2020-05-04-M103-exo-5.15.ipynb

Kernel: SageMath (Development, Py3)

M103, 2020-05-04, 15:45--17:45, TD 23, gr B3

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- auteur: Samuel Lelièvre ([orcid: 0000-0002-7275-0965](https://orcid.org/0000-0002-7275-0965))
- date: 2020-04-27
- license: CC BY SA 4.0

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Université Paris-Saclay. Licence Sciences et technologies. L1 MPI.

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Cours Math103 «Algèbre linéaire», TD 23, groupes A2 et B3.

On travaille la feuille 5. On corrige l'exercice 5.15.

On utilise

• pour la voix, l'outil Collaborate via ecampus.paris-saclay.fr

• comme tableau, cette feuille Jupyter avec le noyau SageMath

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Préliminaires techniques:

• quelques définitions LaTeX pour faciliter la saisie (cachées dans la source de cette cellule de texte), ParseError: KaTeX parse error: \newcommand{\R} attempting to redefine \R; use \renewcommand

• et quelques réglages d'affichage de la feuille Jupyter.

%display unicode_art

Exercice 5.15. — Changement de coordonnées dans $\R^4$

Dans $\R^4$, on considère: $\newcommand{\Vect}{\operatorname{Vect}}$

$u_1 = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $u_2 = \begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $u_3 = \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$,

et on pose $E = \Vect(u_1, u_2, u_3)$.

Exo 5.15, Q 1.

u1 = vector([1, 0, 1, 1])
u2 = vector([2, 1, 0, 1])
u3 = vector([1, 1, -1, 1])

On définit la matrice $A$ de colonnes $u_1$, $u_2$, $u_3$:

A = matrix([u1, u2, u3]).T

A

⎛ 1  2  1⎞
⎜ 0  1  1⎟
⎜ 1  0 -1⎟
⎝ 1  1  1⎠

On met $A$ sous forme échelonnée (et réduite):

A.echelon_form()

⎛1 0 0⎞
⎜0 1 0⎟
⎜0 0 1⎟
⎝0 0 0⎠

Il y a trois pivots, donc

• trois inconnues principales,

• aucune inconnue secondaire.

Donc la famille $(u_1, u_2, u_3)$ est libre.

Puisque cette famille est une famille libre à trois éléments dans un espace de dimension $4$, on peut la compléter en une base de $\R^4$.

On peut par exemple compléter par un vecteur de la base canonique de $\R^4$.

Essayons par exemple avec $e_4 = (0, 0, 0, 1)$.

e4 = vector([0, 0, 0, 1])

A_prime = A.augment(e4)

A_prime

⎛ 1  2  1  0⎞
⎜ 0  1  1  0⎟
⎜ 1  0 -1  0⎟
⎝ 1  1  1  1⎠

A_prime.echelon_form()

⎛ 1  0  0  1⎞
⎜ 0  1  0 -1⎟
⎜ 0  0  1  1⎟
⎝ 0  0  0  0⎠

La forme échelonnée réduite de la matrice $B$ obtenue en ajoutant une colonne $e_4$ à la matrice $A$ comprend:

• trois pivots, donc trois inconnues principales pour le système associé

• une inconnue secondaire pour le système associé

Cela indique que la famille $(u_1, u_2, u_3, e_4)$ est liée.

Essayons à nouveau avec $e_3$.

e3 = vector([0, 0, 1, 0])
C = A.augment(e3)
C

⎛ 1  2  1  0⎞
⎜ 0  1  1  0⎟
⎜ 1  0 -1  1⎟
⎝ 1  1  1  0⎠

C.echelon_form()

⎛1 0 0 0⎞
⎜0 1 0 0⎟
⎜0 0 1 0⎟
⎝0 0 0 1⎠

Cette fois ça marche. La famille $(u_1, u_2, u_3, e_3)$ est libre.

C'est donc une base de $\R^4$.

En effet c'est une famille libre à $4$ vecteurs dans un espace de dimension $4$.

Exo 5.15, Q 2.

La matrice de passage de $B$ (la base canonique) à la base $B'$ qu'on vient de définir est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées dans $B$ des vecteurs de $B'$.

P = matrix([u1, u2, u3, e3]).T
P

⎛ 1  2  1  0⎞
⎜ 0  1  1  0⎟
⎜ 1  0 -1  1⎟
⎝ 1  1  1  0⎠

Si $u \in \R^4$, et si

• $X$ est la colonne des coordonnées de $u$ dans $B$

• $X'$ est la colonne des coordonnées de $u$ dans $B'$

alors on a:

$X = P X'$.

Pour s'en convaincre, regarder le cas $u = u_1$ par exemple.

Exo 5.15, Q 3.

Inverse de la matrice de passage.

Pour calculer l'inverse de $P$, on augmente $P$ avec la matrice identité (en colonnes supplémentaires) puis on échelonne et on réduit.

P_aug = P.augment(identity_matrix(4), subdivide=True)
P_aug

⎛ 1  2  1  0│ 1  0  0  0⎞
⎜ 0  1  1  0│ 0  1  0  0⎟
⎜ 1  0 -1  1│ 0  0  1  0⎟
⎝ 1  1  1  0│ 0  0  0  1⎠

P_aug = block_matrix([P, identity_matrix(P.ncols())], nrows=1)
P_aug

⎛ 1  2  1  0│ 1  0  0  0⎞
⎜ 0  1  1  0│ 0  1  0  0⎟
⎜ 1  0 -1  1│ 0  0  1  0⎟
⎝ 1  1  1  0│ 0  0  0  1⎠

P_aug_ech = P_aug.echelon_form()
P_aug_ech

⎛ 1  0  0  0  0 -1  0  1⎞
⎜ 0  1  0  0  1  0  0 -1⎟
⎜ 0  0  1  0 -1  1  0  1⎟
⎝ 0  0  0  1 -1  2  1  0⎠

P_inv = P_aug_ech[:, P.ncols():]
P_inv

⎛ 0 -1  0  1⎞
⎜ 1  0  0 -1⎟
⎜-1  1  0  1⎟
⎝-1  2  1  0⎠

P_inv = P^-1
P_inv

⎛ 0 -1  0  1⎞
⎜ 1  0  0 -1⎟
⎜-1  1  0  1⎟
⎝-1  2  1  0⎠

P_inv = P.inverse()
P_inv

⎛ 0 -1  0  1⎞
⎜ 1  0  0 -1⎟
⎜-1  1  0  1⎟
⎝-1  2  1  0⎠

Exo 5.15, Q 4.

Équation du sous-espace engendré par une famille de vecteurs.

On a défini $E = \Vect(u_1, u_2, u_3)$,

et $B'$ est la famille $(u_1, u_2, u_3, e_3)$ qui est une base de $\R^4$.

Si un vecteur $u$ a pour coordonnées $(x'_1, x'_2, x'_3, x'_4)$ dans $B'$,

c'est que $u = x'_1 \cdot u_1 + x'_2 \cdot u_2 + x'_3 \cdot u_3 + x'_4 \cdot e_3$.

Ce vecteur est dans $E$ si et seulement si $x'_4 = 0$.

Traduisons en un système d'équations cartésiennes en $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$.

On a vu à la question précédente que:

$X' = P^{-1} \cdot X$.

x1, x2, x3, x4 = SR.var('x1, x2, x3, x4')
X = vector([x1, x2, x3, x4])

X_prime = P_inv * X
X_prime.column()

⎛       -x2 + x4⎞
⎜        x1 - x4⎟
⎜  -x1 + x2 + x4⎟
⎝-x1 + 2*x2 + x3⎠

Comme l'expression de $x'_4$ en fonction de $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ est

$x'_4 = -x_1 + 2 x_2 + x_3$

l'équation précédemment obtenue

$x'_4 = 0$

s'écrit, dans les coordonnées $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, sous la forme:

$-x_1 + 2 x_2 + x_3 = 0$

L'équation de $E$ en coordonnées $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ est donc:

$$-x_1 + 2 x_2 + x_3 = 0$$