Постановка задачи
Дан прямой однородный стержень. Для него заданы граничные условия:
Найти собственные значения и собственные формы деформации для поперечных колебаний прямого однородного стержня при отсутствии сжимающей нагрузки и трения в системе при заданных краевых условиях. Найти первые три нормированные собственные формы и построить их графики.
Поиск нормализованных собственных форм
Уравнение, описывающее изгибные колебания стержня, выглядит слеудющим образом:
В силу отсутствия сжимающей нагрузки и вязкого трения уравнение изгибных колебаний принимает следующий вид:
Применим метод разделения переменных и найдём решения уравнения в виде :
Сделаем замену параметра:.
Решаем характеристическое уравнение:
Общее решение этого линейного однородного уравнения имеет вид:
Вычислим некоторые производные общего решения в концах отрезка:
С учётом граничных условий получается следующая система уравнений:
Из этой системы уравнений сразу получается, что , и в общем-то мы имеем дело с системой
Если мы ищем нетривиальные решения, то её определитель должен равняться нулю:
Изобразим график :
Так как по логике вещей и , то нас интересуют только положительные корни уравнения. Приближённо найдём его корни и после этого уточним численно:
Выразим теперь нетривиальное решение этой системы уравнений через :
Таким образом, собственные функции задаются формулой:
Для простоты теперь будем считать, что стержень имеет единичную длину, то есть . Найдём аналитическую формулу для квадрата -нормы собственной функции этой задачи:
Значит, квадрат -нормы этой функции равен
Построим нормированные собственные функции:
Формы деформации в полиномиальном виде
Аппроксимируем первую, вторую и третью собственные формы с помощью следующих полиномов:
Тогда получится система уравнений (напомним, что мы уже приняли ):
(условия ортонормированности) (граничные условия для каждого из полиномов)
Получается 26 уравнений и 26 неизвестных. Следующий код задаёт систему этих уравнений для последующей обработки в системе компьютерной алгебры.
Так выглядит система уравнений для решения этой задачи в виде :
Решим аналитически с использованием системы компьютерной алгебры:
Таким образом, есть
решений и они выглядят следующим образом:
Количество решений (16 штук) может быть объяснено тем, что если — четвёрка решений, удовлетворяющая этой системе уравнений, то — тоже решение по очевидным соображениям. Поэтому можно взять любое из решений этой системы и получить любое другое, скорректировав знак.
Тогда получаем следующие аппроксимации собственных форм в полиномиальном виде:
первая
вторая
третья
Теперь сравним, как выглядят численная аппроксимация и аналитически вычисленные собственные функции. Для первой собственной формы:
Вторая собственная форма:
Третья собственная форма:
Вычислим среднеквадратичное отклонение, взяв в качестве узловых точек равномерную сетку на отрезке с шагом :
для первой собственной формы он равен
для второй собственной формы он равен
для третьей собственной формы он равен
Данный метод является достаточно точным и подходит для быстрой аппроксимации собственных форм. Наибольшая ошибка квадрата среднеквадратичного отклонения достигается на третьей собственной форме и равна .
Устойчивость первых двух собственных форм
Рассмотрим следующее уравнение: вместе с граничными условиями
Заменой , мы переходим к безразмерной форме уравнения: где и граничные условия принимают вид:
Теперь в качестве решения подставим , где функции , , и связаны с первыми двумя собственными формами данного уравнения:
Умножим скалярно это соотношение на и :
Примем . Тогда систему можно записать в виде: где , а . Вопросы асимптотического поведения (а, следовательно, и устойчивости) определяются решениями следующего характеристического уравнения:
Теперь уточним, чему же именно равны коэффициенты матрицы . Напомним, какому соотношению удовлетворяет собственная форма . В методе разделения переменных мы подставляем функцию вида в исходное уравнение и получаем
откуда . Но тогда это означает, что , где — дельта Кронекера, и на самом деле
Система уравнений распадается на два независимых уравнения и . Вопрос асимптотики решений для них очевиден: если , то в решении получаются гармонические функции, которые ограничены при всех ; если же , то решение есть суперпозиция и , которая ограничена только в случае тривиального решения.
Всё, к чему теперь сводится задача — определить знак собственных чисел и . Проанализируем какими могут быть корни характеристического уравнения в зависимости от : Из физических соображений , поэтому можно выделить следующие случаи:
если , то корни имеют вид , ,
если , то корни имеют вид и , ,
если , то корни имеют вид и , ,
Для устойчивости достаточно выяснить, возможно ли разрешить задачу на собственные числа при . Если определитель системы для решения граничных условий всегда будет отличен от нуля, то это точно свидетельствует о том, что все собственные числа отрицательны, а значит система неустойчива.