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Author: Juan Carlos Bustamante
Views : 90
Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

Intégrales de surface : surfaces données implicitement.

Nous voulons considŕer le porblème suivant : étant donnée une surface S\mathcal{S} donnée comme surface de niveau, f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0, comment calculer l'élément différentiel de surface, dσd\sigma

Rapellons que si S\mathcal{S} est donnée par une paramétrisation r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\vec{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), alors ΔS=ru×rvΔA\Delta S = | \vec{r}_u \times \vec{r}_v| \Delta A. Cette formule est très utile, mais si une paramétrisation n'est pas disponible elle ne peut être appliquée directement... mais quand même. Géométriquement son interprétation est la suivante : ru\vec{r}_u et rv\vec{r}_v sont des vecteurs tangents à la surface, leur produit vectoriel est donc normal à cette dernière, et sa norme est l'aire du parallélogramme qu'ils déterminent (parallélogramme vert dans la figure ci-bas).

Supposons donc que l'on ait une telle surface, et que autour d'un point P0P_0 il existe une fonction z=z(x,y)z=z(x,y) qui décrive la surface. Attention, nous ne disons pas que nous connaissons cette fonction, simplement qu'il y en a une (zz est définie implicitement en termes de xx et yy près de P0P_0). Ceci fournit une paramétrisation r(u,v)\vec{r}(u,v) évidente x=u,y=v,z=z(u,v)x=u,y=v, z=z(u,v).

(u, v, r, t)
3D rendering not yet implemented

Par ailleurs, dans notre cas, nous disposons d'un autre vecteur normal à S\mathcal{S} em P0P_0, à savoir f(P0)\nabla f(P_0) (vecteur vert dans la figure ci-bas, il n'a peut être pas l'air normal à la surface, c'est une question d'échelle).

En plus, dans notre cas ΔuΔv\Delta u\, \Delta v est l'aire du rectangle rouge, qui est la projection sur le plan OxyOxy du parallélogramme vert. Le vecteur k\vec{k} (en rouge) est normal au plan OxyOxy. Rappelons que l'angle entre deux plans est, par définition l'angle formé par leurs vecteurs normaux. Ainsi,

ΔA=ΔxΔy=ΔuΔv=(ru×rv)k=ru×rvkcosγ=ru×rvcosγ=ΔScosγ\Delta A = \Delta x \Delta y = \Delta u\, \Delta v = \left| \left(\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right) \cdot \vec{k}\right| = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| \cdot |\vec{k}| \cdot |\cos \gamma| = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|\cdot | \cos \gamma| = \Delta S |\cos\gamma|γ\gamma est l'angle formé entre les deux plans, ou, de façon équivalente, entre les deux vecteurs normaux. Pour accéder à la valeur de cosγ\cos \gamma utilisons le fait que fk=fkcosγ\nabla f \cdot \vec{k} = |\nabla f| \cdot |\vec{k}| \cos\gamma, d'où l'on tire que cosγ=fkf.|\cos\gamma |= \frac{|\nabla f \cdot \vec{k}|}{|\nabla f|}.

Il vient donc ΔS=ΔuΔvcosγ=ffkΔuΔv\Delta S = \frac{\Delta u\, \Delta v}{|\cos\gamma|} = \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{k}|}\Delta u\, \Delta v

On peut reprendre ce même argument en faisant la projection de S\mathcal{S} sur n'importe quelle région plane, normalement il s'agira d'un des plans x=0,y=0,z=0x=0,y=0,z=0, mais rien n'empêche de projeter sur un plan oblique. Dans ce cas il faudra faire attention à la pramétrisation.

En somme, l'argument ci dessus conduit à

Théorème :

Soit S\mathcal{S} la surface de niveau donée par f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 se trouvant au dessus d'une surface plane RR ayant pour vecteur normal p\vec{p}, et dont l'élément différentiel d'aire est dAdA. Alors l'élément différentiel d'aire sur S\mathcal{S} vaut dA=ffpdA\displaystyle dA = \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}| } dA. En particulier: L'intégrale de surface d'une fonction gg sur S\mathcal{S} vaut SgdS=RgffpdA\displaystyle \int_{\mathcal{S}} g dS = \int_R g \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}| } dA.

Pour le calcul de l'intégrale de flux on a besoin d'orienter la surface, on peut choisir n=±ff\displaystyle \vec{n} = \pm \frac{\nabla f}{|\nabla f|}, de sorte que le flux d'un champ F\vec{F} à travers S\mathcal{S} devient SFdS=SFndS=R(F±ff)ffpdA=RF±ggpdA.\int_{\mathcal{S}} \vec{F} \cdot dS =\int_{\mathcal{S}} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \int_R \left(F\cdot \frac{\pm \nabla f}{|\nabla f|}\right) \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}} dA = \int_R \vec{F} \cdot \frac{\pm \nabla g}{|\nabla g \cdot \vec{p}|}dA.

Remarque : le terme du dénominateur s'annule lorsque f\nabla f est orthogonal à k\vec{k}, c'est à dire lorsque zz ne peut pas être définie implicitement en fonction de xx et yy. Par exemple, la sphère unité, près de l'équateur.