shifted Legendre多項式(の正規化)を計算する。 shifted Legendre多項式とは、 $$(p(x),q(x))=\int_0^1p(x)q(x)dx$$ という内積を用いて、$(1,x,x^2,\cdots)$にGram-Schmidtの直交化を施して得られる直交多項式である。

通常のLegendre多項式は、 $$(p(x),q(x))=\int_{-1}^1p(x)q(x)dx$$ という内積を用いて、$(1,x,x^2,\cdots)$にGram-Schmidtの直交化を施して得られる直交多項式である。(積分範囲が違うことに注意。)

$(P_0(x),P_0(x)$を計算する。 $$(P_0(x),P_0(x)=\int_{0}^{1}dx=1$$ より、

次に、$$P_1(x)=x-(x,p_0(x))p_0$$を計算しよう。すなわち、

次に、$(P_1(x),P_1(x))$を計算する。すなわち、 $$(P_1(x),P_1(x)=\int_{0}^{1}P_1^2dx$$

より、$$(P_1(x),P_1(x)=\int_{0}^{1}P_1^2dx=\int_{0}^{1}(x^2 - x + \dfrac{1}{4})dx=\dfrac{1}{12}$$ よって、

となることがわかる。

次に、$P_2(x)=x^2-(x^2,p_0)p_0-(x^2,p_1)p_1$を計算する。すなわち、

次に、$(P_2(x),P_2(x))$を計算する。 $P_2(x)^2=\ x^{4} - 2 \, x^{3} + \frac{4}{3} \, x^{2} - \frac{1}{3} \, x + \frac{1}{36}$より、

とわかる。$p_2(x)=P_2(x)/\sqrt{(P_2(x),P_2(x))}$を計算すると、

$p_2(x)=\sqrt{5}(6x^2-6x+1)$とわかる。次に、 $P_3(x)=x^3-(x^3,p_0(x))p_0-(x^3,p_1(x))p_1-(x^3,p_2(x))p_2$を計算する。すなわち、

次に、$(P_3(x),P_3(x))=\int_0^1 P_3(x)^2dx$を計算する。

より、$$P_3(x)^2=\ x^{6} - 3 \, x^{5} + \frac{69}{20} \, x^{4} - \frac{19}{10} \, x^{3} + \frac{51}{100} \, x^{2} - \frac{3}{50} \, x + \frac{1}{400}$$とわかるので、$$(P_3(x),P_3(x))=\int_0^1 P_3(x)^2dx=\int_0^1 \left(\ x^{6} - 3 \, x^{5} + \frac{69}{20} \, x^{4} - \frac{19}{10} \, x^{3} + \frac{51}{100} \, x^{2} - \frac{3}{50} \, x + \frac{1}{400}\right)dx=\dfrac{1}{2800}=\dfrac{1}{7}\left(\dfrac{1}{2^2 5}\right)^2$$より、

$p_3(x)=\sqrt{7} {\left(20 \, x^{3} - 30 \, x^{2} + 12 \, x - 1\right)}$とわかる。