Une droite entre deux points public.ipynb

Kernel: SageMath 8.0

%display latex
axes = plot(vector([1,0,0]),color='black',thickness="2")+plot(vector([0,1,0]),color='black',thickness="2")+plot(vector([0,0,1]),color='black',thickness="2")
latex.matrix_delimiters('[',']')

EXEMPLE 1

Commencons avec deux points $P = (2,3,0)$ et $Q = (1,-2,1)$

OP = vector([2,3,0])
OQ = vector([1,-2,1])
X = plot(OP,thickness="5") + plot(OQ,thickness="5") + axes
X

MIME type unknown not supported

On a vu que le vecteur direction $\overrightarrow{D} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}$ de $\Delta_{PQ}$ est donné par $$[\overrightarrow{D}]_B = \begin{bmatrix}1-2\\-2-3\\1-0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\-5\\1\end{bmatrix}$$

Et que le ligne est crée comme:

$$x = 2 - t, \qquad y=3-5t, \qquad z = t$$

Donc, on aura

droite = [OP[0] + (OQ[0]-OP[0])*x,OP[1] + (OQ[1]-OP[1])*x,OP[2] + (OQ[2]-OP[2])*x]
X + parametric_plot3d(droite, (-2,1),thickness="5",color="red")

MIME type unknown not supported

En utilisant ça, on peut voir si une pointe est sur la ligne ou pas. Prennons $R = (7,28,-5)$.

Avec la première équation, on voit que $t = -5$. Si on substitut $t = -5$ partout, on voit que ça marche! Donc il faudra que $R$ est sur la droite.

plot(point3d((7,28,-5),size=20,color="red")) + X + parametric_plot3d(droite, (-5,1),thickness="5",color="purple")

MIME type unknown not supported

Essayons avec $S = (3,0,4)$. On peut voir que pour la première équation on aurais $t = -1$ mais pour la troisième, $t = 4$. Donc $S$ n'est pas sur notre droite!

plot(point3d((3,0,4),size=20,color="red")) + X + parametric_plot3d(droite, (-2,1),thickness="5",color="purple")

MIME type unknown not supported

On peut décrire ces équations sans le $t$

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y-y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$

Ça se donne une droite comme l'intersection de deux plans. Par exemple, si on prend celui d'avant, on aura

$$\frac{x - 2}{-1} = \frac{y-3}{-5} = \frac{z}{1}$$

ou encore

$$x-2 = -z \qquad \text{et} \qquad \frac{y-3}{5} = -z$$

t = var('t')
parametric_plot3d([2-t,-5*t+3,t],(t,-2,1),color="blue", thickness="11")+ parametric_plot3d(droite, (-2,1),color="red", thickness="10")

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EXEMPLE 2

Commencons avec trois points $P = (2,3,0)$, $Q = (1,-2,1)$, $R = (4,1,-1)$

OP = vector([2,3,0])
OQ = vector([1,-2,1])
OR = vector([4,1,-1])
X = plot(OP,thickness="5") + plot(OQ,thickness="5") +plot(OR,thickness="5") + axes
X

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On a vu que les vecteurs directeurs $\overrightarrow{D_1}$ et $\overrightarrow{D_2}$ sont donné par

$$[\overrightarrow{D_1}]_B = \begin{bmatrix}1-2\\-2 - 3\\ 1-0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\ -5\\ 1\end{bmatrix} \quad [\overrightarrow{D_2}]_B = \begin{bmatrix}4-2\\1 - 3\\-1 -0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2\\ -2\\ -1\end{bmatrix}$$

Et que le plan est crée comme:

$$x = 2 - u + 2v, \qquad y=3 -5u - 2v, \qquad z = u - v$$

Donc, on aura

u,v = var('u','v')
droite = [OP[0] + (OQ[0]-OP[0])*u + (OR[0]-OP[0])*v,OP[1] + (OQ[1]-OP[1])*u+ (OR[1]-OP[1])*v,OP[2] + (OQ[2]-OP[2])*u+ (OR[2]-OP[2])*v]
X + parametric_plot3d(droite, (u,-2,1), (v,-2,1))

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En utilisant ça, on peut voir si une pointe est sur la ligne ou pas. Prennons $S = (13,22,-8)$.

On aura donc

$$13 = 2 - u + 2v, \qquad 22=3 -5u - 2v, \qquad -8 = u - v$$

C'est une sytéme d'équations linéaires!!! Donc on aura

$$\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ -5 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11 \\ 19 \\ -8\end{bmatrix}$$

M = matrix([[-1,2,11],[-5,-2,19],[1,-1,-8]]);M

M.rref()

Donc il existe une suele solution : $$u = -5 \quad\text{et}\quad v = 3$$

plot(point3d((13,22,-8),size=20,color="red")) + X + parametric_plot3d(droite, (-5,1), (-2,3))

/ext/sage/sage-8.0/local/lib/python2.7/site-packages/sage/plot/plot3d/parametric_plot3d.py:1123: DeprecationWarning: Unnamed ranges for more than one variable is deprecated and will be removed from a future release of Sage; you can used named ranges instead, like (x,0,2)
See http://trac.sagemath.org/7008 for details.
  g, ranges = setup_for_eval_on_grid(f, [urange, vrange], plot_points)

MIME type unknown not supported

Essayons avec $O = (0,0,0)$.

On aura

$$0 = 2 - u + 2v, \qquad 0=3 - 5u - 2v, \qquad 0 = u - v$$

C'est une sytéme d'équations linéaires!!! Donc on aura

$$\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ -5 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u\\ v\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 \\ -3 \\ 0\end{bmatrix}$$

M = matrix([[-1,2],[-5,-2],[1,-1]]).augment(matrix([[-2,-3,0]]).transpose(), subdivide=True);M

M.rref()

Donc, il n'y a aucune solution! =D

plot(point3d((0,0,0),size=20,color="red")) + X + parametric_plot3d(droite, (-2,1), (-2,1))

MIME type unknown not supported