1. Porque Equacoes Diferenciais.sagews

O Conceito de Equação Diferencial

Se os fenômenos físicos, químicos, biológicos, etc fossem estáticos, provavelmente, a Álgebra seria suficiente para descrevê-los quantitativamente. Entretanto, há muito que se sabe que os fenômenos naturais realmente interessantes são dinâmicos, envolvem variáveis em constante mudança.

Com o surgimento do método científico e o desenvolvimento da Matemática, em particular do Cálculo Diferencial e Integral, tornou-se possível formular matematicamente o conceito de mudança ou variação e descrever quantitativamente os problemas dinâmicos.

O conceito matemático de derivada $\displaystyle\frac{dx}{dt}=f'(t)$ da função $f$ é a taxa na qual a quantidade $x=f(t)$ varia com respeito alguma outra variável, dita independente.

Então, é natural que equações envolvendo derivadas sejam usadas para descrever diferentes aspectos da realidade em mudança.

Uma equação que envolve uma função desconhecida (a ser determinada) e uma ou mais de suas derivadas é denominada equação diferencial.

As equações diferenciais são a espinha dorsal de várias áreas da Ciência e da Engenharia. Ao longo de todo o curso, estudaremos exemplos originados das mais diversas áreas.

As Diferentes Abordagens às Equações Diferenciais

Brevemente, veremos como classificar as equações diferenciais. Uma das formas é separá-las em ordinárias e parciais. Nas equações diferenciais ordinárias, a função que estamos estudando depende apenas de uma variável, ou seja, é do tipo $f(x)$. Os exemplos mais comuns são os de funções que variam com o tempo. As equações diferenciais parciais envolvem funções de várias variáveis, por exemplo, variáveis espaciais e o tempo: $f(x,y,z,t$.

A maior parte do nosso curso abordará as equações diferenciais ordinárias. Essencialmente, podem ser estudadas de três grandes pontos de vista:

1. Analítico: procura obter soluções expressas em fórmulas matemáticas fechadas



2. Numérico: procura obter soluções numéricas aproximadas quando não existem soluções analíticas



3. Qualitativo: procura descobrir o comportamento das soluções sem resolver a equação diferencial

A ênfase deste curso é a Abordagem Analítica, ou seja, o desenvolvimento de métodos que permitam encontrar as soluções exatas das equações diferenciais ordinárias. Entretanto, trabalharemos muitos problemas também sob a ótica da Abordagem Qualitativa, o que é particularmente interessante para a Engenharia.

Detalhes da Abordagem Numérica serão estudados na disciplina de Cálculo Numérico, futuramente. Os métodos numéricos, porém, aparecerão neste curso como ferramentas do tipo caixa-preta. De vez em quando, para realizarmos uma determinada análise qualitativa, recorreremos aos métodos numéricos mas sem nos preocuparmos como esses métodos funcionam ou porque são válidos.

Na parte final do curso, veremos uma introdução às equações diferenciais parciais do ponto de vista estritamente analítico; veremos, então, que as equações diferenciais ordinárias constituem um componente essencial para o estudo de certas técnicas de solução de equações diferenciais parciais. A imensa maioria das equações diferenciais parciais só pode ser resolvida através de métodos numéricos que, por sinal, são muito mais complexos do que os métodos numéricos para equações ordinárias. Todavia, este é um tópico que está fora do escopo deste curso.