M103 TD19 2020-04-06

• Auteur: Samuel Lelièvre

• Licence: CC BY 4.0

• Date: 2020-04-06

S'il y a des questions sur la fin de l'exo 4.5, posez-les sinon on passe au 4.6.

Des corrigés sont en ligne

• sur la page du cours sur eCampus: https://ecampus.paris-saclay.fr/course/view.php?id=17002#section-5

• sur les pages de certains enseignants:

  • Valentin Hernandez http://valentinhernandez.perso.math.cnrs.fr/

  • Joël Cohen https://joelcohen.github.io

Exercice 4.6

Passer de $S(a, b)$ à $S(a, -b)$ revient, du côté nombres complexes, à passer de $a + i b$ à $a - i*b$.

C'est la conjugaison complexe.

Exo 4.6, question 3.a

L'application $\sigma$ envoie le point de coordonnées $(x, y)$ sur le point de coordonnées $(x, -y)$.

C'est donc une réflexion selon l'axe des abscisses.

Exo 4.6, question 3.b

La transformation $\sigma'$ échange les coordonnées $x$ et $y$.

Les points situés sur la droite d'équation $x = y$ donc ils sont fixés.

La transformation $\sigma'$ est une réflexion orthogonale selon l'axe d'équation $y = x$.

Exo 4.6, question 3.c

La transformation $r$ est une rotation de centre l'origine et d'angle un quart de tour.

On aimerait montrer que $r = \sigma' \circ \sigma$.

C'est-à-dire que pour tout $M$, on a $r(M) = (\sigma' \circ \sigma)(M) = \sigma'(\sigma(M))$.

Cela revient à montrer que pour tout vecteur $X$ de $\mathbb{R}^2$, on a $R \cdot X = \Sigma' \cdot \Sigma \cdot X$.

Cela revient à montrer que le produit de matrices $\Sigma' \cdot \Sigma$ vaut $R$.

Exercice 4.7

On veut montrer que l'ensemble $E$ des matrices magiques est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

Si $A$ est magique de somme $a$, et si $B$ est magique de somme $b$, alors

• chaque ligne de $A + B$ est somme d'une ligne de $A$ et d'une ligne de $B$,

  • donc la somme de cette ligne est $a + b$

• chaque colonne de $A + B$ est somme d'une colonne de $A$ et d'une colonne de $B$,

  • donc la somme de cette colonne est $a + b$ Ainsi, $A + B$ est magique, de somme $a + b$.

Si $A$ est magique de somme $a$, et si $\lambda$ est un réel, alors

• chaque ligne ou colonne de $\lambda \cdot A$ est $\lambda$ fois la ligne ou colonne correspondante de $A$, et a donc pour somme $\lambda \cdot a$.

Ainsi, $\lambda \cdot A$ est magique de somme $\lambda \cdot a$.

Bilan: l'ensemble $E$

• contient la matrice nulle

• est stable par somme

• est stable par mise à l'échelle

C'est donc un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

Supposons que $A$ est magique de somme $a$, et $B$ magique de somme $b$.

Prenons par exemple la somme de la première ligne de $A\cdot B$, c'est:

a1*d1 + a1*d2 + a1*d3 + a2*e1 + a2*e2 + a2*e3 + a3*f1 + a3*f2 + a3*f3

Cela se réécrit:

a1*(d1 + d2 + d3) + a2*(e1 + e2 + e3) + a3*(f1 + f2 + f3)

c'est-à-dire a1*b + a2*b + a3*b

c'est-à-dire (a1 + a2 + a3)*b

c'est-à-dire a * b.

Pour toutes les lignes et colonnes de $A \cdot B$, la somme des éléments se calcule de la même façon et vaut $a \cdot b$.

Donc la matrice produit $A \cdot B$ est magique, de somme $a \cdot b$.

Exo 4.7, question 3.a

Pour montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on montre que

• $F$ contient la matrice nulle

• $F$ est stables par somme et mise à l'échelle

  • ou si on préfère, par combinaisons linéaires

  • ou si on préfère, par combinaisons linéaires réduites $A + \lambda \cdot B$

La matrice nulle est dans $F$ puisque toutes ses lignes et toutes ses colonnes ont pour somme $0$.

D'après les calucls de la question 1, si $A$ et $B$ sont dans $F$, alors en particulier elles sont dans $E$ avec $a = 0$ et $b = 0$.

Alors $A + \lambda \cdot B$ est encore dans $E$, avec pour somme par ligne ou par colonne $a + \lambda \cdot b$, c'est-à-dire $0 + \lambda \cdot 0$, qui vaut $0$.

On conclut que $A + \lambda \cdot B$ est en fait dans $F$.

On a bien montré que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

On veut montrer que $D \oplus F = E$, c'est-à-dire montrer que tout élément de $E$ est somme, d'une façon unique, d'un élément de $F$ et d'un élément de $D$.

Soit $A$ une matrice de $E$, de somme $a$.

On aimerait trouver une matrice $S = \lambda \cdot I_3 \in D$ et une matrice $N \in F$, telles que $S + N = A$.

D'après ce qu'on a vu précédemment,

• la somme (par ligne ou par colonne) de $S$ vaut: $\lambda$

• la somme (par ligne ou par colonne) de $N$ vaut: $0$

• la somme (par ligne ou par colonne) de $S + N$ vaut: $\lambda + 0$

Pour avoir $S + N = A$ on doit donc avoir: $\lambda = a$.

On écrit donc $A = a \cdot I_3 + (A - a\cdot I_3)$

et on remarque que $S = a \cdot I_3$ et $N = A - a\cdot I_3$ sont comme on veut, et que c'est la seule solution possible.

On a montré que toute matrice $A \in E$ est somme, de façon unique, d'un multiple de la matrice identité et d'une matrice de somme nulle.

On a donc montré que $D \oplus F = E$.

Exo 4.7, question 3.b

Système d'équations cartésiennes pour $F$.

Ici les coordonnées s'appellent $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$, $c_1$, $c_2$, $c_3$.

La définition de $F$ est que la somme par ligne et la somme par colonne vaut $0$.

Cela se traduit par le système d'équations cartésiennes suivant:

• $a_1 + b_1 + c_1 = 0$

• $a_2 + b_2 + c_2 = 0$

• $a_3 + b_3 + c_3 = 0$

• $a_1 + a_2 + a_3 = 0$

• $b_1 + b_2 + b_3 = 0$

• $c_1 + c_2 + c_3 = 0$

Pour trouver une base de $F$ on échelonne ce système de 6 équations à 9 inconnues.

On voit qu'il y a

• 5 pivots, donc 5 inconnues principales: $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $c_1$

• 4 inconnues secondaires: $b_2$, $b_3$, $c_2$, $c_3$

La dimension de $F$ est $4$.

La forme échelonnée réduite est

Une base de $F$ est obtenue en fixant tour à tour chaque inconnue secondaire à $1$ et les autres à $0$.

Si on fixe $b_2 = 1$ et les autres à $0$, on obtient:

Pour obtenir une base de $E$, on utilise que $D \oplus F = E