EquatDiffDim2.ipynb

Kernel: SageMath (system-wide)

Etude des équations différentielle linéaire en dimension 2

** On se propose dans ce travail d'étudier le comportement des équations différentielles linéaire .**

Dans cette partie vous aller apprendre à utiliser les fonctions:

• plot: qui permet de dessiner une fonction

• desolve_system_rk4 qui permet de resoudre les systèmes d'équations différentielles en utilisant la mêthode de RK(4).

• list_plot: qui permet de dssiner des listes de points.

Modèle densité dépendant et principe d'exclusion compétitive

On souhaite représenter graphiquement l'évolution des solution des équations différentielles suivantes :

$$\left\{\begin{array}{ll} \frac{dx}{dt} &= a_{11} x - a_{12} y,\\ \frac{dy}{dt} &= a_{21}x - a_{22} y. \end{array}\right.$$

où 

$$a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\in \mathbb{R}$$

Exemple:

• Puit: $$\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)$$

• Source: $$\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right)$$

• point selle: $$\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{array}\right)$$

• racine double attractant: $$\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

• racine double repulsif: $$\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$

• racine double neutre: $$\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$$

• cycle limite:

$$\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$$

x,y,t=var('x y t')

X=vector([x,y]);X

(x, y)

A= matrix([[1,1],[0,1]]);A

[1 1]
[0 1]

A*X

(x + y, y)

A.det()

1

A.trace()

2

A.eigenvalues()

[1, 1]

Pour integrer l'équation différentielle, on va utiliser l'integrateur desolve_odeint de la sous-bibliotheque desolvers de la bibliothèse Calculus de Sage.

Attention: les noeuds de temps dois être précisé. Vous utiliserai: srange(t_int,t_final,dt).

from sage.calculus.desolvers import desolve_odeint

t_interval=srange(0,2,0.1)

etatInit=[-.1,.05]

sol=desolve_odeint(A*X,etatInit,t_interval,[x,y])
        #Notice the initial conditions (t, x, y), the independent variable, and the ending t value

sol

array([[  1.00000000e+00,   5.00000000e+00],
       [  1.50197622e+00,   5.14572755e+00],
       [  2.04096250e+00,   5.25270832e+00],
       [  2.61518734e+00,   5.31574315e+00],
       [  3.22232268e+00,   5.32954781e+00],
       [  3.85944977e+00,   5.28879967e+00],
       [  4.52302775e+00,   5.18818959e+00],
       [  5.20886531e+00,   5.02247895e+00],
       [  5.91209656e+00,   4.78656251e+00],
       [  6.62716103e+00,   4.47553575e+00],
       [  7.34778907e+00,   4.08476760e+00],
       [  8.06699322e+00,   3.60997791e+00],
       [  8.77706609e+00,   3.04731931e+00],
       [  9.46958566e+00,   2.39346312e+00],
       [  1.01354286e+01,   1.64568898e+00],
       [  1.07647924e+01,   8.01977298e-01],
       [  1.13472269e+01,  -1.38895757e-01],
       [  1.18716762e+01,  -1.17726173e+00],
       [  1.23265308e+01,  -2.31246254e+00],
       [  1.26996915e+01,  -3.54275335e+00],
       [  1.29786454e+01,  -4.86520654e+00],
       [  1.31505532e+01,  -6.27561815e+00],
       [  1.32023503e+01,  -7.76841776e+00],
       [  1.31208602e+01,  -9.33658344e+00],
       [  1.28929214e+01,  -1.09715625e+01],
       [  1.25055270e+01,  -1.26632010e+01],
       [  1.19459777e+01,  -1.43996816e+01],
       [  1.12020478e+01,  -1.61674728e+01],
       [  1.02621632e+01,  -1.79512910e+01],
       [  9.11559198e+00,  -1.97340769e+01],
       [  7.75264509e+00,  -2.14969879e+01],
       [  6.16488846e+00,  -2.32194083e+01],
       [  4.34536331e+00,  -2.48789799e+01],
       [  2.28881451e+00,  -2.64516537e+01],
       [ -8.07503718e-03,  -2.79117643e+01],
       [ -2.54644568e+00,  -2.92321299e+01],
       [ -5.32502021e+00,  -3.03841787e+01],
       [ -8.33986289e+00,  -3.13381025e+01],
       [ -1.15841413e+01,  -3.20630401e+01],
       [ -1.50478934e+01,  -3.25272910e+01]])

Solution (t,x)

txpoints=[]
for i in [0 .. len(sol)-1] :
    txpoints.append([t_interval[i],sol[i][0]])# txpoints

Solution (t,y)

typoints=[]
for i in [0 .. len(sol)-1] :
    typoints.append([t_interval[i],sol[i][1]])# txpoints

#To plot we need to choose which pairs we are interested in
tx=list_plot(txpoints, plotjoined=true, color='red')
ty=list_plot(typoints, plotjoined=true, color='blue')

Figure des solutions dans l'axe $x,y$

ptInit=point(etatInit,color='blue',size=75)# Etat initiale est en bleu

# La courbe de la solution est en rouge 
plotSol=list_plot(sol, plotjoined=true, color='red',thickness= 3) 

show(plotSol + ptInit)

Figure du champs de vecteurs

champVecteurs=plot_vector_field(A*X, (x, -.6, .6), (y, -.6, .6))

show(champVecteurs+ptInit+plotSol)

Effet d'un changement de variable

P=matrix([[2,-1],[1,1]]);P

[ 2 -1]
[ 1  1]

B=P*A*P^-1;B

[-2/3  4/3]
[-1/3  2/3]

sol=desolve_odeint(B*X,etatInit,t_interval,[x,y])

ptInit=point(etatInit,color='blue',size=75)# Etat initiale est en bleu
plotSol=list_plot(sol, plotjoined=true, color='red',thickness= 3) 

champVecteurs=plot_vector_field(B*X, (x, -0.5, 1), (y, -0.5, 1))

show(champVecteurs+ptInit+plotSol)