Mat298 - Calcul vectoriel

Les champs gradient

Exemple : Soit $f(x,y)=x^3-3xy^2$, et $\mathbf{F} = \nabla f$, son champ gradient. On calcule sans peine (et même sans SAGE) que $\mathbf{F}=3(x^2-y^2)\mathbf{i}+ 6xy \mathbf{j}$.

Voyons le champ $\mathbf{F}$, en ayant à l'esprit que c'est un champ gradient. Il y a aussi la surface $z=f(x,y)$ qui peut être utile à considérer, car le gradient donne la direction de plus forte variation de $f$, c'est à dire la direction (opposée) à la direction qu'une bille laissée à elle même suivrait sur la surface.

Que ferait un bateau en papier s'il était lâché dan un liquide qui bougerait en accord avec le champ $\mathbf{F}$ (ou encore, la bille sur la surface, lâchée à elle même)? Est-ce qu'il y a des tourbillons? Calculez le rotationnel de $\mathbf{F}$. Comment on explique ceci? Pouvez-vous voir pourquoi les physiciens disent que la fonction potentiel de $\mathbf{F}$ est $-f$ et non $f$? En fait on a:

Theorème : Si $F=\nabla f$, alors ${\rm rot}\ F = \mathbf{0}$. En d'autres termes, les champs gradients sont irrotationnels. Si l'on veut, et que l'on pense à $\nabla$ comme étant le "vecteur" $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})$, de sorte que ${\rm grad}f = \nabla \ f$, on peut aussi se souvenir de ceci d'une autre façon: $$\nabla \times \nabla f = 0$$ en parfait accord avec le fait, bien connu que le produit vectoriel de tout vecteu avec lui même est nul, ce qui donnerait $\nabla \times \nabla = \mathbf{0}$, ou encore : le rotationnel du gradient est nul.

On peut encore dire que "quand ça tombe, ça ne tourne pas".

** Exemple 😗* Déterminez si le champ de vecteurs $\mathbf{F} = \frac{y^2}{1+x^2}\mathbf{\imath} + 2y\arctan{x}\mathbf{\jmath}$ est conservatif ou pas. Solution. Il s'agit d'un champ à deux dimensions, il faudrait que la coposante $\mathbf{k}$ de son rotationnel soit nulle. Il est immédiat de vérifier que c'est effectivement le cas, en fait $\mathbf{F} = \nabla f$ où $f(x,y)=y^2 \arctan{x}+c$. Remarque : L'équation différentielle $\frac{y^2}{1+x^2} dx + 2y\arctan{x}$ est exacte. Les solutions sont données implicitement sous la forme $f(x,y)=k$. Si on fixe un point $(x_0,y_0)$, résoudre l'équation revient à trouver une courbe, une courbe de niveau de $f$ (donc orthogonale au champ en tout point). Ci bas, les courbe de niveau $f(x,y)=4$, passant par le point $(\frac{\pi}{4}, \pm 2)$

** Exemple : ** Déterminer si le champ de vecteurs $\vec{F}=(y^2z^3, 2xyz^3,3xy^2z^3)$ est conservatif ou pas. Si c'est le cas, trouvez une fonction potentiel $f$. Solution: Il faurait que le rotationnel de $\vec{F}$ soit nul, et c'est effectivement le cas. Les fonctions potentiel sont de la forme $f(x,y,z)=xy^2z^3+k$.