SharedIntegrales de ligne.sagewsOpen in CoCalc
(uu, vv)
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Exemple : On considère la fonction f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y. En bleu on trouve la surface z=f(x,y)z=f(x,y). La courbe verte, C\mathcal{C}, est la courbe d'équation y=x2y=x^2 dans le plan OxyOxy (entre x=0x=0 et x=2x=2).  On cherche à calculer l'aire de la surface verte :  elle se trouve sur la courbe en question, mais sous la surface z=f(x,y)z=f(x,y).


Pouir faire le calcul on divise la courbe verte (dont r(t)=(x(t),y(t))\vec{r(t)}=(x(t),y(t)), avec atba\leq t\leq b est une paramétrisation), en plusieurs morceaux de droite, de longueur Δs\Delta s, sur lesquels on bâtit des rectangles vers le haut, jusqu'à la surface bleue, puis on additionne. Chaque rectagle a une aire égale à f(x,y)Δsf(x,y)\Delta s. La somme vaut donc f(x,y)Δs\displaystyle \sum f(x,y) \Delta s. Lors du passage à la limite (on prend de plus en plus de rectangles), on obtient une intégrale, l'intégrale de ligne Cfds=abfr(t)r(t)dt \int_\mathcal{C} f\, ds = \int_{a}^{b} f\circ \vec{r}(t) |\vec{r}'(t)|dt


Dans l'exemple précis ci haut : x(t)=t,y(t)=t2x(t)=t, y(t)= t^2, de sorte que r(t)=(1,2t)\vec{r}'(t)=(1,2t), dont la norme est 1+4t2\sqrt{1+4t^2}, puis f(x,y)=x+yf(x,y)=x+y. Ainsi, l'aire cherchée vaut : 02(t+t2)1+4t2dt \displaystyle \int_0^2 (t+t^2) \sqrt{1+4t^2} dt

var('t')
integrate((t+t^2)*sqrt(1+4*t^2),t,0,2)
tt
1674817164arsinh(4)112\frac{167}{48} \, \sqrt{17} - \frac{1}{64} \, \operatorname{arsinh}\left(4\right) - \frac{1}{12}

Une notion intimement reliée à celle de l'intégrale de ligne d'une fonction ff sur une courbe C\mathcal{C}, c'est à dire Cfds\displaystyle \int_\mathcal{C} f ds  est celle d'intégrale d'un champ de vecteurs sur une courbe C\mathcal{C}.

L'interprétation physique est relativement simple : on a une trajectoire C\mathcal{C}, à l'intérieur d'une région dans laquelle agit un champ de forces F\vec{F}. La question est alors : quel est le trafail effectué par la force F\vec{F} lors du parcours de C\mathcal{C}.

Pour faire ce calcul, on procède comme d'habitude : on découpe la trajectoire en morceaux de droite, assez petits pour supposer que le long de ces morceaux le champ F\vec{F} est constant. À chque morceau on a donc un déplacement Δr\Delta \vec{r} qui est un segment de droite. Le travail correspondant à ce petit déplacement est le produit scalaire FΔr\vec{F} \cdot \Delta \vec{r}. Puis, comme d'habitude, on additionne tous ces petits travauxpuis on passe à la limite (en choisissant les intervalles de plus en plus petits). Ce qu'on obtient est l'intégrale du champ F\vec{F}  le long de C\mathcal{C}.

Afin de calculer pour vrai, supposons que le tout se passe dans R2\mathbb{R}^2, c'est à dire que C\mathcal{C} es paramétrisée par r(t)=(x(t),y(t))\vec{r}(t)=(x(t),y(t)) pour t[a,b]t\in[a,b] et F(x,y)=P(x,y)ι+Q(x,y)ȷ\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{\iota} + Q(x,y)\vec{\jmath}. Ainsi  et le produit scalaire devient et on écrit souvent Pdx+QdtPdx + Qdt, de sorte que l'intégrale devient: CFdr=CPdx+Qdy\int_\mathcal{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_\mathcal{C} Pdx + Qdy

Pour effectuer le calcul, on procède comme suit : CFdr=CPdx+Qdy=abP(x(t),y(t))x(t)+Q(x(t),y(t))y(t)dt\int_\mathcal{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_\mathcal{C} Pdx + Qdy = \int_a^b P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t) dt

La chose se fait en R3\mathbb{R}^3 en changeant ce qu'il faut changer : en gros, ajouter des z(t)z(t) là où il le faut, puis le terme RdzR dz si la troisième coposante du champ est R(x,y,z)R(x,y,z).


Exemple : Soit F(x,y)=xsinyı+yȷ\vec{F}(x,y) = x\sin{y}\vec{\imath} + y \vec{\jmath}, et C\mathcal{C} la courbe de (1,1)(-1,1) à (2,4)(2,4) le long de la parabole y=x2y=x^2. Calculer le travail de F\vec{F} le long de C\mathcal{C}.

Solution : Une paramétrisation de la courbe est r(t)=(t,t2)\vec{r}(t)=(t,t^2), avec t[1,2]t\in[-1,2]. Ainsi r(t)=(x(t),y(t))=(1,2t)\vec{r}'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,2t). Le travail est donc donné par

x,y,t = var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( (x*sin(y), y), (x, -2, 3), (y, -1, 5), color="blue",aspect_ratio=1)
Courbe=parametric_plot([t,t^2],(t,-1,2),color='red',thickness=3)
show(Courbe+Champ)
integrate(t*sin(t^2)+2*t^3,t,-1,2)
12cos(1)12cos(4)+152\frac{1}{2} \, \cos\left(1\right) - \frac{1}{2} \, \cos\left(4\right) + \frac{15}{2}

Exercice: Calcul du travail effectué par le champ de force F(x,y)=x2ιxyȷ\vec{F}(x,y)=x^2\vec{\iota} -xy\vec{\jmath} pour déplacer une particule du point (1,0)(1,0) au point (0,1)(0,1) le long du cercle x2+y2=1x^2+y^2=1.


On voit, d'après la figure que le travail devrait être négatif : la force s'oppose au mouvement.

var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field((x^2,-x*y),(x,-0.2,1.2),(y,-0.2,1.2), color = 'blue')
Courbe=parametric_plot([cos(t),sin(t)],(t,0,pi/2),color='red',thickness=3)
show(Champ+Courbe)
(xx, yy, tt)
def x(t) :
	return cos(t)

def y(t) :
	return sin(t)

integrate(x(t)^2 *-y(t) -x(t)*y(t)*x(t), t,0,pi/2)
23-\frac{2}{3}

Exemple

Calcul du travail de F=xe1+ye2+ze3\mathbf{F} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3 sur la courbe donnée par r(t)=(sint,cost,t)\mathbf{r}(t) = (\sin t, \cos t, t) pour t[0,2π]t\in [0, 2\pi]

(xx, yy, zz)
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var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( (-y/sqrt(x^2+y^2), x/sqrt(x^2+y^2)), (x, -1.2, 1.2), (y, -1.2, 1.2),color="blue",aspect_ratio=1)
C1=parametric_plot([cos(t),sin(t)],(t,0,pi), color="green", thickness=3)
C2=parametric_plot([cos(t),-sin(t)],(t,0,pi), color="red", thickness=3)
show(Champ + C1 + C2)
(xx, yy, tt)
var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( [2*(x-y),2*(y-x)], (x, -3, 3), (y, -3, 3),color="blue",aspect_ratio=1)
C1=parametric_plot([2*cos(t),2*sin(t)],(t,0,2*pi), color="green", thickness=3)
show(Champ + C1)
(xx, yy, tt)

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