Intégrales de surface : surfaces données implicitement.
Nous voulons considŕer le porblème suivant : étant donnée une surface donnée comme surface de niveau, , comment calculer l'élément différentiel de surface,
Rapellons que si est donnée par une paramétrisation , alors . Cette formule est très utile, mais si une paramétrisation n'est pas disponible elle ne peut être appliquée directement... mais quand même. Géométriquement son interprétation est la suivante : et sont des vecteurs tangents à la surface, leur produit vectoriel est donc normal à cette dernière, et sa norme est l'aire du parallélogramme qu'ils déterminent (parallélogramme vert dans la figure ci-bas).
Supposons donc que l'on ait une telle surface, et que autour d'un point il existe une fonction qui décrive la surface. Attention, nous ne disons pas que nous connaissons cette fonction, simplement qu'il y en a une ( est définie implicitement en termes de et près de ). Ceci fournit une paramétrisation évidente .
Par ailleurs, dans notre cas, nous disposons d'un autre vecteur normal à em , à savoir (vecteur vert dans la figure ci-bas, il n'a peut être pas l'air normal à la surface, c'est une question d'échelle).
En plus, dans notre cas est l'aire du rectangle rouge, qui est la projection sur le plan du parallélogramme vert. Le vecteur (en rouge) est normal au plan . Rappelons que l'angle entre deux plans est, par définition l'angle formé par leurs vecteurs normaux. Ainsi,
Il vient donc
On peut reprendre ce même argument en faisant la projection de sur n'importe quelle région plane, normalement il s'agira d'un des plans , mais rien n'empêche de projeter sur un plan oblique. Dans ce cas il faudra faire attention à la pramétrisation.
En somme, l'argument ci dessus conduit à
Théorème :
Soit la surface de niveau donée par se trouvant au dessus d'une surface plane ayant pour vecteur normal , et dont l'élément différentiel d'aire est . Alors l'élément différentiel d'aire sur vaut . En particulier: L'intégrale de surface d'une fonction sur vaut .
Pour le calcul de l'intégrale de flux on a besoin d'orienter la surface, on peut choisir , de sorte que le flux d'un champ à travers devient
Remarque : le terme du dénominateur s'annule lorsque est orthogonal à , c'est à dire lorsque ne peut pas être définie implicitement en fonction de et . Par exemple, la sphère unité, près de l'équateur.