Exercício aleatório com chave ekey=0

Problema

Em relação à função $f$ definida em $\mathbb{R}$ por $f(x)=-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)}$, podemos afirmar que:

$f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$.
$f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concaviade voltada para cima no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$.
$f(x)$ tem a concavidade voltada para cima em $\mathbb{R}$
$f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo em $\mathbb{R}$


Resolução

Para estudar a concavidade e obter os pontos de inflexão de uma função $f$:

$(1)$ Calcular a segunda derivada de $f$;

$(2)$ Calcular os zeros da segunda derivada obtida no passo anterior;

$(3)$ Construir um quadro de sinais da segunda derivada.

Se a derivada $f"$ for positiva num determinado intervalo então $f$ tem a concavidade voltada para cima. Se $f"$ for negativa então $f$ tem a concavidade para baixo e se $f"$ for nula então $f$ não tem concavidade (é uma linha horizontal).

Os pontos onde exista mudança de concavidade são chamados pontos críticos.

Assim:\begin{eqnarray*} f'(x)&=& {\left[-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)} \right]}'\\ &=& (-2 \, x)' \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)}) + (-2 \, x) \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)})'\\ &=& -2 e^{-4 x} + 8 x e^{-4x}\\\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*} f''(x)&=& {\left[-2 e^{-4 x} + 8 x e^{-4x}\right]}'\\ &=& {\left[-2 e^{-4 x} \right]}' + {\left[8 x e^{-4x}\right]}' \\ &=& 8 e^{-4 x} + 8 e^{-4 x} - 32 x e^{-4 x}\\ &=& e^{-4 x}(16 - 32 x)\end{eqnarray*}Para $x\in \mathbb{R}$, tem-se:\begin{eqnarray*} f''(x)=0&\Leftrightarrow& e^{-4 x}(16 - 32 x) = 0\\ &\Leftrightarrow& 16 - 32 x = 0\\ &\Leftrightarrow& x = \frac{1}{2}\\\end{eqnarray*}

O gráfico de $f''(x)$ ajuda a completar facilmente o quadro de sinais.
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig1-0.svg graphic
Quadro de sinais da segunda derivada:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-0-00.png graphic
Conclusão:

$\bullet$ $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$

$\bullet$ $f(x)$ tem a concaviade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$

$\bullet$ $f(x)$ tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$, sendo esse ponto $f{\left(\frac{1}{2}\right)}=-e^{\left(-2\right)}$

O esboço do gráfico da função da função $f(x)$ é:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig2-0.svg graphic

Para copiar e colar:

Palavras chave: funções, segunda derivada, concavidade, pontos de inflexão

Maria Laurinda Carreira Barros
Mestrado em Matemática para professores
Tema: Recursos digitais de apoio ao ensino das derivadas
Abril 2014

SIACUAstart
level=5;  slip= 0.2; guess=0.25; discr = 0.3
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Em relação à função $f$ definida em $\mathbb{R}$ por $f(x)=-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)}$, podemos afirmar que:
 $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$.  $f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$, e a concaviade voltada para cima no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$ e tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$. $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima em $\mathbb{R}$$f(x)$ tem a concavidade voltada para baixo em $\mathbb{R}$
Para estudar a concavidade e obter os pontos de inflexão de uma função $f$:
$(1)$ Calcular a segunda derivada de $f$; 
$(2)$ Calcular os zeros da segunda derivada obtida no passo anterior;
$(3)$ Construir um quadro de sinais da segunda derivada.
  Se a derivada $f"$ for positiva num determinado intervalo então $f$ tem a concavidade voltada para cima. Se $f"$ for negativa então $f$ tem a concavidade para baixo e se $f"$ for nula então $f$ não tem concavidade (é uma linha horizontal).
Os pontos onde exista mudança de concavidade são chamados pontos críticos.
Assim:\begin{eqnarray*}     f'(x)&=& {\left[-2 \, x e^{\left(-4 \, x\right)} \right]}'\\          &=& (-2 \, x)' \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)}) + (-2 \, x) \cdot (e^{\left(-4 \, x\right)})'\\          &=& -2 e^{-4 x} +  8 x e^{-4x}\\\end{eqnarray*}\begin{eqnarray*}     f''(x)&=& {\left[-2 e^{-4 x} +  8 x e^{-4x}\right]}'\\          &=& {\left[-2 e^{-4 x} \right]}' + {\left[8 x e^{-4x}\right]}' \\          &=& 8 e^{-4 x} + 8 e^{-4 x} - 32 x e^{-4 x}\\          &=& e^{-4 x}(16 - 32 x)\end{eqnarray*}Para $x\in \mathbb{R}$, tem-se:\begin{eqnarray*}     f''(x)=0&\Leftrightarrow& e^{-4 x}(16 - 32 x) = 0\\            &\Leftrightarrow& 16 - 32 x = 0\\            &\Leftrightarrow& x = \frac{1}{2}\\\end{eqnarray*}
 
 O gráfico de $f''(x)$ ajuda a completar facilmente o quadro de sinais. 
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-fig1-0.svg graphic
Quadro de sinais da segunda derivada:
E26A03_Derivadas_Mat1TSP_028_siacua-0-00.png graphic
Conclusão:    
$\bullet$ $f(x)$ tem a concavidade voltada para cima no intervalo ${\left]-\infty,\frac{1}{2}\right]}$
$\bullet$ $f(x)$ tem a concaviade voltada para baixo no intervalo ${\left[\frac{1}{2}, +\infty\right[}$
$\bullet$ $f(x)$ tem um ponto de inflexão para $x=\frac{1}{2}$, sendo esse ponto $f{\left(\frac{1}{2}\right)}=-e^{\left(-2\right)}$ 
 
 O esboço do gráfico da  função da função $f(x)$ é: 
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