Integrales de ligne.sagews

($u$, $v$)

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Exemple : On considère la fonction $f(x,y)=x+y$. En bleu on trouve la surface $z=f(x,y)$. La courbe verte, $\mathcal{C}$, est la courbe d'équation $y=x^2$ dans le plan $Oxy$ (entre $x=0$ et $x=2$).  On cherche à calculer l'aire de la surface verte :  elle se trouve sur la courbe en question, mais sous la surface $z=f(x,y)$.

Pouir faire le calcul on divise la courbe verte (dont $\vec{r(t)}=(x(t),y(t))$, avec $a\leq t\leq b$ est une paramétrisation), en plusieurs morceaux de droite, de longueur $\Delta s$, sur lesquels on bâtit des rectangles vers le haut, jusqu'à la surface bleue, puis on additionne. Chaque rectagle a une aire égale à $f(x,y)\Delta s$. La somme vaut donc $\displaystyle \sum f(x,y) \Delta s$. Lors du passage à la limite (on prend de plus en plus de rectangles), on obtient une intégrale, l'intégrale de ligne $$\int_\mathcal{C} f\, ds = \int_{a}^{b} f\circ \vec{r}(t) |\vec{r}'(t)|dt$$

Dans l'exemple précis ci haut : $x(t)=t, y(t)= t^2$, de sorte que $\vec{r}'(t)=(1,2t)$, dont la norme est $\sqrt{1+4t^2}$, puis $f(x,y)=x+y$. Ainsi, l'aire cherchée vaut : $\displaystyle \int_0^2 (t+t^2) \sqrt{1+4t^2} dt$

var('t')
integrate((t+t^2)*sqrt(1+4*t^2),t,0,2)

$t$

$\frac{167}{48} \, \sqrt{17} - \frac{1}{64} \, \operatorname{arsinh}\left(4\right) - \frac{1}{12}$

Une notion intimement reliée à celle de l'intégrale de ligne d'une fonction $f$ sur une courbe $\mathcal{C}$, c'est à dire $\displaystyle \int_\mathcal{C} f ds$  est celle d'intégrale d'un champ de vecteurs sur une courbe $\mathcal{C}$.

L'interprétation physique est relativement simple : on a une trajectoire $\mathcal{C}$, à l'intérieur d'une région dans laquelle agit un champ de forces $\vec{F}$. La question est alors : quel est le trafail effectué par la force $\vec{F}$ lors du parcours de $\mathcal{C}$.

Pour faire ce calcul, on procède comme d'habitude : on découpe la trajectoire en morceaux de droite, assez petits pour supposer que le long de ces morceaux le champ $\vec{F}$ est constant. À chque morceau on a donc un déplacement $\Delta \vec{r}$ qui est un segment de droite. Le travail correspondant à ce petit déplacement est le produit scalaire $\vec{F} \cdot \Delta \vec{r}$. Puis, comme d'habitude, on additionne tous ces petits travaux,  puis on passe à la limite (en choisissant les intervalles de plus en plus petits). Ce qu'on obtient est l'intégrale du champ $\vec{F}$  le long de $\mathcal{C}$.

Afin de calculer pour vrai, supposons que le tout se passe dans $\mathbb{R}^2$, c'est à dire que $\mathcal{C}$ es paramétrisée par $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$ pour $t\in[a,b]$ et $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{\iota} + Q(x,y)\vec{\jmath}$. Ainsi  $\displaystyle  d\vec{r} = (x'(t),y'(t))dt = \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) dt$ et le produit scalaire devient $$\vec{F}\cdot  d\vec{r} = (P,Q)\cdot \left(\frac{dx}{dy},\frac{dy}{dt}\right)dt = \left(P\frac{dx}{dt} + Q\frac{dy}{dt}\right)dt = \left(Px'(t) + Qy'(t)\right) dt$$ et on écrit souvent $Pdx + Qdy$, de sorte que l'intégrale devient: $$\int_\mathcal{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_\mathcal{C} Pdx + Qdy$$

Pour effectuer le calcul, on procède comme suit : $$\int_\mathcal{C} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_\mathcal{C} Pdx + Qdy = \int_a^b P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t) dt$$

La chose se fait en $\mathbb{R}^3$ en changeant ce qu'il faut changer : en gros, ajouter des $z(t)$ là où il le faut, puis le terme $R dz$ si la troisième coposante du champ est $R(x,y,z)$.

Exemple : Soit $\vec{F}(x,y) = x\sin{y}\vec{\imath} + y \vec{\jmath}$, et $\mathcal{C}$ la courbe de $(-1,1)$ à $(2,4)$ le long de la parabole $y=x^2$. Calculer le travail de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$.

Solution : Une paramétrisation de la courbe est $\vec{r}(t)=(t,t^2)$, avec $t\in[-1,2]$. Ainsi $\vec{r}'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,2t)$. Le travail est donc donné par $$\int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{-1}^2 x \sin{y}  1 + y 2t dt = \int_{-1}^2 t\sin{t^2} + 2t^3 dt$$

x,y,t = var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( (x*sin(y), y), (x, -2, 3), (y, -1, 5), color="blue",aspect_ratio=1)
Courbe=parametric_plot([t,t^2],(t,-1,2),color='red',thickness=3)
show(Courbe+Champ)

integrate(t*sin(t^2)+2*t^3,t,-1,2)

$-\frac{1}{2} \, \cos\left(4\right) + \frac{1}{2} \, \cos\left(1\right) + \frac{15}{2}$

Exercice: Calcul du travail effectué par le champ de force $\vec{F}(x,y)=x^2\vec{\iota} -xy\vec{\jmath}$ pour déplacer une particule du point $(1,0)$ au point $(0,1)$ le long du cercle $x^2+y^2=1$.

On voit, d'après la figure que le travail devrait être négatif : la force s'oppose au mouvement.

var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field((x^2,-x*y),(x,-0.2,1.2),(y,-0.2,1.2), color = 'blue')
Courbe=parametric_plot([cos(t),sin(t)],(t,0,pi/2),color='red',thickness=3)
show(Champ+Courbe)

($x$, $y$, $t$)

def x(t) :
	return cos(t)

def y(t) :
	return sin(t)

integrate(x(t)^2 *-y(t) -x(t)*y(t)*x(t), t,0,pi/2)

$-\frac{2}{3}$

Exemple

Calcul du travail de $\mathbf{F} = x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2+z\mathbf{e}_3$ sur la courbe donnée par $\mathbf{r}(t) = (\sin t, \cos t, t)$ pour $t\in [0, 2\pi]$

($x$, $y$, $z$)

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var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( (-y/sqrt(x^2+y^2), x/sqrt(x^2+y^2)), (x, -1.2, 1.2), (y, -1.2, 1.2),color="blue",aspect_ratio=1)
C1=parametric_plot([cos(t),sin(t)],(t,0,pi), color="green", thickness=3)
C2=parametric_plot([cos(t),-sin(t)],(t,0,pi), color="red", thickness=3)
show(Champ + C1 + C2)

($x$, $y$, $t$)

var('x,y,t')
Champ=plot_vector_field( [2*(x-y),2*(y-x)], (x, -3, 3), (y, -3, 3),color="blue",aspect_ratio=1)
C1=parametric_plot([2*cos(t),2*sin(t)],(t,0,2*pi), color="green", thickness=3)
show(Champ)

($x$, $y$, $t$)

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