CoCalc Shared Filesstationary / E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua.htmlOpen in CoCalc with one click!
Author: Pedro Cruz
Exercise E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua Exercício aleatório com chave ekey=0

Problema

Em relação à função ff definida em R\mathbb{R} por f(x)=2xe(4x)f(x)=-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)}, podemos afirmar que:

f(x)f(x) tem a concavidade voltada para cima no intervalo ],12]{\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}, e a concavidade voltada para baixo no intervalo [12,+[{\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[} e tem um ponto de inflexão para x=12x=\frac{1}{2}.

f(x)f(x) tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ],12]{\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}, e a concaviade voltada para cima no intervalo [12,+[{\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[} e tem um ponto de inflexão para x=12x=\frac{1}{2}.

f(x)f(x) tem a concavidade voltada para cima em R\mathbb{R}

f(x)f(x) tem a concavidade voltada para baixo em R\mathbb{R}



Resolução

Para estudar a concavidade e obter os pontos de inflexão de uma função ff:

(1)(1) Calcular a segunda derivada de ff;

(2)(2) Calcular os zeros da segunda derivada obtida no passo anterior;

(3)(3) Construir um quadro de sinais da segunda derivada.

Se a derivada f"f" for positiva num determinado intervalo então ff tem a concavidade voltada para cima. Se f"f" for negativa então ff tem a concavidade para baixo e se f"f" for nula então ff não tem concavidade (é uma linha horizontal).

Os pontos onde exista mudança de concavidade são chamados pontos críticos.

Assim:Para xRx\in \mathbb{R}, tem-se:

O gráfico de f(x)f''(x) ajuda a completar facilmente o quadro de sinais.
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig1-0.svg graphic
Quadro de sinais da segunda derivada:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-0-00.png graphic
Conclusão:

\bullet f(x)f(x) tem a concavidade voltada para cima no intervalo ],12]{\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}

\bullet f(x)f(x) tem a concaviade voltada para baixo no intervalo [12,+[{\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}

\bullet f(x)f(x) tem um ponto de inflexão para x=12x=\frac{1}{2}, sendo esse ponto f(12)=e(2)f{\left(\frac{1}{2}\right)}=-e^{\left(-2\right)}

O esboço do gráfico da função da função f(x)f(x) é:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig2-0.svg graphic

Para copiar e colar:


Palavras chave: funções, segunda derivada, concavidade, pontos de inflexão

Maria Laurinda Carreira Barros
Mestrado em Matemática para professores
Tema: Recursos digitais de apoio ao ensino das derivadas
Abril 2014

SIACUAstart
level=5;  slip= 0.2; guess=0.25; discr = 0.3
concepts = [(4452, 0.3),(4454, 0.7)]
SIACUAend

Em relação à função $f$ definida em $\mathbb{R}$ por $f(x)=-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)}$, podemos afirmar que:
$f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$. $f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concaviade voltada para cima no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$. $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima em $\mathbb{R}$$f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo em $\mathbb{R}$

Para estudar a concavidade e obter os pontos de inflexão de uma função $f$:

$(1)$ Calcular a segunda derivada de $f$;

$(2)$ Calcular os zeros da segunda derivada obtida no passo anterior;

$(3)$ Construir um quadro de sinais da segunda derivada.

Se a derivada $f"$ for positiva num determinado intervalo então $f$ tem a concavidade voltada para cima. Se $f"$ for negativa então $f$ tem a concavidade para baixo e se $f"$ for nula então $f$ não tem concavidade (é uma linha horizontal).

Os pontos onde exista mudança de concavidade são chamados pontos críticos.

Assim:\begin{eqnarray*} f'(x)&=& {\left[-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)} \right]}'\\ &=& (-2 \, x)' \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)}) + (-2 \, x) \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)})'\\ &=& -2 e^{-4 x} + 8 x e^{-4x}\\\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} f''(x)&=& {\left[-2 e^{-4 x} + 8 x e^{-4x}\right]}'\\ &=& {\left[-2 e^{-4 x} \right]}' + {\left[8 x e^{-4x}\right]}' \\ &=& 8 e^{-4 x} + 8 e^{-4 x} - 32 x e^{-4 x}\\ &=& e^{-4 x}(16 - 32 x)\end{eqnarray*}Para $x\in \mathbb{R}$, tem-se:\begin{eqnarray*} f''(x)=0&\Leftrightarrow& e^{-4 x}(16 - 32 x) = 0\\ &\Leftrightarrow& 16 - 32 x = 0\\ &\Leftrightarrow& x = \frac{1}{2}\\\end{eqnarray*}

O gráfico de $f''(x)$ ajuda a completar facilmente o quadro de sinais.
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig1-0.svg graphic
Quadro de sinais da segunda derivada:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-0-00.png graphic
Conclusão:

$\bullet$ $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$

$\bullet$ $f(x)$ tem a concaviade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$

$\bullet$ $f(x)$ tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$, sendo esse ponto $f{\left(\frac{1}{2}\right)}=-e^{\left(-2\right)}$

O esboço do gráfico da função da função $f(x)$ é:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig2-0.svg graphic