Exemple.
On considère la matrice . Elle représente une transformation linéaire dans la base canonique, à savoir et . On veut calculer la matrice de dans la base formée par les vecteurs [ \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} = \left(\right), \mathbf{v}_2 = f(\mathbf{e}_1) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\right)]
La matrice de passage de vers est donnée par les vecteurs colonnes des coordonnées des dans , il s'agit des vecteurs eux-mêmes. La matrice dans l'autre sens, est l'inverse.
Dans la figure ci-bas on présente des vecteurs en bleu, et, juxtaposés, les vecteurs , en rouge et en plus normalisés. Notez qu'il y a certains vecteurs pour lesquels et semblent colinéaires.
Il peut être utile de voir la figure, sans la normalisation.