SurfacesImplicites.sagews

Intégrales de surface : surfaces données implicitement.

Nous voulons considŕer le porblème suivant : étant donnée une surface $\mathcal{S}$ donnée comme surface de niveau, $f(x,y,z)=0$, comment calculer l'élément différentiel de surface, $d\sigma$

Rapellons que si $\mathcal{S}$ est donnée par une paramétrisation $\vec{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))$, alors $\Delta S = | \vec{r}_u \times \vec{r}_v| \Delta A$. Cette formule est très utile, mais si une paramétrisation n'est pas disponible elle ne peut être appliquée directement... mais quand même. Géométriquement son interprétation est la suivante : $\vec{r}_u$ et $\vec{r}_v$ sont des vecteurs tangents à la surface, leur produit vectoriel est donc normal à cette dernière, et sa norme est l'aire du parallélogramme qu'ils déterminent (parallélogramme vert dans la figure ci-bas).

Supposons donc que l'on ait une telle surface, et que autour d'un point $P_0$ il existe une fonction $z=z(x,y)$ qui décrive la surface. Attention, nous ne disons pas que nous connaissons cette fonction, simplement qu'il y en a une ($z$ est définie implicitement en termes de $x$ et $y$ près de $P_0$). Ceci fournit une paramétrisation $\vec{r}(u,v)$ évidente $x=u,y=v, z=z(u,v)$.

(u, v, r, t)

3D rendering not yet implemented

Par ailleurs, dans notre cas, nous disposons d'un autre vecteur normal à $\mathcal{S}$ em $P_0$, à savoir $\nabla f(P_0)$ (vecteur vert dans la figure ci-bas, il n'a peut être pas l'air normal à la surface, c'est une question d'échelle).

En plus, dans notre cas $\Delta u\, \Delta v$ est l'aire du rectangle rouge, qui est la projection sur le plan $Oxy$ du parallélogramme vert. Le vecteur $\vec{k}$ (en rouge) est normal au plan $Oxy$. Rappelons que l'angle entre deux plans est, par définition l'angle formé par leurs vecteurs normaux. Ainsi,

$$\Delta A = \Delta x \Delta y = \Delta u\, \Delta v = \left| \left(\vec{r}_u \times \vec{r}_v\right) \cdot \vec{k}\right| = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v| \cdot |\vec{k}| \cdot |\cos \gamma| = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|\cdot | \cos \gamma| = \Delta S |\cos\gamma|$$

Il vient donc $$\Delta S = \frac{\Delta u\, \Delta v}{|\cos\gamma|} = \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{k}|}\Delta u\, \Delta v$$

On peut reprendre ce même argument en faisant la projection de $\mathcal{S}$ sur n'importe quelle région plane, normalement il s'agira d'un des plans $x=0,y=0,z=0$, mais rien n'empêche de projeter sur un plan oblique. Dans ce cas il faudra faire attention à la pramétrisation.

En somme, l'argument ci dessus conduit à

Théorème :

Soit $\mathcal{S}$ la surface de niveau donée par $f(x,y,z)=0$ se trouvant au dessus d'une surface plane $R$ ayant pour vecteur normal $\vec{p}$, et dont l'élément différentiel d'aire est $dA$. Alors l'élément différentiel d'aire sur $\mathcal{S}$ vaut $\displaystyle dA = \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}| } dA$. En particulier: L'intégrale de surface d'une fonction $g$ sur $\mathcal{S}$ vaut $\displaystyle \int_{\mathcal{S}} g dS = \int_R g \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}| } dA$.

Pour le calcul de l'intégrale de flux on a besoin d'orienter la surface, on peut choisir $\displaystyle \vec{n} = \pm \frac{\nabla f}{|\nabla f|}$, de sorte que le flux d'un champ $\vec{F}$ à travers $\mathcal{S}$ devient $$\int_{\mathcal{S}} \vec{F} \cdot dS =\int_{\mathcal{S}} \vec{F} \cdot \vec{n} dS = \int_R \left(F\cdot \frac{\pm \nabla f}{|\nabla f|}\right) \frac{|\nabla f|}{|\nabla f \cdot \vec{p}} dA = \int_R \vec{F} \cdot \frac{\pm \nabla g}{|\nabla g \cdot \vec{p}|}dA.$$

Remarque : le terme du dénominateur s'annule lorsque $\nabla f$ est orthogonal à $\vec{k}$, c'est à dire lorsque $z$ ne peut pas être définie implicitement en fonction de $x$ et $y$. Par exemple, la sphère unité, près de l'équateur.