532164366825078899995126082339085837147084634426491462872697656411870517386925394770563974328636763930282216763125379413535001038609992231522705328219114695551 : 1) (-2638916711060405963213968090928441812941785912854197363011637128923059105009104439157890606845143755762577641358043850420815385864/1225916870029069119674653117856390827194163491875469268770810708237103472478011567908937215548071655631070681061519806973661146961 : 69687160481433638309736739557719163248967021383462095961191226378994352037767560042036542236777361455674889432900706657704854955774977443289053665985437834302259798717985670217400206088804000234/42923144682374128602185037002325974703461126431772183360713602931587748627090090669452021812229146379191044137738211681015462722227725951479166614875703978609002785800062243111991884565976350041 : 1) (2570118894335327137966332436490783485490093049692936983405542934799322997538555757798500097061435952055748446237183683501112263552602/2811871583290916652459632897691718147016443785790697064226824521208229944740159459902319629366545509803602781761349359800715530862649 : 4962130317543421229170025425085773445502107092110294777843703359161441181601034353758940544259637471095066151301305031537664365781875226131658921999462595554390355851279269002779072984555739626160886/4715125148056252061479760326135272611688533005675424964459662639990379738749740328065541329823815972467720914987435907436185457010141621956833086770319055661756982267190604618145754546475761924281107 : 1) (2370383268235296731659085836067551217750388523828172271114415142522057306385606070623299019548039421503615388880142520411661578348372025/475390166332806564765000275578163376707687955890714356079259704889776685265430260618216907034424729472353833684809309299659965285298916 : 107728688735310257046382350506781782253635588426457782026820643729474609326098898683972958371881155822393813589659070305953693649493764485961497230257666380847822433246042650914936429031988582027699989453/10365142826962478135749951193604827149155152898563445581455323091032368133787024798114067799249452741608965097539350694470900319320390673652438970480731444141339008291438432844081416331640856447773133464 : 1) (7337767303664628986281450524923085285609767559801765963380896347337174662458752784120201888902771404305200477829892475886595361726995788202/716701469104594902237174138185306486974632725311918861408073491100859384218427353566437136416891571480341497604508351304407710327907271401 : -19531569755481603501779211653276096876351343397720707977767500311711252809242450462988109604911385464519165182423130003701674345762836390413126317661624515281341788811738512703645581286025683642157772696084998/606746726669000687419075884149031558396662019454540858959824800238009134081616960780706857773236886017897479498602154806012071163996011777221144195349487522656846230328554353365964850051609343538715657235851 : 1) (5462005418433683969963912548444409360610773729507429206978598089207536563056992847886390302124359978521343035876383917720926100419440831980136/4583277199045816917531903001828959299442407737441827189448215680560882868247160533269643020224964828451938874809604302889204819560032965750625 : -298521331184096830492823348734656407552422781015769925533547982220178772964319757384392295975329151751953204226626333689071590979152245389016116378077196628070453767414441693641327769432269469680543201047273662634/310287433064010376942916297921107241582898808202603873008195086185011930591676385160777686041941724855042478253087262143581754770659165963011333322335877395904071202284228415894153350611108415676288455269653140625 : 1) (-7385382242240015777070697749991834116349092999996139621534967096373167293817551676635363726011064985688700609384492783306780327454398241641123802/4787098859944548576887506968619365521769372465481568273718256670898605628811315700395646679371342746110754515517961828878420395123597722468411649 : -26701429434969320904720106765677334001232154053742475568488663723223145304281384740203107423960653059992599101163705878267363347105390990436156113899072134297767898097815187938162350864942832149738622737423988619342386/10473904132637510198259735514346829583310313387453560430521232183677782492887397528239979716236300635748255382835601470847549323913825371683499408528060438433585978384355756157560507742940643199934672183451777502102143 : 1) (-1699073338075366052456201395465067999958719378142463978126620185718583686863586538218420971530428643996515788340268131323388958645963468182481335775/3922239207893260748480718885428447592438077922445720698970734571748582649945573054302233272983595092507813604136333880239880341916027109640492166641 : 583958241898854876111991377080637401144336285590049339363238011101964403537892491783533385923757848320881277377698670299129442174734554043961212082726328442330418016658729238880994199029160954313239374861630471354380598353/245641146123754894364385240528804480658315208857439800261163145029980925197849414803886558473447564907324704944637401945469734109993262108717795242797623966957099816829178182421124407624419446844690397379928167488829328311 : 1) (31764905042907338959536033354459056488789749333765137559814412160547604479483931070789472592622242985192950886023153201494646686497962082823677946565598/19026007764480412063748313718895520149563495169585139275941994209690491517965877580985925576798031242250336268468756383353536106561168132077877274102401 : 116643559146745881943156879349461674051283520450544024852760555340130612388007675481969298466392893977848561982278781260778775452541694327579276955044411784145175342098498097017300256653164277869204079530264208089866561726728002/82989185931309108386216871876423500956844128279946515076351136913051109521665068819005282211916013131589562619421815537128263411722744993562813936761059260939324168808236789551896161565455395615624587050741777508655886603532351 : 1) (64586189953485867388349981795237649386429067404499700865262779431731347347863023397838334047146361919258407520730778702093785878395928390663822641500591136/629865941505692601409867658206636352785076460510113543049172150167064973083508268366686345420408740346568754709918364060591008432147947152684085462414561 : 16410721632672391186811532514477061652094527501673702196590113453852651689445828641645978708052122354869367441054715843821509664889470686643345239367204756504218791421261363972294883787268945619920898202091520548356771351079279939966/15807827507753680177395413049157663206241002607847895633025610389709482254179215430561551839986648933280962228242341538093745726616792796726218183125012750549656874602941903515937712637059183451738936057266731637114521864798822191 : 1) (131270312398485800268570838285574464598536279507349846635579130191237675009351398046810391139203689928955187794018083615940847272820284635938085432740274583394/52694190255170955718658397988163331325010311084328155009979406341323111988370105433882507463518768129307561966645572527570505776939185907278675698728624956449 : -1178691634297739810952309194691322225262691874712622505242539436811189535628613931233915574099226343791439777260513825557388599806497864471913332809361633841379855465799560522785955365624793278922655968336239672136850640198668575166127198/382511153167493632286177957898041646713977731881589034574694801505501161950165727481232413414307008250119666805603393246101005163519533213770335404287383008149393854074705098975913207055681479712002834652687169932345357642638114196303793 : 1) (23709341637177846437504160607345403481086519238619931107498378047907570334430932947798016219743088014175145077791571711814454819076292108661318976104331377607553/66469937700273449440320362263790066186828916697180254394669501075478038833615550891798822296559451347787553519159040367420078921433953520493801310680237879268416 : -27731503069780108859318789015777910907701212683320799387954978160664126060972311173238519966881386616253330086055672277476964202961835309812471670542734307626935867024166979357925140211694010944036090402977049180301858985135680387200289096383/17137122753088870370733556693317580866293965000355448597508187040143692147325838566938468636140366131274367801231564222800609027089453946884903435148436411950984199427624176040812507658660516721477109776819860214965112995550487954026036350464 : 1) (-521393673192534977296714450966294958022325800887962914780952460232442008878322440965866774600382356368298652243588031036055033681868793162532383559651708215810455390/226425521456033194965863313985013258048814706810434264482057970259595108120620877698852071781823434409057275833608987784349113516859540425999959049707279286286538209 : 3408334380501857276890336460295735655475063762254824516939392079094560883624071995092354650859301519621164838431556074319198419200493114352801177274832563085997100504717127081736593474905847389201331904892914437573338995825470629733475453316093026/3407124982028552099527724565675488198763514708083474472612779785284079393679686212011909479887708764849230782263957908705891545818313229627434666857799860566728452386388106284531961875741852692048440567203967732669250871546265564182030746088891823 : 1) (704124311005186981396788979489210630682652924100352621094782509191759602319234550550827518244508781769329642148013127818960876407785930616725236843642918103780147847648/892464322685297376090743505857342605846356083922928024516940724115282267020690379054088510220979903253821613718751875626378330614543478854985529372688774824688519067169 : 974240322454715577841214172258567357206197410034350642991401961941897993900052811012816927072418195745409600909209574074787789227335405313421373510015029325604906327531520960811125490574859383303646479040779410873409680131313895080730822898776083047554/843113989665120748726841279511925555010510521448562071589000384042965298741899026143827695066240546093503153172327579275790322678948062014675966986427094454426637543567553292816131916703001160202944346062446883410522760080930482123390704532260253402447 : 1) (5159593148194138084210946775400753061666100015508758801048630342422005011704733536758393049508549708918730036201055389982835750770605163660438048489485665226341725167640606/1289759654379197936258508424674043071042575666202641158531001502471163845202113544656122552891637868037699295338786334590465715143478934531607784066330602072655539402788225 : 334074899664913277037370568644933663845061848609699657709934997118536583221769563169686347122924715894886674168403776965449054862011808981975504571853495189988272772873044207248463815362888499036119785491072792972054237897906899273290235095296879541889256254/46319427307533429128633259563582714913209813181487447175013211078989855284030692618644065402195717753795707623240843312358291787148605247957706931073636766555868334625906058869981654527518032929907403841917161124040473242796071516142050984811284588765885375 : 1)