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Author: Juan Carlos Bustamante
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Compute Environment: Ubuntu 18.04 (Deprecated)

On considère

rn+1=45rn+(25)n, r0=1 r_{n+1} = \frac{4}{5}r_n + \left(\frac{2}{5}\right)^n,\ r_0=1

  • Résoudre rnr_n
  • Faire le graphe de rnr_n
  • Après combien d'heures, le patient subit-il la réeaction maximale?
  • Est-ce que l'équation proposée appraît raisonnable?

D'abord quelques valeurs :

[1, 9/5, 46/25, 204/125, 856/625, 3504/3125, 14176/15625, 57024/78125, 228736/390625, 916224/1953125, 3667456/9765625, 14674944/48828125, 58710016/244140625, 234860544/1220703125, 939483136/6103515625, 3758014464/30517578125] [1.000, 1.800, 1.840, 1.632, 1.370, 1.121, 0.9073, 0.7299, 0.5856, 0.4691, 0.3755, 0.3005, 0.2405, 0.1924, 0.1539]

On trouve la solution :

  • L'équation homogène associée est rnn+1=45xnr_n{n+1} = \frac{4}{5}x_n. La solution générale de celle-ci est rn=k(45)nr_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n.
  • Cherchons une solution particulière de la forme rn=A(25)nr_n = A \left(\frac{2}{5}\right)^n. Pour que ça fonctionne il faut A=52A=-\frac{5}{2}.
  • Ainsi, la solution est de la forme rn=k(45)n45(25)nr_n = k\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{4}{5}\left(\frac{2}{5}\right)^n.
  • Afin de trouver kk on utilise la condition initiale, et on obtient k=72k= \frac{7}{2}. Ainsi rn=72(45)n54(25)nr_n = \frac{7}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^n -\frac{5}{4}\left(\frac{2}{5}\right)^n
plot((7/2)*(4/5)^x-(2/5)^(x-1), (x,0,N), color="blue")

Si on veut juste les points :

Pts = [point([k, X[k]], color="red") for k in range(N) ]
show(sum(Pts))