2020-04-08-1030-M103.ipynb

Kernel: SageMath 9.0

M103, 2020-04-08

Retour sur exo 4.6 Q 2.

S = lambda a, b: matrix([[a, -b], [b, a]])
T = lambda c, d: matrix([[c, d], [d, -c]])

a, b, c, d, aa, bb, cc, dd = SR.var('a b c d aa bb cc dd', domain='real')

S(a, b), S(aa, bb), S(a, b) + S(aa, bb), S(a, b) * S(aa, bb)

(
[ a -b]  [ aa -bb]  [ a + aa -b - bb]  [ a*aa - b*bb -aa*b - a*bb]
[ b  a], [ bb  aa], [ b + bb  a + aa], [ aa*b + a*bb  a*aa - b*bb]
)

S(a, b), S(aa, bb), S(a + aa, b + bb), S(a*aa - b*bb, aa*b + a*bb)

(
[ a -b]  [ aa -bb]  [ a + aa -b - bb]  [ a*aa - b*bb -aa*b - a*bb]
[ b  a], [ bb  aa], [ b + bb  a + aa], [ aa*b + a*bb  a*aa - b*bb]
)

z = a + i*b
zz = aa + i*bb
somme = z + zz
produit = z * zz
z, zz, somme.real() + i * somme.imag(), produit.real() + i * produit.imag()
print(f'somme = ({somme.real()}) + i*({somme.imag()})')
print(f'produit = ({produit.real()}) + i*({produit.imag()})')

somme = (a + aa) + i*(b + bb)
produit = (a*aa - b*bb) + i*(aa*b + a*bb)

On considère l'application $\Phi : \mathbb{C} \to \mathcal{S}$ définie par: $\Phi : a + i \cdot b \mapsto S(a, b)$

Phi = lambda z: S(z.real(), z.imag())

z, Phi(z), S(a, b)

(
         [ a -b]  [ a -b]
a + I*b, [ b  a], [ b  a]
)

Phi(z) + Phi(zz), Phi(z + zz), Phi(z) + Phi(zz) == Phi(z + zz)

(
[ a + aa -b - bb]  [ a + aa -b - bb]      
[ b + bb  a + aa], [ b + bb  a + aa], True
)

Phi(z) * Phi(zz), Phi(z * zz), Phi(z) * Phi(zz) == Phi(z * zz)

(
[ a*aa - b*bb -aa*b - a*bb]  [ a*aa - b*bb -aa*b - a*bb]      
[ aa*b + a*bb  a*aa - b*bb], [ aa*b + a*bb  a*aa - b*bb], True
)

Passer de $S(a, b)$ à $S(a, -b)$ revient, du côté nombres complexes, à passer de $a + i b$ à $a + i\cdot(-b)$ c'est-à-dire $a - i \cdot b$.

C'est la conjugaison complexe.

Reprise de l'exo 4.7

Exo 4.7, question 3.a

Pour montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on montre que

• $F$ contient la matrice nulle

• $F$ est stable par somme et mise à l'échelle

  • ou si on préfère, par combinaisons linéaires

  • ou si on préfère, par combinaisons linéaires réduites $A + \lambda \cdot B$

La matrice nulle est dans $F$ puisque toutes ses lignes et toutes ses colonnes ont pour somme $0$.

D'après les calucls de la question 1, si $A$ et $B$ sont dans $F$, alors en particulier elles sont dans $E$ avec $a = 0$ et $b = 0$.

Alors $A + \lambda \cdot B$ est encore dans $E$, avec pour somme par ligne ou par colonne $a + \lambda \cdot b$, c'est-à-dire $0 + \lambda \cdot 0$, qui vaut $0$.

On conclut que $A + \lambda \cdot B$ est en fait dans $F$.

On a bien montré que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

On veut montrer que $D \oplus F = E$, c'est-à-dire montrer que tout élément de $E$ est somme, d'une façon unique, d'un élément de $F$ et d'un élément de $D$.

Soit $A$ une matrice de $E$, de somme $a$.

On aimerait trouver une matrice $S = \lambda \cdot I_3 \in D$ et une matrice $N \in F$, telles que $S + N = A$.

D'après ce qu'on a vu précédemment,

• la somme (par ligne ou par colonne) de $S$ vaut: $\lambda$

• la somme (par ligne ou par colonne) de $N$ vaut: $0$

• la somme (par ligne ou par colonne) de $S + N$ vaut: $\lambda + 0$

Pour avoir $S + N = A$ on doit donc avoir: $\lambda = a$.

C'est-à-dire qu'on connaît $S$, on a $S = a \cdot I_3$.

Dans ce cas on connaît aussi $N$, puisque $N = A - S$.

On écrit donc $A = S + N = S + (A - S) = a \cdot I_3 + (A - a\cdot I_3)$

et on remarque que, en posant $S = a \cdot I_3$ et $N = A - S = A + (-1) \cdot S$,

• on a bien $S \in D$

• puisque $A \in E$ et $(-1) \cdot S \in E$, alors $A + (-1) \cdot S \in E$

• de plus la somme par ligne et par colonne de $A + (-1) \cdot S$ vaut $a + (-1) \cdot a$

• c'est-à-dire zéro, ce qui nous dit que $A - S \in F$.

On a montré que toute matrice $A \in E$ est somme, de façon unique, d'un multiple de la matrice identité et d'une matrice de somme nulle.

On a donc montré que $D \oplus F = E$.

Exo 4.7, question 3.b

Système d'équations cartésiennes pour $F$.

Ici les coordonnées s'appellent $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $b_2$, $b_3$, $c_1$, $c_2$, $c_3$.

a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 = SR.var('a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3')

d1, d2, d3, e1, e2, e3, f1, f2, f3 = SR.var('d1, d2, d3, e1, e2, e3, f1, f2, f3')

Supposons que $A$ est magique de somme $a$, et $B$ magique de somme $b$.

A = matrix(3, [a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3]).T
# B = matrix(3, [d1, d2, d3, e1, e2, e3, f1, f2, f3]).T

A
# , B

[a1 b1 c1]
[a2 b2 c2]
[a3 b3 c3]

La définition de $F$ est que la somme par ligne et la somme par colonne vaut $0$.

Cela se traduit par le système d'équations cartésiennes suivant:

• $a_1 + b_1 + c_1 = 0$

• $a_2 + b_2 + c_2 = 0$

• $a_3 + b_3 + c_3 = 0$

• $a_1 + a_2 + a_3 = 0$

• $b_1 + b_2 + b_3 = 0$

• $c_1 + c_2 + c_3 = 0$

Pour trouver une base de $F$ on échelonne ce système de 6 équations à 9 inconnues.

M = matrix([[1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0],
            [0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0],
            [0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1],
            [1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
            [0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0],
            [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1],
           ])

M

[1 0 0 1 0 0 1 0 0]
[0 1 0 0 1 0 0 1 0]
[0 0 1 0 0 1 0 0 1]
[1 1 1 0 0 0 0 0 0]
[0 0 0 1 1 1 0 0 0]
[0 0 0 0 0 0 1 1 1]

M.echelon_form()

[ 1  0  0  0 -1 -1  0 -1 -1]
[ 0  1  0  0  1  0  0  1  0]
[ 0  0  1  0  0  1  0  0  1]
[ 0  0  0  1  1  1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  1  1  1]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0]

On voit qu'il y a

• 5 pivots, donc 5 inconnues principales: $a_1$, $a_2$, $a_3$, $b_1$, $c_1$

• 4 inconnues secondaires: $b_2$, $b_3$, $c_2$, $c_3$

La dimension de $F$ est $4$.

La forme échelonnée réduite est

M.rref()

[ 1  0  0  0 -1 -1  0 -1 -1]
[ 0  1  0  0  1  0  0  1  0]
[ 0  0  1  0  0  1  0  0  1]
[ 0  0  0  1  1  1  0  0  0]
[ 0  0  0  0  0  0  1  1  1]
[ 0  0  0  0  0  0  0  0  0]

A

[a1 b1 c1]
[a2 b2 c2]
[a3 b3 c3]

Une base de $F$ est obtenue en fixant tour à tour chaque inconnue secondaire à $1$ et les autres à $0$.

Si on fixe $b_2 = 1$ et les autres à $0$, on obtient:

X, Y, Z, T = (
matrix([[ 1, -1,  0],
        [-1,  1,  0],
        [ 0,  0,  0],
       ]),
matrix([[ 1, -1,  0],
        [ 0,  0,  0],
        [-1,  1,  0],
       ]),
matrix([[ 1,  0, -1],
        [-1,  0,  1],
        [ 0,  0,  0],
       ]),
matrix([[ 1,  0, -1],
        [ 0,  0,  0],
        [-1,  0,  1],
       ]),
)
print("Une base de F est formée des matrices X, Y, Z, T:")
(X, Y, Z, T)

Une base de F est formée des matrices X, Y, Z, T:

(
[ 1 -1  0]  [ 1 -1  0]  [ 1  0 -1]  [ 1  0 -1]
[-1  1  0]  [ 0  0  0]  [-1  0  1]  [ 0  0  0]
[ 0  0  0], [-1  1  0], [ 0  0  0], [-1  0  1]
)

Pour obtenir une base de $E$, on utilise que $D \oplus F = E$.

Il suffit de concaténer une base de $D$ avec une base de $F$.

Ainsi $(I_3, X, Y, Z, T)$ forme une base de $E$.

Exo 4.7, Q 4: matrices supermagiques

On dit qu'une matrice $A$ est supermagique si elle est dans $E$ avec en plus somme des coefficients diagonaux et somme des coefficients anti-diagonaux égales à $s(A)$

Notons $G$ l'ensemble des matrices supermagiques, et $H$ l'ensemble des matrices supermagiques de somme nulle.

a.

Les supermagiques de somme nulle forment un plan dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.

A

[a1 b1 c1]
[a2 b2 c2]
[a3 b3 c3]

On est dans $F$ et on ajoute deux conditions:

• $a_1 + b_2 + c_3 = 0$

• $a_3 + b_2 + c_1 = 0$

On connaît une base de $F$: $(X, Y, Z, T)$.

somme_diag = lambda M: M[0, 0] + M[1, 1] + M[2, 2]
somme_antidiag = lambda M: M[2, 0] + M[1, 1] + M[0, 2]

x, y, z, t = SR.var('x y z t')

M = x * X + y * Y + z * Z + t * T
M

[t + x + y + z        -x - y        -t - z]
[       -x - z             x             z]
[       -t - y             y             t]

Les deux équations en $x$, $y$, $z$, $t$ pour être dans $H$ si on est dans $F$ sont:

somme_diag(M) == 0

2*t + 2*x + y + z == 0

somme_antidiag(M) == 0

-2*t + x - y - z == 0

Le système formé par ces deux équations peut être échelonné. On obtient

• deux inconnues principales: $x$, $y$

• deux inconnues secondaires: $z$, $t$

On conclut que $H$ est de dimension $2$.

b.

$G$ est un sous-espace vectoriel (de qui?) de dimension $3$.

$G$ est une partie de $E$, qui contient la mtrice nulle, et est stable par combinaisons linéaires.

En effet, si on note $d(M)$ la somme des éléments diagonaux de $M$ et $e(M)$ la somme des éléments anti-diagonaux de $M$, on voit que

• $d(A + \lambda \cdot B) = d(A) + \lambda \cdot d(B)$

• $e(A + \lambda \cdot B) = e(A) + \lambda \cdot e(B)$

J = matrix(3, [1] * 9)
J

[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]

Pour la matrice $J$, les sommes par ligne, par colonne, diagonale, antidiagonale valent toutes $3$.

Donc $J \in G$.

Puisque $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, les multiples de $J$ aussi.

On s'inspire de la question 3 et on va montrer que $\operatorname{Vect}(J) \oplus H = G$.

On veut montrer que toute matrice $A \in G$ s'écrit de façon unique comme somme d'un multiple de $J$ et d'une matrice à sommes (par ligne, par col, diag, antidiag) nulles.

Soit $A \in G$, on essaie de voir quel multiple de $J$ choisir, et on montre ensuite que ce qui reste est dans $H$.

Notons $a = s(A)$. On suppose que $A = \lambda \cdot J + N$ avec $N \in H$.

Alors, $s(A) = s(\lambda \cdot J + N) = \lambda \cdot s(J) + s(N) = \lambda \cdot 3 + 0 = 3 \cdot \lambda$.

On doit donc avoir $3 \cdot \lambda = a$ c'est-à-dire $\lambda = a/3$.

On a alors forcément $N = A - (a/3) \cdot J$. On a bien, dans ce cas, $N \in H$.

On a montré que $\operatorname{Vect}(J) \oplus H = G$.

On conclut, puisque $\operatorname{Vect}(J)$ est de dimension 1 et $H$ est de dimension 2, que $G$ est de dimension 3.

Exo 4.7, Q 4.c

On suppose que $A$ est une matrice supermagique dont les coefficients sont tous les entiers de $1$ à $9$ (dans un certain ordre).

La somme de tous les coefficients est 3 fois la somme par ligne.

Or la somme $1 + 2 + \dots + 9$ vaut $45$. Le tiers de $45$ vaut $15$.

En notant $d$ et $e$ la somme diagonale et antidiagonale:

• $d = a_1 + b_2 + c_3$

• $e = a_3 + b_2 + c_1$

• $d + e = (a1 + a_3) + (b_2 + b_2) + (c_1 + c_3)$

• $d + e = (a1 + a_2 + a_3) - a_2 + (b_2 + b_2 + b_2) - b_2 + (c_1 + c_2 + c_3) - c_2$

• $d + e = 15 + (b_2 + b_2 + b_2) + 15 - (a_2 + b_2 + c_2)$

• $d + e = 15 + (b_2 + b_2 + b_2) + 15 - 15$

• $d + e = 15 + 3 \cdot b_2$

D'autre part $d = e = 15$. Donc $b_2 = 5$.

A.subs({b2: 5})

[a1 b1 c1]
[a2  5 c2]
[a3 b3 c3]

Les positions restantes doivent être complétées.

Les éléments symétriques par rapport au centre de la matrice doivent avoir somme $10$.

$\{ 1, 9 \}$, $\{ 2, 8 \}$, $\{ 3, 7 \}$, $\{ 4, 6 \}$.

Dès qu'on choisit deux paires, les autres sont fixées.

Une solution est:

M = matrix(3, [[6, 1, 8], [7, 5, 3], [2, 9, 4], ])

[sum(ligne) for ligne in M]

[15, 15, 15]

[sum(colonne) for colonne in M.columns()]

[15, 15, 15]

somme_diag(M), somme_antidiag(M)

(15, 15)