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Author: Juan Carlos Bustamante
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Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Mat298 - Calcul vectoriel

Les champs gradient

Exemple : Soit f(x,y)=x33xy2f(x,y)=x^3-3xy^2, et F=f\mathbf{F} = \nabla f, son champ gradient. On calcule sans peine (et même sans SAGE) que F=3(x2y2)i+6xyj\mathbf{F}=3(x^2-y^2)\mathbf{i}+ 6xy \mathbf{j}.

Voyons le champ F\mathbf{F}, en ayant à l'esprit que c'est un champ gradient. Il y a aussi la surface z=f(x,y)z=f(x,y) qui peut être utile à considérer, car le gradient donne la direction de plus forte variation de ff, c'est à dire la direction (opposée) à la direction qu'une bille laissée à elle même suivrait sur la surface.

cmsel = [colormaps['hot'](i) for i in sxrange(0,1,0.05)] f(x,y) = x^3-3*x*y^2 a=1.5 F=f.gradient() Surf=plot3d(f,(x,-a,a),(y,-a,a),adaptive=True, color=cmsel) Champ=plot_vector_field(F,(x,-a,a),(y,-a,a),color='red',) show(Champ,figsize=6, aspect_ratio =1) show(Surf, frame_aspect_ratio=[4,4,1])
3D rendering not yet implemented

Que ferait un bateau en papier s'il était lâché dan un liquide qui bougerait en accord avec le champ F\mathbf{F} (ou encore, la bille sur la surface, lâchée à elle même)? Est-ce qu'il y a des tourbillons? Calculez le rotationnel de F\mathbf{F}. Comment on explique ceci? Pouvez-vous voir pourquoi les physiciens disent que la fonction potentiel de F\mathbf{F} est f-f et non ff? En fait on a:

Theorème : Si F=fF=\nabla f, alors rot F=0{\rm rot}\ F = \mathbf{0}. En d'autres termes, les champs gradients sont irrotationnels. Si l'on veut, et que l'on pense à \nabla comme étant le "vecteur" =(x,y,z)\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}), de sorte que gradf= f{\rm grad}f = \nabla \ f, on peut aussi se souvenir de ceci d'une autre façon: ×f=0\nabla \times \nabla f = 0 en parfait accord avec le fait, bien connu que le produit vectoriel de tout vecteu avec lui même est nul, ce qui donnerait ×=0\nabla \times \nabla = \mathbf{0}, ou encore : le rotationnel du gradient est nul.

On peut encore dire que "quand ça tombe, ça ne tourne pas".

** Exemple :** Déterminez si le champ de vecteurs F=y21+x2ı+2yarctanxȷ\mathbf{F} = \frac{y^2}{1+x^2}\mathbf{\imath} + 2y\arctan{x}\mathbf{\jmath} est conservatif ou pas. Solution. Il s'agit d'un champ à deux dimensions, il faudrait que la coposante k\mathbf{k} de son rotationnel soit nulle. Il est immédiat de vérifier que c'est effectivement le cas, en fait F=f\mathbf{F} = \nabla ff(x,y)=y2arctanx+cf(x,y)=y^2 \arctan{x}+c. Remarque : L'équation différentielle y21+x2dx+2yarctanx\frac{y^2}{1+x^2} dx + 2y\arctan{x} est exacte. Les solutions sont données implicitement sous la forme f(x,y)=kf(x,y)=k. Si on fixe un point (x0,y0)(x_0,y_0), résoudre l'équation revient à trouver une courbe, une courbe de niveau de ff (donc orthogonale au champ en tout point). Ci bas, les courbe de niveau f(x,y)=4f(x,y)=4, passant par le point (π4,±2)(\frac{\pi}{4}, \pm 2)

Le gradient de f(x,y)f(x,y) est
(x,y)  (y2x2+1,2yarctan(x))\displaystyle \left( x, y \right) \ {\mapsto} \ \left(\frac{y^{2}}{x^{2} + 1},\,2 \, y \arctan\left(x\right)\right)

** Exemple : ** Déterminer si le champ de vecteurs F=(y2z3,2xyz3,3xy2z3)\vec{F}=(y^2z^3, 2xyz^3,3xy^2z^3) est conservatif ou pas. Si c'est le cas, trouvez une fonction potentiel ff. Solution: Il faurait que le rotationnel de F\vec{F} soit nul, et c'est effectivement le cas. Les fonctions potentiel sont de la forme f(x,y,z)=xy2z3+kf(x,y,z)=xy^2z^3+k.

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