Kernel: SageMath 8.8

SECITEC - 2019 - PARTE III

A Semana da Ciência e Tecnologia – SECITEC é o evento anual científico oficial do Campus Luzerna do Instituto Federal Catarinense, realizada a partir de 2012 como plataforma para divulgação da produção científica de seus alunos e professores.

Carga Horária: 4h

Prof João Marcello Pereira ([email protected])

Link para a parte I : https://share.cocalc.com/share/9110c074abc3ba6f36ef922980eaf978580ee422/SECITEC-2019-PARTE-1-EXE.ipynb?viewer=share

Link para a parte II: https://share.cocalc.com/share/288b42254a96ffdde0f1a05c9a87e715f5d893b3/SECITEC-2019-PARTE-2-EXE.ipynb?viewer=share

CALCULO DIFEFENCIAL E INTEGRAL

In [3]:

%display latex

In [1]:

# Função f1(x) = (x^2-1)/(x-1)

In [0]:

# Gráfico f1(x) de -5 a 5

In [3]:

# Limite de f1(x) quando x tende a 0

In [4]:

# Limite usando o ponto

In [5]:

# derivada f1(x)

In [6]:

# derivada ponto

In [0]:

In [8]:

# derivada segunda

In [7]:

# Integral de f1(x)

In [9]:

# integral ponto f1(x)

In [10]:

# Integral definida f1(x)  x entre 0 e 1

In [11]:

# integral numérica f1(x) com nintegral

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Equações Diferenciais de Primeira Ordem Simbólicas

A função desolve() calcula a "solução geral" de uma equação diferencial de 1ª ou 2ª ordem utilizando o Maxima Sofware. Sintaxe:

desolve(EDO, dvar, ics = None, ivar = None, show_method = False, contrib_ode = False)

EDO : expressão da equação diferencial
dvar : variável dependente
ics : (optional) condições iniciais de contorno
i. Para uma equação de primeira ordem, especifique as condições iniciais de [x0 e y(x0)].
ii. Para uma equação de segunda ordem, especifique as condições iniciais de x0 , [y(x0) e y'(x0)]
iii. Para uma solução de contorno de segunda ordem , especifique as condições de x e de contorno de y na forma [x0, y(x0), x1, y(x1)]
ivar : (opcional) variável independente
show_method : se verdadeiro, CoCalc retorna o par [solução, método], no qual o 'method' é o método que tem sido usado para obter uma solução (Maxima usa a seguinte ordem de equações de primeira ordem: linear, separável, exata (incluindo exata com fator de integração), homogênea , Bernoulli, generalizada homogênea).
contrib_ode : (opcional) Se verdadeiro, desolve permite resolver por Clairaut, Lagrange, Riccati e algumas outras equações. Isso pode levar um longo tempo e é assim desativado por padrão.

Ex: Resolver a seguinte equação diferencial

$y' - 2xy = 0$

In [13]:

# y em função de x

In [14]:

# definor edo1

In [16]:

# solução edo1

Utilizando show_method = true. CoCalc retorna o par [solução, método], onde o method é o método que tem sido usado para obter uma solução (Maxima usa a seguinte ordem de equações de primeira ordem: linear, separável, exata (incluindo exata com fator de integração), homogênea, Bernoulli, generalizada homogênea).

In [17]:

# solução edo1 com show_method = true

Equação diferencial com valores iniciais

Ex: Resolver a seguinte equação diferencial no intervalo [0, 3], sendo y(0) = 1

$y' - x^2 + y = 0$

In [19]:

# solução de edo1 com ics = [0, 1]

In [18]:

# gráfico solução edo1 com axes_labels = ['x', 'y'], gridlines = "minor", figsize = (4, 3)

Solução Numérica Método de Rage-Kutta

desolve_rk4(de, dvar, ics = None, ivar = None, end_points = None, step = 0.1, output = 'list')

EDO : Equação diferencial a ser resolvida na forma y' = f (x, y)
dvar : variável dependente (variável simbólica definida)
ics: Condições iniciais na forma [x0 , y(x0)]
ivar: variável independente (declarada como função da variável independente)
end_point: Intervalo. Se vazio, é usando end_points = ics[0] + 10
step : (Opcional) tamanho do passo de integração, padrão é 0.1
output: (Optional) saída do resultado. Pode ser: 'list', 'plot' ou 'slope_field'. O padrão é 'list'

In [20]:

# Solução numérica de edo1 pelo método de Runge Kutta com ics = [0, 1], ivar = x, end_points = [0,1], step = 0.1, gridlines = "minor", output = 'plot', figsize = (4,3)

In [22]:

# Solução numérica de edo1 pelo método de Runge Kutta com ics = [0, 1], ivar = x, end_points = [0,1], step = 0.1, gridlines = "minor", output = 'slope_field', figsize = (4,3)

In [0]: