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## Exemple.
On considère la matrice $M = \left(\begin{array}{rr} 8 & -2 \\ -2 & 5 \end{array}\right)$. Elle représente une transformation linéaire $f$ dans la base canonique, à savoir $ f(\mathbf{e}_1) = \left(\begin{array}{r}8\\-2\end{array}\right)$ et $f(\mathbf{e}_2) = \left(\begin{array}{r}-2\\2\end{array}\right)$. On veut calculer la matrice de $f$ dans la base $\mathcal{B}'$ formée par les vecteurs
\[ \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} = \left(\begin{array}{r}2\\1\end{array}\right), \mathbf{v}_2 = f(\mathbf{e}_1) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{r}-2\\1\end{array}\right)\]
︡c0e3d063-f8d8-4460-aeb1-5afbb85bf41f︡︡{"done":true,"md":"## Exemple.\nOn considère la matrice $M = \\left(\\begin{array}{rr} 8 & -2 \\\\ -2 & 5 \\end{array}\\right)$. Elle représente une transformation linéaire $f$ dans la base canonique, à savoir $ f(\\mathbf{e}_1) = \\left(\\begin{array}{r}8\\\\-2\\end{array}\\right)$ et $f(\\mathbf{e}_2) = \\left(\\begin{array}{r}-2\\\\2\\end{array}\\right)$. On veut calculer la matrice de $f$ dans la base $\\mathcal{B}'$ formée par les vecteurs\n\\[ \\mathbf{v}_1 = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\left(\\begin{array}{r}2\\\\1\\end{array}\\right), \\mathbf{v}_2 = f(\\mathbf{e}_1) = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\left(\\begin{array}{r}-2\\\\1\\end{array}\\right)\\]"}
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M=matrix([[8,-2],[-2,5]])
M
N=60
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$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n8 & -2 \\\\\n-2 & 5\n\\end{array}\\right)$
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La matrice $P = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$ est donnée par les vecteurs colonnes des coordonnées des $\mathbf{v}_i$ dans $\mathcal{B}$, il s'agit des vecteurs $\mathbf{v}_i$ eux-mêmes. La matrice $P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B'}}$ dans l'autre sens, est l'inverse.
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P=1/sqrt(5)*matrix([[1,-2],[2,1]])
P
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"}︡{"done":true}︡
︠c474158b-e236-46d0-a498-17a144c4b3b5s︠
M1 = P.inverse()*M*P
M1
︡f3474736-01a9-4c11-be84-9ed29ec6748e︡{"html":"$\\displaystyle \\left(\\begin{array}{rr}\n4 & 0 \\\\\n0 & 9\n\\end{array}\\right)$
"}︡{"done":true}︡
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Dans la figure ci-bas on présente des vecteurs $\mathbf{u}$ en bleu, et, juxtaposés, les vecteurs $M\mathbf{u}$, en rouge et en plus normalisés. Notez qu'il y a certains vecteurs pour lesquels $\mathbf{u}$ et $M\mathbf{u}$ semblent colinéaires.
︡fbccdd35-f2fb-494e-ad62-f9782cd81e2e︡︡{"done":true,"md":"Dans la figure ci-bas on présente des vecteurs $\\mathbf{u}$ en bleu, et, juxtaposés, les vecteurs $M\\mathbf{u}$, en rouge et en plus normalisés. Notez qu'il y a certains vecteurs pour lesquels $\\mathbf{u}$ et $M\\mathbf{u}$ semblent colinéaires."}
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︠c8370141-9567-451d-8395-8ac2e4335c92s︠
ListeVects = [ vector([cos(2*pi*j/N), sin(2*pi*j/N)]) for j in range(N)]
LignesOrig = [line([(0,0), u]) for u in ListeVects]
LignesNouv = [line([u,u+ (M*u)/((M*u).norm())], color = "red") for u in ListeVects ]
LEigen = [ line([(0,0), 1/sqrt(5)*vector([1,2])], color="green", thickness=3), line([(0,0), 1/sqrt(5)*vector([-2,1])], color="green", thickness=3)]
show(sum(LignesOrig)+ sum(LignesNouv), aspect_ratio=1, figsize=9)
︡d4c150cf-dd6a-40fe-bb1f-ac2ec48183e4︡{"file":{"filename":"/home/user/.sage/temp/project-b2ab33d7-45ee-4e82-8abc-a3432865ad77/114/tmp_dj0fcM.svg","show":true,"text":null,"uuid":"8647f96e-9e6c-41e8-992b-0627c3ecc074"},"once":false}︡{"done":true}︡
︠ef31d757-5e75-4d83-9ef6-203e257274aei︠
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Il peut être utile de voir la figure, sans la normalisation.
︡40bfc0f5-611a-473b-9b11-099da81379e8︡︡{"done":true,"md":"Il peut être utile de voir la figure, sans la normalisation."}
︠596f6f39-d0b7-45ee-a43f-5b052596bdf6s︠
LignesNouvNon = [line([u,u+ (M*u)], color = "red") for u in ListeVects ]
show(sum(LignesOrig)+ sum(LignesNouvNon), aspect_ratio=1, figsize=10)
︡28cf97b3-c265-4673-8052-b868a0762660︡︡{"file":{"filename":"/projects/b2ab33d7-45ee-4e82-8abc-a3432865ad77/.sage/temp/compute3-us/30567/tmp_dMsGTf.svg","show":true,"uuid":"3df8c230-deb1-4eed-8373-5481cc6ce355"},"once":false}︡{"html":""}︡{"done":true}
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